1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть даны множество Е, векторное пространство Х над полем 1ь и некоторый непустой класс функций М, имеющих областью определения множество .Е, а областью значений пространство Х. Если для любых функций У,д Е М и любых чисел Л, р Е К функция ЛУ + рд принадлежит М, то М является векторным пространством. Действительно, условия следствия означают, что заданный класс функций М есть подпространство векторного пространства У(Е, Х) и, значит, сам является векторным пространством.
У Теорема 2.1 и ее следствие дают способ проверки того, что то или иное множество функций является векторным пространством. Если задан некоторый класс функций М, определенных на множестве Е и принимающих значения в векторном пространстве Х, то для того, чтобы проверить, что М есть векторное пространство, нет необхо умести и ве ять выполнение всех восьми а к с и о м векто ного Быяжииий.. Достаточно убедиться в том, что для любых двух функций у и д, принадлежащих множеству М, и любых чисел Л, и е К линейная комбинация Лу + пд также является элементом множества М. Векторные пространства К" и С могут рассматриваться как ч а с т н ы е с л у ч а и пространства У(Е, Х), получаемые при некотором специальном выборе множества Е и векторного пространства Х. 182 Гл.
6. Непрерывные отображеиия метрических пространств Пусть 1 есть отрезок (Й Е И ! й < н) = (1,2,...,н) множества всех натуральных чисел М. Всякая конечная последовательность х = (хы хз,...,х„) представляет собой функцию, определенную на множестве 1„. Совокупность всех вещественных чисел К, как было отмечено выше, представляет собой векторное пространство над полем К.
Множество всех комплексных чисел С есть векторное пространство над полем С. Отсюда следует, что пространство К" с о в п а д а е т с пространством У(1„,К), а С" с о в п а д а е т с пространством У'(1, С). 2.3. Линкйнык отоврлжкння вкктогных прострАнств 2.3.1. Приведем некоторые сведения о линейных отображениях векторных пространств. Изучение общих свойств линейных отображений есть задача курса алгебры. Здесь мы приведем определение того, что есть линейное отображение, и отметим некоторые простейшие свойства тахих отображений, имеющие значение для дальнейшего.
Пусть даны векторные пространства Х и У над числовым полем К. Отображение ~р: Х -+ У называется линейным, если оно удовлетворяет следующим двум условиям: Ь 1. Для любых двух векторов хы хг Е Х имеет место равенство: у(х1 + хз) = у(х1) + ~р(хз). Ь 2. Для всяхого вектора х Е Х и любого числа а Е Х выполняется равенство: у(ах) = а<р(х). Совокупность всех линейных отображений пространства Х в пространство Ъ"мы будем обозначать символом .С(Х,Ъ'). Данное здесь определение не исключает случай, когда пространство У совпадает с числовым полем К. Всяхое линейное отображение у: Х вЂ” + К называется линейной формой.
Множество а,(Х,К) всех линейных форм в пространстве Х обычно обозначается символом Х". П ив ем п уме ы иллюст ие вв енное сейчас об ее понятие линейного отоб ажелия. (Они тахже будут использоваться в дальнейшем.) Пример 1. Отображение, у: Х вЂ” У, тождественно равное нулю, то есть такое, что для всякого х Е Х элемент у(х) есть нулевой вехтор пространства У, очевидно, является линейным.
183 З 2. Общие сведения о векторных пространствах Пример 2. Предположим, что Х вЂ” конечномерно, и пусть (ам аз,... ...,а„) есть произвольный базис пространства Х. Для 1 = 1,2,...,»» пусть а' есть линейная форма в пространстве Х, определенная следующим условием: для х Е Х значение а'(х) есть з-я координата вектора х относительно данного базиса. П о х а ж е м, что а' суть линейные формы в пространстве Х. Пусть даны векторы х, у Е Х.
Имеем: х=~ ха,, откуда получаем: х+у = ~(х;+у;)а;, ах = ~~» ах,а;. Тах как представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса определено однозначно, то из последних равенств следует, что 1-я хоордината вектора х + у относительно базиса (ам ав,..., а„) равна х; + у;, то есть а*(х + у) = а'(х) + а'(у), а»'-я координата вектора ах равна ах,, то есть а'(ах) = сяа'(х).
