1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Показать, что если функция х ~-~ [/(х)]з интегрируема по промежутку [а, Ь], то также и функция / интегрируема по [а, Ь]. Верно ли это в случае, когда либо а = — со, либо Ь = со? 1 1 5.11. Пусть числа р > О и д > О таковы, что — + — = 1. Предположим, что р я /: (а, Ь) — ~ К и д: (а, Ь) -+ И суть непрерывные в основном функции. Показать, что если функпии х ~-~ ]/(х)]Р и х ~-+ ]д(х)]ч интегрируемы по промежутку [а, Ь], то произведение /(х)д(х) также интегрируемо по этому промежутку, причем имеет место неравенство: ь Ь г/р ь 1/ч /(х)д(х) ах < ]/(х)]я ах [д(х)]ч ах (интееравьное неравенство Гевъдера).
5.12. функция и: (а, Ь) — ~ ЬЬ непрерывна в основном и такова, что функция х ~-~ [и(х) ]г интегрируема по промежутку [а, Ь] для некоторого р > 1. Показах~э, что и интегрируема по интервалу (а, Ь). Верно ли, что и интегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь]? Пусть Г: (а, Ь) -+ К есть первообразная функции и в промежутке (а, Ь).
Доказать, что функция Р удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1 а = 1 — —, то есть существует постоянная М < оо такая, что для любых р' хз, хз Е (а, Ь) выполняется неравенство: [г (ХЗ) г (Хг)] < Ы]хз ХГ] 5.13. Пусть /: (О, со) — ~ Ж есть непрерывная в основном функция.
Показать справедливость равенства | 1 /х а~ /х а~ — У [ — + — ) 1пхдх = 1па — / ~ — + — ) Ых х [,а х / х а х о о в предположении, что интегралы, стоящие в этом равенстве, определены. 5.14. Пусть /: (О, оо) — ~ % есть непрерывная в основном функция. Показать справедливость следующего равенства в предположении, что интегралы, стоящие в нем, определены: | 1 / 1~ — / ~х+ — ) агоний хнах = — — / ~х+ — ) дх. х х 4( х ~ х) в о 157 Задачи 5.15, Пусть у: [О,оо) — ь К н ф: [О, оо) -+ й — непрерывные строго возраста ющие функции, причем ~р(0) = Ф(0) = 0 и каждая из функций у и ф является обратной по отношению к другой, ~р = ф з и ф ж <р ~.
Положим: Ф(х) = (р(1)(й, Ф(р) = 4(С) (1ь о о Показать, что для любых чисел и > 0 и е > 0 выполняется неравенство: ие < Ф(и) + Ф(е) (общее неравенставо Юнеа). 5.16. Пусть 1: [а, оо) есть интегрируемая по промежутку [а, оо) непрерывнвл в основном функция. Лля й > 0 и х Е [а, оо) положим: Уь(х) = — 1 У(х+~)б~. о Показать, что функция уь непрерывна и для всякого х е [а,оо), такого, что функция Г непрерывна в точке х, имеет место равенство: 1пп Дь(х) = г(х).
ь-~о 5.17. Пусть Г: [а, оо) — Н принадлежит классу Рг. Показать, что если функция х ~ [у'(х)] интегрнруема в [а,со], то существует конечный предел 1пп Дх). 1 5.18. Положим: 1„= (1 — х ) дх. Доказать, что 1„— ~ 0 при и — ~ оо. -1 Локазать, что существует конечный предел 1цп„,„, ~/й1н. 5.19.
Пусть у: [-1, 1] -+ Ж вЂ” непрерывная функция. Найти предел: / ЬУ(х) Их 1пп ь +о х +а -1 5.20. Найти предел: 1 Их 1пп '-о./ о 158 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 5.21. Пусть у — непрерывная функция, определенная для всех х и равная нулю при х, лежашнх вне некоторого сегмента [а, Ь]. Доказать, что если у= е о1, то 1пп — / е ьз ДС)~Ы = Дх) Ь +ОчЛ / для всех х. (В дальнейшем будет показано, что у = ~/т.) 5.22. Функция»': [-1, 1] а Н непрерывна. Найти предел: ( ЛУ(х) г пх' ь +О 1 х2 » 52 -1 5.23.
