1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Сопоставляя это определение с определением предела относительно оценочной 4рннции, получим, что условие — функция ~: М вЂ” Й равномерно непрерывна — означает, что разность 1". (х1) — У(хг) имеет равный нулю предел при ~х1 — хг~ — О.
210 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств 4.1.2. Следующая теорема представляет собой а н а л о г теоремы об эквивалентности понятий предела в смысле Коши и в смысле Гейне (см. главу 2). Она позволит свести доказательство свойств пределов в о б щ е м случае к ч а с т н о м у случаю предела последовательности (см. там же). Пусть дано произвольное множество М. Пусть Л: М -+ 1а есть оценочная функция на атом множестве. Далее речь всегда идет о пределе при Л(х) — О. Последовательность (х„)„ен точек множества М будем называть сходяшейся относительно оценочной функции Л, если йш Л(х ) = О.
° Теорема 4.1. Для того чтобы число Ь Е Й было пределом функции У(х) при Л(х) — ~ О, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности (х„) ен„точек множества М такой, что 1пп Л(х„) = О, и сю выполнялось равенство: Ь = 1пп У(х„). Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что Ь Е Й есть предел 1(х) при Л(х) — ~ О. Пусть 1 — конечно. Зададим произвольно в > О. Согласно определению предела, по нему найдется б > 0 такое, что если Л(х) < б, то йх) — 4< .
Пусть последовательность (х„)„ен„элементов множества М такова, .что 1пп Л(х ) = О. Тогда найдется номер й > к такой, что при всяком п > й имеет место неравенство: Л(х„) < б. Значит, для всех и > й выполняется неравенство: )Дх„) — Ц < в. Так как в > 0 было выбрано произвольно, то тем самым доказано, что Ь = 11ш у(х ).
Таким образом, мы получаем, что какова бы ни была последовательность (х„)„ен„точек множества М такая, что Л(х„) — 0 при и- оо, в е р н о соотношение: у(х„) — Ь при и- оо. З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений 211 Пусть Х = -оо. Зададим произвольно К > -оо. Согласно определению предела, по нему найдется 6 > О такое, что если Л(х) < 6, то У(х) < К. Пусть (х ) еи„есть последовательность точек множества М, для которой Тогда найдется значение й > и такое, что Л(х ) < 6 при любом и > й. Для всех таких п выполняется неравенство: у(х ) < К. Так как К > -оо было взято произвольно, то тем самым у с т ан о в л е н о, что Дх ) -+ -оо при и — + оо.
Таким образом, для всякой последовательности (х ) ен элементов множества М, удовлетворяющей условию Л(х ) -+ О при и -+ оо, имеем: Дх ) -+ — со. Случай Ь = оо, рассматривается аналогично. Мы показали, таким образом, что если Ь б Й есть предел функпии ~: М вЂ” + К при Л(х) -~ О, то для любои последовательности (х„)„еи элементов М такой, что Л(х ) — + О, имеем: ~(х„) — + Ь. Необходимость условия теоремы установлена. Утверждение, касающееся предела, равного оо, дохазывается аналогично.
Необходимость условия доказана. П о с т а т о ч н„о с т ь. Предположим,что для данной функции у: М -+ Ж существует число Ь е Й такое, что для всякой последовательности (х„)„ен точен множества М такой,что Бш Л(х ) =О, выполняется равенство: Требуется доказать, что Ь = йщ У(х). лбб о Зададим произвольно окрестность Р' числа Ь.
Если Ь вЂ” конечно, то р' есть интервал вида (Ь вЂ” е,Х + е). В случае Ь = оо охрестность р' есть промежуток вида (К,оо]. Наконец, в случае Ь = — оо имеем: У = [-оо, Х). П о к а ж е м, что найдется 6 > О такое, что если Л(х) < 6, то Дх) й У. 212 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Допустим, Йапротив, что такое 6 > О н е с у щ е с т в у е т. 1 Тогда для каждого и Е 1ч найдется х„Е М такое, что Л(х„) < — и в то же время Х(х ) ф И. Полагая и = 1, 2,..., получим последовательность 1 (х„)„ен элементов множества М такую, что Л(х„) < — и в то же время ,Х(х,) ф И при каждом и.
При и — ~ оо будет Л(х„) — О. В силу условия теоремы, отсюда вытекает, что Х(х„) стремится к Х при и — оо, и, значит, найдется номер й такой, что для всех п > й последовательность Х(х ) принадлежит окрестности И числа Х. Но, по построению, У(х ) ~ И при всяком и. Итак, допустив, что требуемое число 6 > О не существует, мы приходим к следующему и р о т и в о р е ч и ю. С одной стороны, должно быть |(х„) ф Р для всех и, но с другой — имеем: Х(х ) Е К начиная с некоторого и = й.
