1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Полагаем: (З.б) ~х~т = шахЦхь(, ьхз(,, ьх Ц. Величину ~х~т будем называть чебьиаевской нормой вектора х. 194 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств П о к а ж е м, что функция Ж: х ~-+ !х!т удовлетворяет аксиомам Х1 — ХЗ, введенным в предыдущем разделе. Пусть х = (х1, хг,..., х„).
Из определения чебьниееской нормы следует, что !х,! < !х!т при каждом 1 = 1,2,...,п. Это позволяет заключить, что если !х!т = О, то х, = О для всех г = 1,2,...,п, то есть из равенства !х!т = О следует, что х = О. Видим, что условие ЯЗ для функции Х(х) = !х!т выполняется. Пусть даны векторы х = (хд,хг,...,х„), д = (уг,рг,...,р ). Пусть г = (гг,гг,...,г„) есть их сумма. Тогда при каждом1 = 1,2,...,п будем иметь: я, = х; + у; и, значит, !гг! = ! *+ рг! < !х*!+ !рг! при каждом 1 = 1, 2,..., и. Имеем !х;! < !х!т и !рз! < !у!т, откуда вытекает, что !гз! < !х!т+!ут! при каждом г,и, следовательно, !а!т = гпах(!гг!, !гг!,..., !гв5 < !х!т+ !ут!. Мы получаем, таким образом, что для любых векторов х, д Е К" выполняется неравенство: !х+ у!т < !х!т+ !ут!.
Это означает, что аксиома Х1 для функции Ж(х) = !х!т выполняется. Пусть дан произвольный вектор х = (хг,хг,..., х„) Е Ж" и пусть Л Е К. При каждом г' = 1, 2,..., п имеем: !Лх;! = !Л!!х;! < !Л!!х!т. Отсюда следует, что !Лх!т = щах(!Л!!хд!, !Л!!хг!,..., !Л!!хе!) < !Л!!х!т, то есть М(Лх) < !Л!М(х) для любых х Е И" и Л Е И. В силу леммы 3.1, М(Лх) = !Л!Я(х) для любого вектора х и любого числа Л. Аксиома Я2 для функции !х!т, таким образом, выполняется. Итак, функция !х!т, определенная равенством (3.5), является нормой в пространстве й".
З 3. Нормированные векторные пространства 195 В дальнейшем мы б ем и именять в основном некото ю г ю н о м оп еленн ю сл ю им об азом. Для произвольного вектора х = (хм хе,..., х„) в пространстве Ж" полагаем: !х! = (3.6) П о к а ж е м, что функция !х! является нормой в пространстве 2". В главе 4 было доказано следующее утверждение. Для любого числа р ) 1 и любых двух систем вещественных чисел х = (хм хз,..., х„) и у = (ум уз,...,у„) имеет место неравенство Минновсноео: п ,~ !х*+у*!'< " (3.7) Полагая в неравенстве (3.7) р = 2, получим п в ')'(х;+у;! < а=1 з=1 В левой части этого неравенства стоит величина !х+ у!, справа имеем сумму !х! + !у!.
Таким образом, !х + у! < !х! + !у! так что условие 1ч1 для функции Ж(х) = !х! выполняется. Для всякого вектора х = (хд, хз,..., х„) и любого числа Л Е 2 имеет место равенство: Ех2 = !Л!!х!, и выполнение условия Я2 для функции Х(х) = !х! установлено. Для всякого вектора х = (х1, хз,..., х ) Е 2" имеем: (3.8) п !Лх!= ') (Ах)з г=а и и ,'~ . !.'!' + " Х: !у'!' с=а о=а (Л)з,"> . = !Л! о=а з=1 ",~ ' хз > ~/хз = !х;! в=а 196 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств при каждом г' = 1, 2,..., и. Из неравенства (3.8) следует, что если для вектора х Е К" имеет место равенство !х! = О, то все компоненты вектора х равны нулю, то есть х = О. Таким образом, нами установлено, что функция И(х) = !х! удовлетворяет также и условию ХЗ.
Норма !х! в пространстве К", определенная равенством (3.6), называется евклидовой нормой в К". Норма в векторном пространстве, как показано в п. 3.1, определяет в этом пространстве некоторую метрику. Метрика в пространстве К", порожденная евклидовой нормой !х! в пространстве К", называется евклидовой метрикой в К". Из (3.8) следует, что для всякого вектора х = (хм хг,...,х„) в К" имеет место неравенство: !х! > шах(!хд!,!хг!, ,!х„!) = !х!т Имеем: хг ! !г < !х!2т Подставляя эту оценку в п р а в у ю часть неравенства (3.6), получим, что для всякого вектора х Е К" !х! < ъ/и!х!т. Таким образом, евклидова но ма и чебышевская но ма в останстве К" связаны меж собой не авенствами: !х!т < !х! < /и!х!т (3.9) Пусть х = (хм хг,..., х„) и у = (умуг,,д„) — векторы в пространстве К".