Мы получаем, что для фунхпии а' выполнены оба условия Ь 1 и Ь 2, что и дохазывает ее линейность. Пример 3. Определение линейного отображения не исключает случай, когда пространство Х совпадает с числовым полем К. Если отображение у: К вЂ” » У линейно, то, как следует из данного выше определения линейного отображения, для всяхого 1 Е К имеет место равенство: ,» (б) = Дб ° 1) = Щ1) = ФЬ, где Ь есть вектор в к'. Я, ~б: бр»:К У, р~ равенством г'($) = 8Ь, будет линейным, как бы ни был выбран вектор Ь Е 'Я'.
184 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств ственно вытекаю ие из о еленин. 1. Для всякого отображения х Е я",(Х, Ъ') имеет место равенство: р(о) = о. (В левой части этого равенства стоит нуль пространства Х, в правой — нуль пространства У.) Действительно, у(0) = у(0 0) = 0 ~р(0) = О, что и требовалось доказать. 2. Для любых двух векторов х,у Е Хи любых чисел а,Р Е %имеет место равенство: ~р(ах+ ру) = ау(х) + ~Зу(у).
(2.1) Действительно, последовательно применяя сначала условие Ь 1, а затем условие 1 2,получим: ~р(ах + ~уу) = ~р(ах) + у(~3у) = аЗ2(х) + 11~р(у), что и требовалось доказать. 3. Пусть у: Х вЂ” ~ У вЂ” линейное отображение. Тогда для любой конечной системы векторов х1,хз,...,х пространства Х и чисел аг,аз,...,а имеет место равенство: (2.2) Справедливость данного утверждения легко устанавливается индукпией по числу слагаемых т. 4. Пусть р1 и 1оз суть произвольные линейные отображения пространства Х в пространство Ъ', а1 и а2 — произвольные числа. Тогда отображение Ф = а1~Р1 + аз~Р2 Пример 4. Пусть 1: Х вЂ” + Х есть тождественное отображение пространства Х на себя, то есть для всякого х Е Х выполняется равенство: 1(х) = х.
Отображение 1, очевидно, является линейным. Пример 5. Пусть У: Х вЂ” ~ К есть линейная форма в пространстве Х и а есть произвольный вектор в векторном пространстве У. Тогда отображение х Е Х У(х)а линейно. Предоставляем читателю проверку этого факта. Отметим некото ые с в о й с т в а линейных стоб ажений непос- 185 З 2. Общие сведения о векторных пространствах определенное равенством ~0(х) = а1~Р1(х) + сяздз(х) для всякого х, также есть линейное отображение пространства Х в пространство У. Ванное утверждение доказывается непосредственной проверкой того, что оба условия Ь1 и 1 2 (см. выше) для отображения а1у1+ азиз выполняются. Утверждение 4, в частности, позволяет заключить, что множество .С(Х, У) всех линейных отображений пространства Х в пространство У представляет собой векторное пространство над полем К.
б. Пусть даны векторные пространства Х, Ъ', Ж и пусть ~р: Х вЂ” ~ У, 4: У вЂ” Ж суть линейные отображения. Тогда их суперпозиция 4 о у также является линейным отображением. действительно, пусть х и у — два произвольных вектора в пространстве Х. Используя свойство линейности отображений <р и 4, последовательно получаем: 4~[у(х + у)] = 4~~р (х) + у(у)] = 4фр(х)] + ~[у(у)], и тем самым нами доказало, что для отображения у с х выполняется условие Ь 1. Зададим произвольно х Е Х и а Е К. Получаем: М~( х)] = М р(х)] = Ир(х)], и таким образом установлено, что суперпозиция 4 о х удовлетворяет также и условию Ь 2.
Согласно определению линейного отображения, из доказанного следует линейность у о ~р,что и требовалось доказать. 6. Пусть Х и У суть векторные пространства. Предположим, что пространство Ъ'конечномерно и в нем фиксирован некоторый базис а1,аз,...,а , где т — размерность пространства У. Пусть дано отображение у: Х вЂ” ~ Ъ' и пусть у;(х), г = 1, 2,..., т, — координаты вектора у(х) относительно данного базиса.
