1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Шар В(а, т), в данном случае, есть замкнутый отрезок [а — т, а+ т», и, наконец, с4ера есть множество, состоящее из двух элементов — точек а — т и а+т, Б(а,т) = (а — т,а+т). В случае, когда метрическое пространство М есть обычная евклидова плоскость Ег с ее естественной метрикой (то есть за расстояние между точками в Ег принимается длина соединяющего их отрезка), В(а,т) есть к р у г на плоскости, центр которого есть точка а, а радиус равен т. При этом точки, для которых расстояние до а в точности равно т, к этому кругу н е и р и ч и с л я ю т с я. Множество Я(а, т) есть о к р у ж н о с т ь с центром а и радиусом т. Отметим некото ые п остые с в о й с т в а вве енных понятий непо- с е ственно вытекаю е из о еления. ° Лемма з.1. Пусть даны метрическое пространство (М, р) и точка а Е М.
Тогда для любых чисел т1 и тг таких, что О < т1 < тг, справедливо включение: В(а, т1) С В(а, тг). Доказательство. Действительно, пусть выполнены все условия леммы. Возьмем произвольно точку х Е В(а, т1). Тогда р(х, а) < т1, и так как т1 < тг, то р(х, а) < тг, то есть х Е В(а, тг). Мы видим, что всякая точка х шара В(а,т1) принадлежит шару В(а, тг), и тем самым лемма доказана. ° Следствие. Если О < т1 < тг, то имеют место включению В(а, т1) С В(а, тг), В(а, т1) С В(а, тг) Доказательство. Действительно, если т1 — — тг, то указанные включения превращаются в равенства.
В случае т1 < тг имеем включения: В(а,т1) С В(а,тг) С В(а,тг) С В(а,тг), из которых очевидным образом вытекает утверждение следствия. Следующее предложение устанавливает несколько более тонкий результат относительно включений шаров. 172 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств й Лемма 1.2.
Пусть даны точка а Е М, число т > О и точка хо Е В(а,т). Если О < и < т — р(хо,а), то имеет место включение: В(хо,п) С В(а,т). Перед доказательством леммы отметим следующее. 3 а м е ч а н и е. Если хо б В(а,т), то р(хо,а) < т, и, стало быть, разность т — р(хо,а) положительна, так что числа и такие, что О < у < т — р(хо, а), существуют. Доказательство леммы. Путь выполнены все условия леммы. Возьмем произвольно точку х б В(хо,п).
Тогда, в силу неравенства треугольника (аксиома М.З),имеем: р(х, а) < р(х, хо) + р(хо, а). Так как х Е В(хо, и), то р(х, хо) < ц (неравенство строгое!), и мы полу- чаем отсюда: р(х, а) < и + р(хо, а) < (т — р(хо, а)] + р(хо, а) = т. Итак, если х б В(хо, и), то р(х, а) < т, и тем самым лемма доказана. ° 1.4. ПОКЯтие НОННРОстРАнстВА Пусть дано произвольное метрическое пространство М.
Часто возникает необходимость рассмотрения функций, определенных не на всем пространстве М, а на некотором его подмножестве А. В частности, это оказывается необходимым при изучении понятий непрерывности и предела. В связи с этим можно предположить, что понятия предела и непрерывности должны рассматриваться в общей ситуации, когда заданы метрическое пространство и некоторое его подмножество, и речь идет о функциях, определенных на этом подмножестве. Можно, однако, избежать возникающих на таком пути громоздких построений и рассматривать только функции, областью определения которых является все метрическое пространство.
Для этой цели служит понятлив подпростпранстпва. Пусть даны метрическое пространство М с метрикой р и множество А. Для всякой пары х, у элементов множества А определено число р(х, у). Тем самым на множестве А х А определена функция рл = р] л Для этой функции, очевидным образом, выполняются все а к с и о м ы метрики, введенные ранее (см. и.
1.1 этого параграфа). З 2. Общие сведения о векторных пространствах Метрическое пространство (А, рл) называется подпространстаом пространсгпеа М. Множество элементов этого пространства есть множество А и рл(х, у) = р(х, у) для произвольных х, у Е А. В дальнейшем вместо рл будем писать просто р.
° Лемма 1.3. Пусть даны метрическое пространство М и множество А Е М. Тогда для всякой точки х Е А и любого числа т > 0 шары Вл(х,г), Вл(х,т) и сфера Ял(х,т) в метрическом пространстве (А,р) допускают представление: Вл(х, т) = Вм(х, г) П А, Вл(х,г) = Вм(х,т) ПА, Ял(х,т) = Бм(х,т) О А. Доказательство. Пусть у Е Вл(х,т).
