1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда говорят, что справедливо соотношение: Дх) = д(х) + О(~с(х)) (4.6) при Л(х), стремюцемся к О, если у(х) — д(х) = 0(~с(х)) при Л(х) — О. Если г"(х) — д(х) = о(~р(х)) при Л(х) — + О, то мы будем писать: у(х) = д(х) + о(~р(х)) (4.7) при Л(х) — О. Соотношения, содержащие знаки О и о, называются асимитотическими. Отметим, что с соотношениями, которые рассматриваются здесь, вообще говоря, нельзя обращаться как с обыкновенными равенствами.
Это может быть источником ошибок. Каждое из выражений: = о и = 0 следует рассматривать как единый символ. Зададим произвольно множество М, в котором предполагается заданной некоторая оценочная функция Л: М вЂ” К с предельным значением О. З 4. Понятия предела и непрерывности лля отображений ° Теорема 4.12. Пусть даны функции Х, Хд, Хя, д, дд, дя и Ь. Тогда справедливы следующие утверждению 1) если Хд(х) = 0(д(х)) при Л(х) — ~ О и Хя(х) = 0(д(х)) при Л(х) — + О, то Уд(х) + 5(х) = 0(д(х)) при Л(х) — О; 2) если Хд(х) = о(д(х)), Хя(х) = о(д(х)) при Л(х) — О, то Уд(х) + Хя(х) = о(д(х)) при Л(х) — ~ О; 3) если Хд(х) = 0(дд(х)), Хя(х) = О(дя(х)) при Л(х) — О, то Уд(х)Хя(х) = 0(дд(х)дя(х)) при Л(х) -д О; 4) если Хд(х) = 0(дд(х)), Хя(х) = о(дя(х)) при Л(х) — О, то Хд(х) Хя(х) = о(дд(х)дя(х)) при Л(х) — О; 5) если Х(х) = 0(д(х)) при Л(х) — ~ О, д(х) = 0(Ь(х)) при Л(х) — ~ О, то Х(х) = 0(Ь(х)) при Л(х) — О; 6) если либо Х(х) = 0(д(х)) при Л(х) — + О и д(х) = о(Ь(х)) при Л(х) — + О, либо Х(х) = о(д(х)) при Л(х) — + О, а д(х) = О(Ь(х)) при Л(х) — д О, х б М, то У(х) = о(Ь(х)) .при Л(х) — О.
,ХХоказа тель етио. 1. Пусть Хд(х) = 0(д(х)) и Хя(х) = 0(д(х)) при Л(х) — О. Согласно определению, это означает, что найдутся числа бд > О и бя > О и постоянные Х д < оо, Хя < со такие, что если Л(х) < бд, то выполняется неравенство: ~И)~<Х Ых)~ а если Л(х) < бя, — неравенство: Щх)~ < Хя~д(х)!.
Пусть 6 > О есть наименьшее из чисел бд и бя. 234 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Если х Е М таково, что Л(х) < б, то Л(х) < 61 и в то же время Л(х) < 6г. Отсюда вытекает, что если Л(х) < 6, то !У1(х)/ < Х1/д(х)/ и !Ях)/ < Хг/д(х)!, и, следовательно, для этого х Е М выполняется неравенство: (Х1(х) + Хг(х)! < )31(х)! + )Хг(х)! < (Х 1 + Хг)(д(х)) ° Это,очевидно, доказывает, что Х1(х) + Хг(х) = 0(д(х)) при Л(х) — ~ О. 2. Пусть |1(х) = о(д(х)), Ях) = о(д(х)) при Л(х) — О. Зададим произвольно е > О.
Тогда найдутся числа 61 > О и 6г > О и такие, что если Л(х) < 61, то )У1(х)) < — (д(х)), а если Л(х) < бг, то 2 выполняется неравенство: Щх)/ < — !д(х)/. 2 Пусть 6 = шш(бм6г). Очевидно, 6 > О. Возьмем произвольно хЕМтакое,чтоЛ(х)<б. ТогдаЛ(х)<6г и одновременно е Л(х) < 6г.