Полученное п р о т и в о р е ч и е доказывает, что для всякой окрестности И числа Х найдется 6 > О такое, что если х Е М удовлетворяет условию Л(х) < 6, то Х(х) е У. Согласно определению, это и означает, что Х есть предел функции Х(х) при Л(х) — + О. Теорема доказана. а В части достаточности условие теоремы 4.1 может быть усилено. Если для всякой последовательности (х„)„ен„элементов М такой, что Л(х ) — О при и -+ оо существует предел 11ш Х(х„) (не требуется, чтобы значение предела было равно одному и тому же числу Х,), то функция Х имеет предел 1пп У(х).
Л(х) О,еем 4.2. Ов ик свойствл пркдклл Докажем свойства предела относительно оценочной функции, непосредственно вытекающие из определения и результатов предыдущего раздела. 4.2.1. Зададим произвольно множество М и оценочную функцию Л на множестве М. Все функции, которые мы будем рассматривать в этом разделе, предполагаются определенными на множестве М, и во всех случаях нас будет интересовать предел при Л(х), стремящемся к О. Вве ем в а т и п а по множеств М связанных с анной о еночМножество Я С М будем называть протяженным, если для всякого 6 > О существует х е Е такое, что Л(х) < 6. Это, очевидно, р а в н о с и л ь н о следующему утверждению.
213 З 4. Попятил предела и непрерывности для отображений Множество Е является иротязхенным относительно оценочной функции Л, если ограничение Л)в функции Л на Е является оценочной функцией на этом множестве с предельным значением О. Множество С С М назовем базисным относитаельно оценочной функции Л, если существует 6 > О такое, что всякая точка х Е М, для которой Л(х) < 6, принадлежит множеству С. Всякое множество С С М, базисное относительно оценочной функции Л, является также и протаязхенным относительно Л. Действительно, пусть 6е > О таково, что всякое х Е М, для которого Л(х) < 6е, принадлежит С.
Зададим произвольно 6 > О. Пусть 6г есть меньшее из чисел 6 и 6е. Согласно определению оценочной функции с предельным значением, равным О (см. выше и. 4.1.1), Ы Л(х)=О чем и, значит, найдется х й М такое, что Л(х) < 6г. Так как 6~ < 6е, то Л(х) < 6е, и, стало быть, х б С. Так как 6г < 6, то Л(х) < 6. Таким образом, для всякого 6 > О существует х Е С такое, что Л(х) < 6. Ф Предложение 4.1. Множество Е С М является протяженным относительно оценочной функции Л: М -+ К в том и только в том случае, если существует последовательность (х„)„ен точек множества Е такая, что Л(х ) — О при и — ~ оо.
Доказательство. Пусть множество Е является протяженным относительно оценочной функции Л. Тогда для всякого и б Я найдется 1 точка х„Е М такая, что Л(х ) < —. Так как Л(х) > О для всех х с М, то Л(х„) — + О при и — оо. Обратно, предположим, что существует последовательность точек (х„)„ен множества Е такая, что Л(х„) -+ О при и -+ оо. Из определения предела следует, что для всякого 6 > О найдется и Е 1Ч такое, что Л(х ) < Б. Мы видим, что для всякого с > О существует х б Е такое, что Л(х) < 6.
(По условию, х Е Е для всех и.) Тем самым установлено, что множество Е является протяженным относительно опеночной функции Л. Предложение доказано. ф ° Теорема 4.2 (общая теорема о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции 1: М вЂ” + К и д: М вЂ” К таковы, что «аждая из 214 Гл. 6.
Непрерывные отображения метрических пространств вих имеет предел при Л(х) — О. Предположим, что существует множество Е С М, протяженное относительно оценочной функции Л и такое, что лри всяком х Е Е выполняется неравенство: Дх) < д(х). Тогда справедливо также и неравенство: К = 1пп 1(х) < Ь = 1пп д(х). л1*) а л1*) а Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Так как множество Е является протяженным относительно оценочной функции Л, то, согласно предложению 4.1, найдется последовательность (х„)„ен точек множества Е такая, что Л(х„) — ~ 0 при и — оо. Отсюда, в силу теоремы 4.1, следует, что К = 1пп у(х) = 1пп 1(х„), Ь = 1пп д(х) = 1пп д(х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