Функция 1: [О, оо) -+ И непрерывна и ограничена. Найти предел: 1пп Л е а~у(х)дх. ь О 5.24. Показать, что 11ш (в1пх)" 4х = О. О 5.25. Показать, что 1 »» х" 1ип 4х = О. а-~ао / 1+х О 5.26. Найти предел: Ьа Дх) Нх 1цп О х аа где У Е С([О, 1]), а > О, Ь > О. 159 Задачи монотонная убывззощвя функция. Доказать, 5.27. Пусть у: [О,оо) — К есть что если интеграл: сходится, то ху(х) -~ 0 при х — ~ оо. 5.28.
Положим: У(х) = я1пФ сЫ. Доказать, что [у(х)[ < 2/х при х > О. 5.29. Доказать, что функция принадлежит классу на в С'"' сей прямой й. Построить поливом Тейлора по- Р ядка п для произвольного в функции у в точке х = О. 5.30. Доказать непрерывность функции 1 1 евах Ф:1Е [0,1[ ~-~ / фх — 1[ о непрерывна. 5.32. Пусть 1': [а, Ь] — ~ й — неотрицательная непрерывная функция. Положим: ь Р(х) = у(р)[х — р[Нр. а Доказать, что функция г' — выпукла. где 0 < о < 1, н(Г) — непрерывна.
5.31. Доказать, что функция 1 о / е-зс11 о Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 5.33. Функция у: [О, 1] — ~  — непрерывна и строго убывает на отрезке [О, 1]. Доказать, что функция 1 ~р: х Е и ~ шш(х,у(г)) пг о дифференцируема для х Е Щ1), з (0)). Найти <р'(х). 5.34. Пусть 1: [ — 1,1] — И вЂ” непрерывная функция. Доказать, что если | 1 ,((х)х(х) 4х = 0 -1 для всякой непрерывной четной (нечетной) функции ~р: [-1, 1] -+ Й, то г'— нечетна (соответственно, четна). 5.35. Пусть г: [а, Ь] — ~ И есть строго положительная непрерывная функция.
Показать, что , цз йш ~ [1(х)] 4х) = гпах у(х), 3 оз / *е(а,ь! а ~ газ 11ш [у(х)] 4х = шш у(х). 3-~-оэ / ) —.,(а,Ь) а 5.36. Пусть 1: (О, 1) — + Н, 1 ( оо — непрерывная строго убывающая функция такая, что 1(х) — 0 при х — + 1, и д: (О, А) -+ Ж вЂ” функция, обратная к г'.
Здесь А = 1пп Дх). Локазать, что з с о с 5.3Т. Пусть (а,Ь) С Ж. Ланы числа хд,хз,...,хь Е (а,Ь) и аыаз,...,оь. Локззать, что если для всякого полинома Р степени не выше т ,''з о,Р(х;) = О, 161 Задачи то существует функция С : (а,Ь) — ~ К такая, что для всякой функции 1 Е ь>"'+~(а,Ь) выполняется равенство: 5.38. Даны числа хмхз,...,хй Е [0,1] и ад,аз,...,ой. Предположим, что д ля всякого полинома Р степени не выше т выполняется равенство: 1 й | Р(х) Нх = ~) пчР(х;). й=г е Доказать, что существует функция С: [О, 1] — ~ К такая, что для всякои функ- ции 1 класса С(~+~) выполняется равенство: 1 й 1 | я.) =2 .;я*;> -|а~*>~'-"'(е *.
о в=1 о 5.39. Функция 1: К вЂ” ~ С вЂ” периодическая с периодом Т = 2к. Доказать, что если г принадлежит классу Юй(Й) и ее производная 1("1 абсолютно интегрируема на промежутке [О, 2и], то зя 27Г | 1(х)е' *Их < — „]у(~)(х)]ох. о е 5.40. Пусть функция и: [О,оо) -+ й — дифференцируема, и(х) — + оо при х -~ оо, и'(х) = о[и(х)] при х — ~ оо.
Доказать, что тогда | ейхн(х) и(1)ей 41 = [1+ о(1)] й о при х — ~ оо. 5.41. Функция и: [О,оо) -~ й принадлежит классу Сг и такова, что для -йе некоторого й ) О имеем и(х)е "* — ~ О при х -+ оо, и и(г)е Ю сходится. а Предположим, что н'(х) = о(и(х)) при х — ~ со. Доказать, что тогда 162 Гл. 5. Интегральное исчисление функдий одной переменной 5.42. Функция и: [О, оо) -+ й принадлежит классу С2, и(х) — со, и'(х) -~ оо при х ( со, ил(х) = о(и'(х)) при х — ( оо. Доказать, что тогда для всякого й>0 | е"* еь* и(г)е Ж = — и(х) — — н (х) + о(е *и (х)).