Тогда у Е А и одновременно р(х, у) < т, то есть у Е Вм(х, г). Следовательно, у Е Вл(х, г) =~ у Е Вм(х, т) О А. Обратно, если у Е Вм(х, т) О А, то у Е А и р(х, у) < т, то есть у Е Вм(х, т) П А =~ у Е Вл(х, т). Из доказанного, очевидно, следует первое из равенств леммы. Справедливость двух остальных равенств устанавливается аналогично.
Лемма доказана. ° ~2. Общие сведения о векторных пространствах Математический ан лиз имеет дело, главным образом, с метрическими пространствами некоторой специальной структуры, а именно, с теми, которые являются нормированными векторными пространствами. Изучение векторных пространств, как самостоятельного математического объекта, есть задача курса алгебры. Мы предполагаем, что основы теории векторных пространств читателю знакомы.
Для полноты изложения приводятся некоторые определения и простейшие свойства векторных пространств. Прежде всего, будет дано определение понятия векторного пространства. Затем мы специально 174 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств рассмотрим частный случай векторных пространств, а именно, — пространство К". В случае п = 2 это пространство может быть естественно отождествлено с обычной евклидовой плоскостью, а в случае и = 3— с обычным трехмерным евклидовым пространством. Дифференциальное исчисление функций многих переменных изучает функции, определенные на подмножествах пространства К".
2.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 2.1.1. Векторное пространство есть множество элементов произвольной природы, в котором определены операция сложения элементов и операция умножения на число. При этом указанные операции должны обладать свойствами, аналогичными свойствам операций над векторами в аналитической геометрии. П уведем точное оп е еленке. Пусть Ж есть либо множество всех вещественных чисел К, либо множество всех комплексных чисел С. Будем говорить, что К есть числовое поле. Числовое поле К будем также называть полем скаллров данного векторного пространства. Пусть дано произвольное множество Х.
Говорят, что Х является векторным пространством над полем К, если выполнены следующие условия: в Х определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на число (то есть на произвольный элемент поля яь), причем эти операции удовлетворяют формулируемым далее в о с ь м и а к с и о м а м 1~.1 — и.8.
Формально, это означает, что каждой упорядоченной паре (х,у) элементов множества Х сопоставлен некоторый третий элемент я множества Х, называемый их суммой и обозначаемый х + у. Для любого числа Л Е К и любого х Е Х определено некоторое у Е Х, называемое произведением числа Л и элемента х и обозначаемое одним из выражений: либо Л х, либо Лх.
Операции с л о ж е н и я элементов и у м н о ж е н и я элемента на число должны при этом удовлетворять следующим восьми условиям — а к с и о м а м векторного пространства. Аксиомы с л о ж е н и я элементов. и'.1 (коммутативность сложении). Зля любых х, у Е Х выполняется равенство х + у = у + х. 175 З 2. Общие сведения о векторных пространствах Ч.2 (ассоциативность сложения). Для любых х, у, г Е Х (х+ у) + е = х+ (у+ ). Ч.З (наличие нулевого элемента).
Существует элемент О Е Х такой, что для всякого х Е ук 'Ч.4 (наличие противоположного элемента). Для всякого х Е Х существует элемент — х такой, что х+( — х) =О. Аксиомы м н о ж е н и я элемента на число. Ч,б (аддитивность по второму аргументу). Для любых х, у Е Х и любого Л Е Ж выполняется равенство: Л(х+ у) = Лх+ Лу. 'Ч.б (аддитивность по первому аргументу). Для любых чисел Л и р из К и любого х Е Х (Л + р)х = Лх + рх. Ч.Т (мультипликативность по первому аргументпу).
Для любых Л, и Е К и любого х Е Х имеет место равенство: Л(пх) = (Лп)х. 'Ч'.8 (согласованность). Для всякого х Е Ук выполняется равенство 1 х=х. 3 а м е ч а н и е. Условия 'Ч.1 — 'Ч.4 кратко формулируют так: множество Х является коммутативной (или абелевой) группой относительно операции сложения элементов. Элементы векторного пространства называют его векторами, а элементы поля — скалярами данного векторного пространства. Из условий 'Ч.1 — 'Ч.4 легко выводится, что элемент О, существование которого требуется в 'Ч.З, — е д и н с т в е н н ы й. Элемент — х, удовлетворяющий Ч.4: х+( — х) = О, е д и н с т в е ни ы й для всякого х Е Х.
176 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств Элемент О, существование которого обеспечивает 'Ч.З, называется нулевым вектором пространства Х. Для всякого элемента х векторного пространства Х выполняются равенства: О х = О и (-1) х = — х. Вывод этих равенств из а к с и о м векторного пространства мы предоставляем читателю. 2.1.2. Пусть Х есть векторное пространство над полем Х. Тогда в нем, естественным образом, может быть определено п о н я т и е с у м м ы для произвольного конечного числа слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
