1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда р(х„„р) < е1 и р(х„„р) < ем Отсюда получаем, что р(х „*„,) < р(х „р)+ р(р,х,) < 2 227 З 4. Понятия предела н непрерывности для отображений Так как е > О было выбрано произвольно и для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства п1 > и и пя > и, то тем самым установлено, что последовательность (х ) ен — фундаментальная. Лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е. В п. 4.1 было показано, как может быть интерпретировано условие сходимости Коши — Больцано для последовательности с помощью понятия предела относительно оценочной функпии.
Применяя аналогичные соображения к случаю, который рассматривается здесь, получим, что последовательность (х„)„ен точек метрического пространства (М, р) является фундаментальной в том и только в том случае, если 1пп р(х„,х,„) = О. 4.5.2. Метрическое пространство (М, р) называется полным, если всякая фундаментальная последовательность точек этого пространства имеет предел.
Иначе говоря, метрическое пространство (М,р) называется полным, если в нем верен признан Коши — Больцано существования предела для последовательностей. ° Теорема 4.О. Пусть М есть полное метрическое пространство, Т вЂ” произвольное множество с оценочной функцией Л, имеющей предельное значение О. Для того чтобы отображение ~в: Т вЂ” ~ М имело предел при Л(1) — О, необходимо и достаточно, чтобы для всякого в > О существовало б > О такое, что для любых Ф', я" Е Т, для хоторых Л(г') < б н Л(г") < б, выполняется неравенство: р[х(Ф'), у($")] < в.
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что отображение х: Т вЂ” М имеет предел при Л(4) — ~ О. Пусть р = 1пп ~р(х). л(х) о Зададим произвольно в > О. Согласно определению предела, найдется б > О такое, что для всякого 1 Е Т такого, что Л(4) < б, выполняется неравенство: р[~р(1), р] < Пусть Ф' Е Т и $ Е Т таковы, что Л(Ф') < б и Л(4") < б. Тогда р[1в(4'),р] < — и р[~р(Ф"),р] < —. 228 Гл. 6.
Непрерывные отображения метрических пространств Отсюда вытекает, что для таких г' и 1" выполняется неравенство: Необходимость условия теоремы доказана. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть отображение у: Т вЂ” ~ М обладает тем свойством, что для всякого е > О можно указать б > О такое, что если Л(г') < б и Л(г") < б, то р[у(г'), у(г")! < е. Требуется доказать, что существует предел: 1пп ~р(1). лбб с Пусть (г„) „ен — последовательность элементов множества Т такая, что Л(г„) — + О при и — ~ со. Положим х, = х(Ф~).
Д о к а ж е м, что (х ),ен есть фундаментальная последовательность. Зададим произвольно е > О. Пусть б > О таково, что если Л(1') < б и Л(г") < б, то Так как, по условию, Л(х„) — О при м — ~ оо, то найдется номер Г такой, что если и > Р, то Л(г,) < 6. Пусть ид > Р и из > Р. Тогда Л(г„) < б и Л(г„,) < б и, значит, имеет место неравенство: р(х „х,) = р[Зз(Ф„), ~р(Ф,)! < е. Так как е > О было выбрано произвольно, и для выполнения последнего неравенства требовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства: н1 > р и из > р, то тем самым д о к а з а н о, что последовательность (х„)„ен является фундаментальной.
По условию, М есть п о л н о е метрическое пространство и, значит, существует р Е М такое, что р = 1пп х,. и со Д о к а ж е м, что р = 1пп ~р(1). лО1 о Зададим произвольно е > О. По условию, по этому е найдется б > О такое, что для любых г', г" Е Т, для которых Л(г') < б и Л(г") < б, выполняется неравенство: Имеем последовательность (г„) ен, для которой Л(1 ) — О при и — оо и точка р Е М является пределом последовательности (у(1 ))„ен.
229 З 4. Понятия предела и непрерывности лля отображений Отсюда следует, что найдется номер ио такой, что выполняются неравенства: Л(Ф„о) < б и Р( ~Р(т о ) ~ Р) Пусть 1 Е Т таково, что Л(1) < 6. Тогда Р(РИ) Р) < Р(РИ) РИ-.)) +Р(РИ") Р). (4.4) Так как Л(8) < б и Л(~„) < б, то РРР(о)~ Ф(ооо)) < Поскольку также и 2' то из (4.4) следует, что выполняется неравенство: (4.5) Элемент 1 Е Т множества Т такой, что Л(1) < е, был выбран произвольно и мы, следовательно получаем, что для всякого такого Фвыполняется неравенство (4.4). Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что р = 1пп ~о(1).
цо1 о Теорема доказана. ° 4.6. ПРелел и непРеРыВнОсть длЯ ФУнк ий сО знАчениЯми В И" Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что задано отображение ~: М вЂ” К". Тогда для всякого х Е М определен вектор Дх) в пространстве 1й". Пусть уо(х), г = 1, 2,..., и, есть г-я компонента вектора у(х). Тем самым на множестве М определена система из п вещественных функций уо(х). Будем называть их компонектиами вектор-4ункции у(х). ° Теорема 4.10.