Величина: хгд1 + хгуг + + хиуи = ~ х;у; называется скалярным произведением векторов х и у и обозначается символом (х, у). Справедливо неравенство: (3.10) !(х у)! < !х!!д!. Это есть неравенство Коши — Буняковского, доказанное в з 8 главы 4 как частный случай неравенства Гельдера. для всякого вектора х Е К". 3.2.2. Вв ем понятие кото ое в альнейшем б ет часто и именяться. З 3.
Нормированные векторные пространства Для всякого вектора х б К" имеет место равенство: (х,х) = ~х~~. Введенные здесь понятия могут быть определены также и для пространства С". При этом определения чебышевской и евклидовой норм для этого случая формально получаются заменой в определениях, данных выше, символа К" на символ С". Скалярное произведение векторов х, у б С" определяется следующим образом. Пусть х = (хыхз,...,х„) и у = (у1,уз,...,у ) суть произвольные векторы в пространстве С". Здесь х, у, з = 1, 2,..., и, — произвольные комплексные числа. Скалярное произведение векторов х и у есть величина Напомним, что для произвольного комплексного числа х символ Б означает комплексное число, сопряженное к х.
При таком выборе скалярного произведения в пространстве С" для любого вектора х Е С" имеет место равенство: (х,х) = ~х~ . С помощью понятия нормы в пространстве 2" определяется метрика. Норму в пространстве К" можно вводить азными способами. Однако все нормы в К" в определенном смысле оказываются эквивалентными, как будет показано в З 6 этой главы. ° Теорема З.л. Пусть даны метрические пространства (М», р»), к = 1,2,...,и. Если каждое из этих пространств совпадает с множеством всех вещественных чисел К, наделенным его естественной метрикой, то их декартово произведение изометрично пространству 2" с евклидовой метрикой.
Доказательство. Пусть М» = М = К и р»(х,у) = ~х — у~ при каждом й = 1, 2,..., и. В соответствии с общим определением прямого произведении метрических пространств, элементами произведения М" в данном случае являются всевозможные наборы (хыхз,...,х„) из п вещественных чисел, взятых в определенном порядке, то есть М", как множество, совпадает с К". Пусть х = (хыхз,...,х„) и у = (уыуз,...,у„) — две произвольные точки пространства К". Согласно определению декартова произведения метрических пространств, имеем: ~~ ( " — ул)' = ! — у! р(х,у) = »=1 Теорема доказана. ° 198 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств П ест анство К" и ии оп еленные на его по множествах б т ля нас алее о ним из основных объектов иссл ования.
Пусть к и т суть произвольные натуральные числа и и = к + т. Тогда декартово произведение К~ х К изометрично пространству К". Пействительно, произвольному элементу (у, я) декартова произведения сопоставим вектор х Е К", получаемый следующим образом. Последовательно выпишем компоненты вектора у и затем припишем к ним, в порядке следования, компоненты вектора ж Полученный в результате вектор х Е К" обозначим символом з'(у, е).
Формально, если у = (у1, уз,..., уь) Е К" и з = (зы зз,..., з ) е К™, то Яу, е) есть вектор х = (хг, хз,..., х„) Е К" такой, что х; = у; для з = 1, 2,..., к и х; = г; при г = й+1,й+ 2,... й+ т = и. Легко проверяется, что отображение у:(у,е)ЕК хК ~ х=,1(уз)ЕК+ =К" 3,3. НекОтОРые спе НАльные НОдмнОжестВА пРОстРАнстВА К" Пусть А; = (а;, Ь;), где в' = 1, 2,..., и, — отрезки в множестве К. Совокупность всех точек х = (хыхз,...,х ) пространства К", у которых г-я координата принадлежит А; при каждом з = 1, 2,..., и, будем обозначать следующим образом: АгхАзх хА„= )(А; (3.11) и называть координатным прямоуеольником пространства К". Вся- кое множество А С К", допускающее представление вида (3.11), будем называть и-мерным прямоугольником.
является изометрическим. Отображение з', полученное таким образом, будем называть канонической изометриеб пространств К" х К и К" = К"+ . В дальнейшем вместо Яу,з) будем писать просто (у,з), отождествляя пару (у, г) с элементом Яу, з) пространства К". Пусть Б~ есть двумерная евклидова плоскость и расстояние между точками Х, У Е Б~ определяется как длина отрезка, соединяющего эти точки. (В случае Х = У отрезок вырождается в точку.) На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Пусть Х Е Ез, х и у — координаты точки Х в этой системе координат. Тогда, как следует из известных результатов аналитической геометрии, отображение д: Х ~-~ (х, у) является изометриеа плоскости Ю~ и метрического пространства К .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
