1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Устанавливается, что это полное метрическое пространство, указываются некоторые простые критерии непрерывности отображения метрического пространства в К". 4.1. ПОНЯТИЕ НРЕНЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО О ЕНОЧНОЙ ФУНК ИИ 4.1.1. Пусть М вЂ” произвольное множество и Л: М -~ К вЂ” функция, определенная на М. Мы будем предполагать, что Л удовлетворяет следующему условию: Е) точная нижняя граница функции Л на множестве М равна нулю. Наша цель — определить для произвольной функции ~: М вЂ” + К, что есть предел ) (х) при Л(х), стремящемся к нулю. В этой связи функцию Л будем называть оценочной.
Итак, пусть даны функция Л: М вЂ” ~ К, удовлетворяющая условию Е), и функция У: М вЂ” К. Число Ь Е К будем называть пределом функции )'(х) при Л(х) — + О, если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > О, по нему найдется б > 0 такое, что для всякого х Е М, для которого Л(х) < б, выполняется неравенство: ~)(х) — Х ~ < е. 206 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Будем говорить, что Ь = оо (Ь = — оо) есть и р е д е л у(х) при Л(х) — + О, если для любого числа К Е К можно указать число б > О такое, что для всякого х Е М, удовлетворяющего условию Л(х) < о, выполняется неравенство: Дх) > К (соответственно, неравенство Дх) < К). Если число Ь Е Й есть предел функции у(х) при Л(х) — О, то будем писать: (4.1) Ь = 1пп Дх).
Цв) О,вем В этом случае будем также говорить, что Дх) стремится к Ь при Л(х), стремящемся к нулю, сокращенно записывая это так: У(х) — Ь при Л(х) — О. Когда недоразумение невозможно, выражение: «х Е М» в обозначении для предела опускается. Рассмот им некото ю мо и ика ию анного о еленик п ела. Будем говорить, что функция Л: М вЂ” К есть оценочная пункция второго тина, если Л удовлетворяет следующему условию: Е*) точная верхняя граница функпни Л на множестве М равна со. Число Ь Б К будем называть пределом 4ункции У: М вЂ” К при Л(х) — со, если выполнено следующее условие: каково бы ни было г > О, по нему найдется Н Е К такое, что для всякою х й М, для которого Л(х) > Н, выполняется неравенство ~У(х) — Ц < г.
Будем говорить, что Ь = со (Ь = — со) является пределом функции ) (х) при Л(х) — со, если для любого числа К Е К можно указать число Н Е К такое, что для всякого х Е М, для которого Л(х) > Н, выполняется неравенство Дх) > К (соответственно, неравенство у(х) < К). Пусть функция Л удовлетворяет условию Е*. Тот факт, что Ь Е Й есть предел функции ): М вЂ” + К при Л(х) — оо, символически записывается следующим образом: Ь = 1пп У(х). л(в) оо,хям Когда недоразумение невозможно, выражение: «х Е М» в этой записи опускается.
Введенное здесь понятие предела при Л(х) — оо сводится к предыдущему надлежащим изменением оценочной Функции, как показывает следующая лемма. ° Лемма 4.1. Пусть функция Л: М вЂ” К такова, что зпр Л(х) = со. вем Положим: Л(х) = ехр1-Л(х)). Тогда 1п1 Л(х) = 0 н число К Е Й являвем ется пределом функции 1: М вЂ” К при Л(х) — со в том и только в том случае, если К = 1пп Дх). л1*) о 207 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений Доказательство. Предположим, что К = 11ш,)" (х). л1.) о Покажем, чтотогда К = 11пз )". (х).
л1я) со Пусть К вЂ” конечно. Зададим произвольно е > О и найдем по нему б > О такое, что если Л(х) < б, то ),)" (х) — К) < е. Положим: Если Л(х) > Н, то Л(х) < б и, значит, )у(х) — К( < е. Таким образом, мы получаем, что каково бы ни было е > О, по нему найдется Н б )й такое, что если А(х) > Н, то выполняется неравенство: )У(х) — К! < е. Согласно данному выше определению, это означает, что К = 11ш )".(х). л(я) оа Случай К = хоо рассматривается аналогично. Покажем, чтоесли .К = 1пп У(х), то .К = 1пп ~(х). л1*)-- л(х) о Пусть Х вЂ” конечно.
Зададим произвольно е > О и найдем по нему Н Е )й такое, что если Л(х) > Н, то ),г"(х) — К) < е. Положим б = ехр( — Н). Если Л(х) < Н, то Л(х) = — 1пЛ(х) > — 1пб = Н и, следовательно, )) (х) — К! < е. В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что К = Бш Пх).