Отсюда вытекает, что если Л(х) < б, то /У1(х)~ < — ~д(х)~, е (Хг(х)) < — ~д(х)! и, значит, ~Х1(х) + Хг(х)~ < ~У1(х)~ + ~Уг(х)! < — ~д(х)(+ — ~д(х)! = е(д(х)~. Таким образом, если х Е М и Л(х) < б, то выполняется неравенство: ~Ях) + Ь(х)) < е(д(х)!. Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым доказано, что Х1(х) + Хг(х) = о(д(х)) при Л(х) — О. 3.
Пусть У1(х) = 0(д1(х)), Б(х) = О(дг(х)) при Л(х) — ~ О. По определению, это означает, что найдутся окрестности 61 > О и 6г > О и постоянные Х1 < оо, Хг < со такие, что если Л(х) < 61, то выполняется неравенство )Х1(х) ~ < Х1)д1(х)), а если х < 6г, то Щх)) < Хг~дг(х) ~. Пусть 6 = ппп(бы бг). Тогда 6 > О. Возьмем произвольно х Е М такое, что Л(х) < б. Тогда Л(х) < 61 и о д н о в р е м е н н о Л(х) < 6г. Отсюда следует, что для данного х (Х1(х)Уг(х)| = ~Л(х) ~ ~Уг(х)| < Х1Хгд1(х)дг(х) ~, итемсамым доказано, что Х1(х)Хг(х) = 0(д1(х)дг(х)) при Л(х) — О.
'З 4. Понятия предела и непрерывности лля отображений 4. Пусть Х1 (х) = О(дг(х)), Хз(х) = о(дг(х)) (при Л(х) — О по М). Тогда найдутся число б1 > О и постоянная Х < оо такие, что если Л(х) < б, то )Х1(х) ( < Цд1(х) !. е Зададим произвольно е > О и положим е1 Х+1 Так как Хз(х) = о(дз(х)) при Л(х) -+ О, то найдется число бз > О такое, что если х Е М удовлетворяет условию: Л(х) < бз, то выполняется неравенство: !Уг(х)~ < ег/дя(х)/.
Пусть б = шш(б1, бз). Тогда б > О. Если Л(х) < б,,то Л(х) < б1 и о д н о в р е м е н н о Л(х) < бз. Отсюда следует, что если Л(х) <б, то (Ях)! < Х)дг(х)) и (Хз(х)( < е1)дя(х)). Это позволяет заключить, что для всякого х Е М такого, что Л(х) ф О, имеют место неравенства: (Х1(х)Уг(х)/ < Хе1/д1(х)дг(х)! < е~дг(х)дг(х)/. В соответствии с определением, в силу п р о и з в о л ь н о с т и е>О,этим установлено, что ,6(х)Уг(х) = о(д1(х)дг(х)) при Л(х) — О, и утверждение 4) д о к а з а н о.
5. Пусть Дх) = 0(д(х)), а д(х) = О(Ь(х)) при Л(х) — О. Это означает, что существуют постоянные б1 > О и бя > О и Х|, Хг е К такие, что если Л(х) < бд, то (Х(х)( < Х1)д(х)), а если Л(х) < бз, то )д(х) ) < Х з )Ь(х) ). Пусть б = шш(б1, бз). Тогда б > О. Возьмем произвольно х Е М, такое, что Л(х) < б. ТогдаЛ(х) <бг и одновременно Л(х) <бз.
