1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Согласно (2.5) и (2.6), для всякою вектора х Е К" имеем: и, следовательно, отображение у может быть представлено в виде: 188 Гп. 6. Непрерывные отображепия метрических пространств гой способ задания линейного отоб ажения может быть пол- чен если выписать в явном ви е соотношения вы ажающие кое ина- ты векто а = х че ез кое ипаты векто а х.
Символ 1„далее, как обычно, обозначает отрезок множества всех натуральных чисел К, состоящий из всех и Е 1з' таких, что 1 < и < т. Пусть у: К" — К™ есть линейное отображение и векторы а; Е К™, г = 1, 2,..., и, суть коэффициенты отображения у. Для произвольного вектора х = (х1, хг,..., х„), согласно (2.5), имеем равенство: ~р(х) = агх1+агхг + . + а„х„. Вектор у = <р(х) есть линейная комбинация векторов а ы аз,..., а „.
При этом коэффициенты линейной комбинации равны соответствующим координатам вектора х. Пусть р(х) = у = (умуг,...,у, ). Пусть а; = (аы, аг*,,а„„). Координата с номером к, 1 < к < т, вектора у равна сумме: аыхг + аьгхг + + аь„х = ,'~ аыхг. В результате мы получаем следующую с и с т е м у р а в е н с т в, дающих выражение координат вектора у = сг(х) через координаты вектора х и координаты векторов а;, г = 1, 2,..., т: уг = аггхг + аггхг + ... + аг„х, уг = азгх1 + аггхг + ... + агпхп, (2.7) ут = ажгхг + атгхг + ° ° + атчхп. Лля всякой пары г, г, где г Е 1„, г Е 1„„, здесь определено число ам.
Задав произвольно линейное отображение ~р: К" — К™, мы, таким образом, получили некоторую систему чисел а;,ч где г = 1,2,...,т, г = 1,2,...,и, — коэффициентов при переменных х в правой части равенств (2.7). Всякая система чисел а,,з где г принимает все значения из $ от 1 до т, а у пробегает все множество 1„, называется матриней из т строк и и столбцов или, короче, т х и-матриней. Матрица есть функция, определенная на множестве всех пар (г, у), где г Е 1, а у Е й„. 189 З 2.
Общие сведения о векторных пространствах Числа а;1 называются элементами матрицы. При этом г есть номер строки, г — номер столбца матрицы, в которых стоит элемент аез данной матрицы. Для обозначения т х и-матрицы с элементами а; применяются либо с о к р а щ е н н а я запись вида: А = (аз);-цг......„д-цг,...,„= (аич),.е1 .е1, либо р а з в е р н у т а я запись, аналогичная следующей: агг а1г ...
а1 азг азг ... аг„ А= (2.8) а,„ 1 а, г ... а, „ Отображение у: К" — + К пространства К" в пространство К™, сопоставляющее вектору х Е К" вектор у Е К, координаты которого выражаются через координаты х формулами вида (2.7), является линейным. Коэффициенты а,д в равенстве (2.7) определяются по отображению у е д и н с т в е н н ы м образом. Матрица с элементами а,.д, г = 1, 2,..., т, г = 1, 2,..., и, называется матрицей линейного отобраэкеиия ~р. Пусть ~р: К" — К есть линейное отображение, А — матрица этого отображения. Вектор, определяемый п р а в о й частью равенства (2.7), называется произведением матрицы А и вектора х и обозначается символом Ах.
Таким образом, у(х) = Ах для всякого вектора х Е К". Получаем некоторую сокращенную форму записи правой части равенства (2.7). Пусть уг: К" — К™ и уг: К" — К™ — произвольные линейные отображения, Л1 и Лг — вещественные числа. Положим: р=л,~,+л,р,. Мы получаем, таким образом, некоторое отображение: Это отображение, в силу утверждения 4, л и н е й н о. 190 Гл. 6. Непрерывные отображении метрических пространств Пусть даны линейные отображения ф: Ж" — И и у: К™ — + и". Тогда определено отображение: — суперпозиция отображений у и 4.
Согласно утверждению 5, отображение д линейно. Пусть А есть матрица отображения ф,  — матрица отображения ~р, где предполагается, что отображения ф и р удовлетворяют условиям предыдущего определения. Тогда определено линейное отображение д=~роф. Матрица С отображения й называется произведением матриц А и В и обозначается символом ВА.
Предоставляем читателю самостоятельный вывод явного выражения элементов матрицы ВА через элементы матриц А и В. 63. Нормированные векторные пространства В этом параграфе вводится понятие нормы вектора в векторном пространстве. По своим свойствам норма вектора аналогична модулю числа. Задание нормы в векторном пространстве позволяет определить в нем некоторую метрику, называемую метрикой, порожденной данной нормой.
Рассматривается специально случай пространства и". Определяется понятие нормы линейного отображения. 3.1. ПОНЯТИЕ НОРМЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Пусть Х есть векторное пространство над полем К. Напомним, что К здесь означает либо множество всех вещественных чисел й, либо множество всех комплексных чисел С.
Функция Ж: Х вЂ” ~ й называется полунормой, если она удовлетворяет д в у м условиям: М1. Для любых двух векторов х, у Е Х выполняется неравенство: М(х + у) ( Х(х) + Х(р). Х2. Вля всякого х Е Х и любого Л Е 1ь имеет место равенство: Х(Лх) = /Л/Х(х). З 3. Нормированные векторные пространства Пусть Х: Х вЂ” К есть полунорма. Полагая в условии Х2 х = 0 и Л = 0 и замечая,что 0 0 = О,получим: М(0) = Ж(0 0) = 0 М(0) = О, так что для нулевого элемента векторного пространства Х выполняется Ж(0) = О. Для всякого вектора х Е Х имеем: О=х+( — х) =х+( — 1) х и, значит, 0 = М(х + ( — 1) х) < Ж(х) + Х(( — 1) . х) = 2Ж(х). Отсюда получаем, что 0 < 2Ж(х). Следовательно, для всякого х Е Х справедливо М(х) ) О.