Тогда отображение у является линейным в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций хз(х) линейна. Лействительно, вещественная функпия а', которая каждому вектору у Е У сопоставляет его ю-ю координату относительно данного базиса в У, линейна (см. выше пример 2). Имеем: у;(х) = а'[у(х)], то есть 186 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств у, = а' о р.
В силу утверждения 5, отсюда следует линейность каждой из функций <р;. Предположим, что отображение у: Х вЂ” + Ъ' таково, что каждая из функций у, линейна. Тогда при каждом г' = 1, 2,..., т линейно отображение х е Х ~ у;(х)а; (см. выше пример 5). Имеем: ~р(х) = ~~ у;(х)а;, Рассмот им с п о с о б ы з ануя линейных отоб ажений и ост анств К" кото ые чаще всего б т нам вот ечаться. Пусть ем ез,...,е„ есть канонический базис пространства К", то есть при каждом г' = 1, 2,..., п элемент е; есть вектор в К", у которого г-я координата равна 1, а остальные координаты равны нулю. Зададим произвольно вектор х = (х1,хз,...,х„).
Тогда имеем: х= ,'~ хе;, (2.3) Предположим, что у: К" — ~ К есть линейное отображение, а х есть произвольный вектор пространства К". Подставляя в равенство (2.3) выражение вектора х через его координаты, получим, что вектор у = ~р(х) Е К выражается следующим образом: ~р(х) = ~~ х;~р(е,) = ~ х;а;, (2.4) где а; = у(е;), г = 1, 2,..., п, — векторы в К Равенство (2.4) дает нам некоторое представление линейного отображения <р: К" — К П о к а ж е м, что векторы а,, г = 1,2,...,п, из пространства К, стоящие в равенстве (2.4), могут быть взяты произвольно. При этом если линейное отображение у: К" — ~ К™ задано, то векторы а, Е К™ определяются по у е д и н с т в е н н ы м образом. и утверждение 4 позволяет заключить, что у есть линейное отображение Х в Ъ'.
Итак, утверждение 6 доказано полностью. 2.3.2. Теперь обратимся к случаю, который для нас будет основным, а именно, — к сл чаю ког а числовое поле К есть множество всех веественных чисел К а Х = К" У = К™. 187 З 2. Общие сведения о векторных пространствах Действительно, пусть даны векторы а;, 1 = 1, 2,..., и, в пространстве К™.
Для х = (х1, хз,..., х ) Е К" полагаем: (2.5) Нетрудно видеть, что отображение ~р, определенное равенством (2.5), линейно. Найдем его значения для х = е;: в этом случае 1-я координата вектора х равна 1, а остальные равны О. Отсюда следует, что в сумме, стоящей с и р а в а в соотношении (2.5), все слагаемые, номера которых отличны от данного 1, для рассматриваемого х обращаются в нуль, а вся сумма равна а;. Таким образом, мы получаем, что при каждом 1' = 1,2,...,п выполняется равенство: (2.6) у(ез) = а;. Этим д о к а з а н о, что векторы а; в представлении (2.5) определяются по р е д и н с т в е н н ы м образом.
Мы приходим, таким образом, к выводу: Всякое линейное отоб а- жение п ест анства К" в К можно пол чить сл м способом. В К выберем произвольно векторы а;, 1 = 1,2,...,и. Отображение у: К" — К™, определенное по данным векторам а;, 1 = 1,2,...,п, равенством (2.5), линейно. Так можно получить любое линейное отображение у: К" — К . При этом векторы а; в равенстве (2.5) определяются по р е д и н с т в е н н ы м образом, а именно, эти векторы находятся посредством равенств (2.6). Векторы а; в соотношении (2.5) называются коэффициентпами линейного отаобрахсення у. Далее е1 означает линейную форму в К", определенную следующим у с л о в и е м: Для произвольного вектора х = (х1, хз,..., х„) Е К" выполняется равенство е'(х) = х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