ьг о 5.43. Функция и: [О,оо) -+ И принадлежит классу С и такова, что для 2 -ья 1 -ы некоторого я > О имеем и(х)е * - О при х — оо и интеграл и(г)е сй сходится. Предположим, что и'(х)е ~* — ( О при х — ~ О и ел(х) = о(и'(х)) при х -( оо. Доказать, что и($)е ог = — е *+ — е + 0(е и (х)) | и(х) я и(х) Ь2 при х — ~ со. 5.44. Функция 1: й — ~ К вЂ” непрерывна и обладает следующими свойствами: какова бы ни была функция у: [1, оо) -~ Й, абсолютно интегрируемая в [1, со), — функция д = 1 о х абсолютно интегрируема в [1, оо). Доказать, что тогда существует число Х < со, Ь > О такое, что [Дх)[ ( Ь[х[ для всех х. 5.45. Функция У': й — ( К вЂ” непрерывна и обладает следующим свойством: какова бы ни была функция ф: [1, оо) — ~ Й, интегрируемая в [1, оо), функция д = У' о у интегрируема в [1, оо).
Доказать, что тогда У(х) = хх, где я Е К. 5.46. Пусть У': [0,1] -( й — возрастающая функция. Доказать, что для всякого гл 5 И выполняется неравенство: 1 2х(-)-';о(-)-'; (2 у( — )( | — (( ~/зо( Глава 6 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИкчЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ° Понятие метрики на множестве ° Произведение метрических пространств ° Способы построения новых метрических пространств ° Шары и сферы в метрическом пространстве ° Понятие лодпространства Прямоугольники в пространстве ж~ ° Обший принцип построения векторных пространств ° Нормированные векторные пространства ° Понятие предела относительно оценочной функции, определения непрерывности и предела для отображений метрических пространств ° Теоремы о пределе и непрерывности супер- позиции а Непрерывные отображения, замкнутые и открытые множества ° Характеристика замкнутого множества в метрическом пространстве посредством понятия предела последовательности ° Теоремы об операциях над открытыми и замкнутыми множествами метрического пространства ° Понятие полного метрическою пространства ° Линейные отображения векторных пространств ° Компактные множества в метрических пространствах ° Теорема о непрерывном образе компактного множества ° Теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции ° Понятие равномерно непрерывного отображения ° Модуль непрерывности отображения ° Равномерная непрерывность непрерывных отображений компактных множеств ~теорема Гейне) ° Теорема об эквивалентности норм в конечномерном векторном пространстве ° Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств 61. Общие свойства метрических пространств 1.1. ОВРВНВннннВ н ВРОстВЙшнВ СВОЙСТВА мнтрнчнсннх ПРОСТРАНСТВ 1.1.1. Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что всякой паре (х,у) элементов множества М сопоставлено некоторое вещественное число р(х, у). Функция р: (х,у) Е М х М ~ р(х,у) Е К, получаемая таким образом, называется метрикой на множестве М, если она удовлетворяет формулируемым далее условиям М1 — М4, которые мы будем называть а к с и о м а м и метрики. М1.
Для всякого х Е М справедливо равенство (1.1) р(х,х) = О. М2. Для любых х Е М и у Е М имеет место равенство р(х, у) = р(у, х). (1.2) МЗ. Для любых х Е М, у Е М и х Е М выполняется неравенство (1.3) р(х, я) < р(х, у) + р(у, я). М4. Если пара (х,у), где х Е М и у Е М, такова, что р(х,у) = О, то х = у. В этой главе будут определены понятия непрерывности и предела функций многих переменных. Для этого мы воспользуемся понятием метрического пространства. Применение метрических пространств позволяет изложить теорию предела и непрерывных функций в относительно простой и в то же время достаточно общей форме. Метрическое пространство есть произвольное множество, в котором определено расстояние между его элементами, то есть каждой паре элементов множества сопоставлено некоторое число — расстояние между ними.
При этом предполагается, что расстояние между элементами множества удовлетворяет некоторым простым условиям. В этом параграфе дается определение метрического пространства и устанавливаются некоторые простые свойства метрических пространств, непосредственно вытекающие из определения. З 1. Общие свойства метрических пространств Метрическим пространством называется всякое множество, на котором задана некоторая метрика р. Формально метрическое пространство есть пара (М, р), где М есть множество, а р — метрика, определенная на М. Элементы метрического пространства мы будем называть его точками. Для произвольных точек х Е М и у Е М величина р(я, у) называется расстоянием между точками я и у в метрическом пространстве (М, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