Функция М: Х вЂ” Н называется нормой, если она является полу- нормой и, кроме того, удовлетворяет условию о т д е л и м о с т и: 1з 3. Если для вектора х Е Х имеет место равенство Ж(х) = О, то х есть нулевой вектор пространства Х. Условия г11 — г13 называются а и с н о и а м н нормы в векторном пространстве. Будем говорить, что векторное пространство Х нормировано, если в нем задана некоторая норма.
Формально, нормированное векторное пространство — это пара (Х, Х), где Х вЂ” векторное пространство, Ж вЂ” норма в этом пространстве. Пусть Х есть норма в нормированном векторном пространстве Х. Для х Е Х величина М(х) называется нормой вектора х. В дальнейшем норму вектора х будем обозначать символом ~х~к или какими-либо другими, аналогичными знаку модуля числа, например, )Щ Щхф, ~х).
Пусть Х = К. В множестве К определены операции сложения и умножения элементов. Они удовлетворяют всем восьми а к с и о м а м векторного пространства (см. З2) и, следовательно, Ж есть векторное пространство над полем К. Функция Ф(х) = ф, очевидно, удовлетворяет условиям Х1 — г13 и, значит, является нормой в поле К, рассматриваемой как векторное пространство над Й. Множество К, таким образом, представляет собой п р и м е р нормированного векторного пространства над полем К.
192 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Множество всех к о м п л е к с н ы х чисел С является векторным пространством как над полем Ж, так и над полем С. В обоих случаях функция Ж(я) = ф есть норма в этом пространстве. Р а с с м о т р и м векторы в обычном трехмерном пространстве. Пусть (х~ означает длину вектора х. Функция Ф(х) = ~х( удовлетворяет условиям 1ч1-дч3, откуда следует, что множество всех векторов трехмерного евклидова пространства есть нормированное векторное просндрансндво.
При этом но ма п оизвольного векто а х авиа его длине. Следующая лемма полезна при проверке того, что та или иная функция на векторном пространстве является полунормой. ° Лемма 3.1. Пусть Х есть векторное пространство и Г: Х вЂ” ди — неотрицательная функция. Если для любого вектора х Е Х и любого числа Л Е яд выполняется неравенство (3.1) Г(Лх) < ~Л/Г(х), то (3.2) Г(Лх) = ~Л!Г(х) для любых х Е Х и Л Е К. Доказательство. Предположим, что функция Г удовлетворяет условию леммы. Полагая в (3.1) Л = О, получим, что для всякого х Е Х Г(0 х) = Г(0) < 0 Г(х) = О.
Так как Г(0) ) О, отсюда следует, что Г(0 х) = Г(0) = 0 = 0. Г(х), так что для Л = 0 равенство (3.2) выполняется. Пусть Л ~ О. Возьмем произвольно х Е Х. По условию, имеет место неравенство (3.1). 1 Положим хд = Лх и Лд = —. Имеем: Лдхд = х. Из условия леммы Л получаем: Г(х) = Г(Лдхд) < !Лд!Г(хд) = — Г(Лх).
1 (Л~ Отсюда !Л~Г(х) < Г(Лх). (3.3) Сопоставляя неравенства (3.1) и (3.3), заключаем, что Г(Лх) = ~Л~Г(х). Лемма доказана. ° 193 З 3. Нормированные векторные пространства Пусть Х есть нормированное векторное пространство. Норму произвольного вектора х Е Х будем обозначать символом ~х~. Задание нормы в пространстве Х позволяет ввести в нем некоторую метрику, а именно, — для произвольных точек х, у пространства Х полагаем: (3.4) р(х,р) = М - Ы. П о к а ж е м, что функция пары точек пространства Х, определенная равенством (3.4), является метрикой.
Для всякой точки х Е Х имеем: х — х = О и, следовательно, р(х, х) = = ~х — х~ = О, так что в данном случае а к с и о м а М1 метрики выполняется. Для любых х,у Е Х имеем: х — у = ( — 1)(у — х) и, стало быть, ~х — р~ = )у — х), откуда получаем, что р(х,у) = р(у,х), и аксиома М2, таким образом, в данном случае выполняется. Пусть х, у и я — три произвольные точки пространства Х. Тогда имеем: х — я! = )(х — р)+ (у — я)( ( )х — р)+ (р — я)р то есть р(х, я) < р(хЛ) + р(р, х), так что а к с и о м а МЗ выполняется. Пусть точки х, у таковы, что р(х, у) = О. Имеем: р(х, у) = ~х — у~ и, значит, в силу а к с и о м ы отделимости нормьь (а к с и о м ы МЗ) х — у=О, откупах=р.
А к с и о м а М4 для функции р, таким образом, выполняется и, следовательно, мы доказали, что р есть метрика в пространстве Х. Построенная метрика р в нормированном пространстве Х называется метрикой, порожденной нормой пространства. Мы будем также называть ее естественной метрикой нормированноео векторноео пространства Х. 3.2. НОРМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Й 3.2.1. Опишем некоторые конкретные нормы в пространстве К". Пусть х = (хь,хз,...,х„) есть произвольный вектор в пространстве К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