Отсюда следует, что )Х(х) ! < Х г (д(х) ! для данного х и в то же время /д(х)/ < Хз!Ь(х)/. Комбинируя полученные неравенства, заключаем, что если х Е М таково, что Л(х) < б, то Щх)~ < Х цд(х)) < Х1Хз(Ь(х) ~. Темсамым установлено, что Дх) = 0(Ь(х)) при Л(х) — ~ О. 6. Пусть |(х) = 0(д(х)), д(х) = о(Ь(х)) при Л(х) — О. В соответствии с определением, это означает,что найдутся числа б1 > О и Х < оо такие,что если Л(х) < б1,то Щх)) < Х)д(х)). 236 Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств Зададим произвольно е > О. Положим ед =— Б+1 Так как д(х) = о(Ь(х)) прн Л(х) — + О, то найдется число бз > О такое, что если Л(х) < бз, то выполняется неравенство: (д(х)~ < ед(Ь(х)~. Пусть б = щдп(бд, бг). Тогда б > О. Возьмем произвольно х Е М такое, что Л(х) < б. Тогда Л(х) < бд и одновременно Л(х) <бг.
Отсюда следует, что для данного х выполняются неравенства: !У(х)! <БЬ(х)1, Ь(х)! < 1Ь( )!. Следовательно, если х е М таково, что Л(х) < б, то !У(х)) < Бедах)~ /Ь(х)! < е/Ь(х)/ Так как е > О было задано произвольно, то тем самым нами у с т ан о в л е н о, что ~(х) = о(Ь(х)) при Л(х) — д О.
Утверждение, относящееся к случаю у(х) = о(д(х)), д(х) = 0(Ь(х)) при Л(х) — О, доказывается аналогично (полное рассмотрение всех деталей доказательства мы предоставляем читателю). Теорема доказана. ° ~5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах В этом параграфе мы введем понятия открытого и замкнутого множеств в произвольном метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества естественно возникают прн исследовании свойств непрерывных отображений. Будут приведены определения открытого и замкнутого множеств и установлены некоторые их основные свойства.
Здесь доказаны также теоремы, определяющие связь открытых и замкнутых множеств с непрерывными отображениями. 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ Пусть М есть произвольное метрическое пространство, р — метрика этого пространства. Пусть С есть произвольное непустое множество метрического пространства М. з 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 237 Точка х множества С называется его внутренней точкой, если существует е > О такое, что шар В(х, в) содержится в С.
Множество У С М называется открытым множеством метрического пространства (М, р), если все его точки — внутренние. Из определения следует, что М есть открытое множество пространства М. Поформальным соображениям, пустое множество также удобно считать открытым множеством пространства М. (Все точки пустого множества являются его внутренними точками, поскольку оно вообще не имеет точек: приведенное в з 1 главы 1 изречение можно переформулировать так: «в пустом множестве все точки зеленые, поскольку в нем нет никаких точек!э) Предположим, что рассматриваемое метрическое пространство— это множество вещественных чисел К.
Д о к а ж е м, что всякий интервал (а, Ь) представляет собой открытое множество этого пространства. Действительно, для х Е Й и е > О шар В(х,в) есть просто интервал (х — е, х + е). Для всякого х, для которого выполняются неравенства: а < х < Ь, существует е > О такое, что а < х — е, х + в < Ь. Очевидно, имеет место включение: (х — в, х + в) С (а, Ь), то есть В(х, е) С (а, д). Таким образом, всякая точка х Е (а, Ь) является внутренней точкой (а,д). По определению, это и означает, что (а,Ь) есть открытое множество совокупности вещественных чисел К, рассматриваемой как метрическое пространство.
Всякий шар В(а., г) в метрическом пространстве (М, р) представляет собой открытое множество данного пространства. Действительно, возьмем произвольно точку х Е В(а,г). Тогда р(х,а) < г. Положим е = г — р(х,а). Согласно лемме 1.3, имеет место включение: В(х, е) С В(а, г). Это означает, что х есть внутренняя точка шара В(а, т).
Так как х Е В(а, г) было взято произвольно, то тем самым нами д о к а з а н о, что все точки шара В(а,г) являются его внутренними точками и, значит, В(а, т) есть открытое множество пространства (М, р). Для произвольного множества А С М множество М ~ А будем называть дополнением множества А в М. Дополнение множества А в М обозначается символом СА. 238 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Напомним, что, согласно определению, разность М 1 А есть совокупность всех элементов множества М, которые не являются элементами А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