Предположим, что на множестве М задана метрическая функция Л(х) . Пусть дано отображение ~: М вЂ” К" и вещественные функции Д, о = 1, 2,......, п, суть компоненты вектор-функции у. Тогда для того, чтобы вектор р = (ры рз,..., р„) был пределом у" (х) при 230 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Л(х) — + О, необходимо и достаточно, чтобы при каждом ь' = 1,2,...,и выполнялось равенство: рь = 1пп уь(х). л[х)-о Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть р = 1пп у(х). л1х) о По определению, это означает, что 1пп )у(х) — р! = О. Л1) о При каждом ь = 1, 2,..., и имеем: 0 < )уь(х) — рь) < )У(х) — р). В силу теоремы о заоьсатой переменной (теорема 4.3 этой главы), отсюда следует, что 1пп )уь(х) — рь/ = О, л1.) о то есть р; = 1пп Ях) л1,) о при каждом ь' = 1,2,...,п.
Необходимость условия теоремы доказана. Докажемего достаточность. Имеем: В силу теорелььь об операциях над пределами (см. выше теорему 4.4), отсюда следует, что если рь = Бш Ях) при каждом 4 = 1,2,...,п, то ЛЬх) О 1шь )1(х) — р/ = О, ЛЬх) О то есть р = 1пп у(х).
ЛЬх) О Теорема доказана. ° 231 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений и Следствие. Предположим, что М есть метрическое пространство и а — пронзвольнал точка М. Тогда отображение 1': М вЂ” К" является непрерывным в точке а и том и только в том случае, если каждая из его компонент ~ы 5,..., ~ непрерывна в этой точке. Доказательство. Данное утверждение непосредственно вытекает из теоремы 4.10, если положить в ней Л(х) = р(х, а), где р есть метрика пространства М.
° Теорема 4.11. Метрическое пространство К" является полным. Дохазательство. Требуется доказать, что всякая фундаментальная последовательность точек пространства К" имеет предел. Пусть (х„) ен есть произвольная фундаментальная последовательность точек пространства К". Пусть х = (хц,хз,,...,х„,„). Мы получаем, таким образом, и числовых последовательностей (х...) ен, 4 = 1,2,...,п.
Д о к а ж е м, что для каждой из этих последовательностей выполнены условия критерия Коши — Больцаио существования конечного предела. Зададим произвольное е > О. Так как последовательность (х ) ен является фундаментальной, то найдется номер Р такой, что для любых н1 > Р и нз > Р выполняется неравенство: ~х„— х, ~ < е. Так как ~х*,~, — хи ив ( < )х,з — хи, ! прн каждо~ 4 = 1, 2,..., и, то мы получаем, следовательно, что для любых н1 > Р и ь з > Р выполняется неравенство: Поскольку е > 0 было взято произвольно, то тем самым у с т ан о в л е н о, что для каждой из числовых последовательностей (х;, ) „ен выполнены условия критерия Коши — Больцаио существования конечного предела (см. теорему 3.2 главы 2).
Из доказанного вытекает, что при каждом 4 = 1, 2,..., и существует конечный предел: 1пп хьи = р;. и оо Пусть р = (рырз,...,р„). Вектор р, очевидно, является пределом последовательности (хи)иех. Мы установили, таким образом, что всякая фундаментальная последовательность (х,) ен точек пространства в1" является сходящейся. Тем самым установлено, что Й" есть полное метрическое пространство.
Теорема доказана. ° 4.7. ОпрЕНЕЛЕНИе И простЕЙшие сВОйстВА АСИМПтОтИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ Зададим непустое множество М и оценочную функцию Л на этом множестве. Мы будем рассматривать только случай оценочной функции с предельным значением О. 232 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Все данные здесь определения очевидным образом переносятся на случай оценочных функций с предельным значением оо, на чем мы не будем останавливаться. Рассматриваются функции, определенные на множестве М и принимающие значения в С. Пусть даны функции у: М вЂ” + С и д: М вЂ” ~ С.
Будем говорить, что функция у и о д ч и н е н а д при Л(х) -+ 0 по М (в обозначениях: Дх) = 0(д(х)) при Л(х) — + 0), если существуют числа 6 > 0 и К < оо такие, что для любого х Е М, для которого Л(х) < 6, выполняется неравенство: ~Дх)) < К)д(х)!. Будем говорить, что функция г': М вЂ” + С пренебрежимо сравнительно с функцией д: М вЂ” + С при Л(х), стремящемся к О, и писать: «у(х) = о(д(х)) при Л(х) — 0», если для всякого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что для любого х б М, для которого Л(х) < 6, выполняется неравенство: (Дх)! < е(д(х) ~.
Если у(х) = 0[д(х)] при х — р по множеству М, то говорят также, что порядок роста ~(х) при Л(х) — 0 н е и р е в ы ш а е т порядка раста д(х). Выражение Дх) = о(д(х)) при Л(х) — 0 иногда читается так: «у(х) бесконечно мала по сравнению с д(х) при Л(х) — 0». Пусть даны множество М и оценочная функция Л: М вЂ” К на множестве М. Предположим, что заданы комплексные функции у, д, у, определенные на М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