л1*)-о Случай Х = хоо рассматривается аналогично. Лемма доказана. ° 208 Гл. 6. Непрерывные отображеиия метрических пространств Будем далее говорить, что Л есть оцецочиая функция с предельным значением О, а Л вЂ” оцеиочиая фуюсция с предельным значением оо. Пусть Л: М вЂ” К есть оценочная функция, если Ь = 1пп ~(х), Л(х)-+0 Ь Е Й, то мы будем говорить, что Ь есть предел у(х) относительно оценочной функции Л или, короче, по оценочной функции Л. Рассмот им п и м е ы. Иример 1. Пусть А есть произвольное подмножество множества вещественных чисел Й и р есть предельная точка множества А.
Предположим, что р — конечно. Положим: Л(х) ив в ~х — р~. Пусть М = А 1(р). Тогда Л(х) > О для всех х Е М. Для всякого е > О найдется х Е А такое, что х ~ р, и в то же время )х — р) < е. Это означает, что О = 1пГ Л(х). хем Простое сопоставление данного здесь определения с тем, которое было приведено в главе 2, показывает, что понятие предела при Л(х) — 0 в точности с о в и а д а е т с понятием предела при х, стремящемся к р по множеству А, введенным в главе 1. Пример 2. Пусть А есть произвольное подмножество множества вещественных чисел Й. Предположим, что оо есть предельная точка множества А. Положим: Л(х) = х.
Пусть М = А ~ (оо). Тогда Л(х) < оо для всех х е М. Сопоставляя данное здесь определение предела относительно оценочной функции с предельным значением оо — с определением предела, данным в главе 2, получим, что понятие предела при х — оо по множеству А с о в и а д а е т с понятием предела у(х) при Л(х) — оо при данном выборе функции Л. В случае, когда — оо есть предельная точка множества А с Й, полагаем Л(х) = — х.
Тогда понятие предела 1пп Дх) х -оо,хЕА в точности совпадает с тем, чтб здесь названо п р е д е л о м У(х) при Л(х) — оо по множеству М = А 1 1-оо). Справедливость последнего утверждения устанавливается сопоставлением определения, приведенного здесь, и определения, данного в главе 2. Мы предоставляем читателю убедиться в этом самостоятельно. Иример 3.
Пусть М = 1ч' х 1ч = 1ч~ есть множество всевозможных пар натуральных чисел (п,тп), где п Е 1ч и гп Е 1ч'. Для (п,тв) Е 1ч~ положим: Л(п, т) = ппп(п, т). Имеем: оо = зпр Л(п, т). Ов, )аФ З 4. Понятия предела в непрерывности для отображений 209 Предположим, что каждой паре п Е 1Ч, т Е 1Ч сопоставлено некоторое число и Всякая функция (п,т) Е 1Чг и„ называется двойной последовательностью. Для ее обозначения будем применять одно из следующих двух выра~опий: (и„,~)~ен ~ен или (и„~)~„1еня.
Предел двойной последовательности и„,, (п,т) Е 1Чг относительно оценочной 4ункции Л(п, т) на множестве 1Чг при Л(п, т) — оо, если таковой существует, обозначается символом: 1пп и, о оо,т со Рассмот им частный сл чай. Пусть дана последовательность (х„)„вн. Для произвольной пары номеров и, т Е 1Ч положим: и„= х„— х . Предположим, что двойная последовательность (х„— х )1„1 кя имеет предел, равный нулю при Л(п,т) -+ оо. Согласно определению, это означает, что для всякого в > О найдется К Е 1к такое, что для всякой пары номеров (и, т), для которой и > К и т > .К, выполняется неравенство: (х — х,„( < в. Это, очевидно, означает, что для последовательности (х„)„ен выполняется критерий сходимости Коши — Больцано (см. глава 2, теорема 3.2) и, значит, последовательность (хн)„ен имеет конечный предел.
Таким образом, мы получаем, что критерию сходимости Коши— Больцано можно придать следующую р а в н о с и л ь н у ю форму: для того чтобы числовая последовательность (х„)„ен имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы двойная последовательность (х„— х,„)1„1енг имела предел, равный нулю лри и — оо и т -+ оо. Пример 4. Пусть М С 1к. Предположим, что задана функция У: М— -+ К.
Используя понятие предела относительно оценочной функции, условие — функция ~ равномерно непрерывна на множестве М вЂ” можно представить в иной форме, э к в и в а л е н т н о й той, которая дается определением п. 5.3 главы 2. Пусть М = М х М вЂ” это множество всех пар (хмхг) точек мног жестваМ. Для произвольной пары (хыхг) Е М положим: А(хыхг) = = ~х1 — хг~. Согласно определению, функция у равномерно непрерывна на множестве М, если для всякого в > 0 можно указать такое 6 > О, что для любых хыхг Е М, для которых А(хыхг) < б, выполняется неравенство: (~(х1) — У(хг)~ < в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
