1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отображение г": М вЂ” М называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х метрического пространства М. Оп елим понятие е ела ля нк й за анных на мет ическом п ост анстве М Как и в теории предела для функций, определенных на подмножествах множества )к, если речь идет о пределе при х, стремящемся к точке р, рассматриваются только значения функции в точках пространства, отличных от р. В самой этой точке функция, предел которой разыскивается, может быть даже и не определена.
Точка р метрического пространства М с метрикой р называется предельной точкой пространства, если для всякого числа б > О существует точка х е М такая, что О < р(х, р) < б. Данное определение, как очевидно, р а в н о с и л ь н о следующему: точка р есть предельная точка метрического пространства (М, р), если т а р В(х,б) в этом пространстве, каково бы ни было б > О, содержит точки, отличные от точки р. Отсюда, в частности, следует, что если р е М н е я в л я е т с я предельной точкой пространства (М, р), то существует б > О такое, что шар В(р,б) не содержит точек пространства, отличных от р, то есть имеет место равенство: В(р,б) = (р). Если р Е М есть предельная точка пространства М, то функция рр является Оценочной 4ункцией с предельным значением О на множестве 222 Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств М 1(р), получаемом из М и с к л ю ч е н и е м точки р. При этом рр(х) > О (неравенство строгое!) для всех х Е М 1 (р). Пусть р — предельная точка метрического пространства (М,р). Предположим, что заданы метрическое пространство (Х, а) и отображение 1: М вЂ” 1х'. Точка а Е Ф называется пределом отображения ~ при х, стремящемся к р, если а есть предел ограничения отображения У на множестве М ~ (р) при рр(х), стремящемся к нулю. В этом случае будем писать: а = 1цп У(х).
х р и Теорема 4.5. Пусть даны метрические пространства М с метрикой р и 1х' с метрикой и и отображение: ~: М вЂ” ~ 1х'. Предположим, что точка р е М является предельной точкой пространства М. Для того чтобы отображение У было непрерывно в точке р, необходимо и достаточно, чтобы величина У(р) — значение 1' в точке р — было пределом функции у (х) при х, стремящемся к р по множеству М 1 (р). Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть даны метрические пространства М и Х, отображение 1: М вЂ” + Ж и предельная точка р пространства М. Предположим, что отображение 1 непрерывно в точке р Е Т. Положим: рр(х) = р(х, р). Функция р является оценочной функнией с предельным значением О на множестве М' = М'1(р), получаемом из М исключением точки р. По определению, условие: «отображение у непрерывно в точке р» означает,что 1пп ~т(Дх), у(р)] = О. р (х) О,хнм Зададим произвольно е > О. По нему найдется 6 > О такое, что если х Е М таково, что рр(х) = р(х, р) < б, то (4.
2) п[Дх),Др)] < е. В частности, если х е М' = М 1 (р), причем рр(х) < 6, то выполняется неравенство (4.2). В силу произвольности е > О, этим д о к а з а н о, что 1(р) есть предел отображения у при х, стремящемся к р. Необходимость условия теоремы установлена. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим теперь, что для Функции 1 выполняется соотношение: 1(р) = 1пп )(х). х р 223 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений Зададим произвольно е > О. По нему найдется б > О такое, что если х принадлежит множеству М' = М ~ (р), причем рр(х) < б, то гг[.Г(х), 1(Р)] < Е. (4.3) Неравенство (4.3) выполняется для всякого х Е М такого, что Рр(х) < б. Пействительно, если х = Р, то 1(х) = 1(Р).
В этом слУ- чае а[у(х), у(р)] = О < е. Если же х ф р, то х Е М'. Неравенство (4.3) в этом случае выполняется, в силу выбора б. Так как е > Π— произвольно, то из доказанного следует, что отображение у непрерывно в точке р Е М. Теорема доказана. ° 4.4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНК ИИ Доказательство. Пусть (х„)„ен„есть произвольная последовательность точек пространства М такая, что 1пп х„= а. Согласно определению, условие — функция у непрерывна в точке а — означает, что 1пп 1'(х) = 1(а), р1а,а) О 1пп гг[Дх), У(а)] = О. р(а,а) О то есть В силу теоремы 4.1, отсюда вытекает, что 11гп гг[Дх„), у(а)] = О.
Положим: у(х„) = д„. Имеем: 1пп о[у„,Ь] = О. Так как, по условию, функция д непрерывна в точке Ь, то отсюда вытекает, что 1пп д(д„) = 1пп д[у(х„)] = д(Ь). Итак, мы получаем, что для всякой последовательности (х„) еи точек пространства М, сходящейся к точке а, выполняется равенство: (д о У)(а) = д[г'(а)] = 1пп д[1(х„)]. ° Теорема 4.6. Пусть даны метрические пространства (М,р), (Ф,о) и (В,т). Если отображение 1": М вЂ” оГ непрерывно в точке а Е М, а отображение д: йà — ~ Н непрерывно в точке Ь = у(а), то суперпозиция (д о ) ): х Е М г — г д[,г (х)] есть отображение, непрерывное в точке а. 224 Гл. б.
Непрерывные отображения метрических пространств Согласно теореме 4.1, отсюда следует, что у[Да)] = 1пп д[Дх)], а это и означает, что функция д о у непрерывна в точке а. Теорема доказана. м ° Теорема 4.7 (первая теорема о пределе суперпознции.) Пусть даны метрические пространства (М, р), (1я', сг) и (В, т) и отображения 1': М вЂ” + 1я' и д: Х вЂ” ~ В. Предположим, что а Е М есть предельная точка пространства М и функция 1' имеет предел 1пп ~(х) = Ь Е Х.
я а Если отображение д: Х вЂ” В непрерывно в точке д, то суперпозиция д с Х: х Е М ~ д[1(х)] имеет предел при х — а. При этом имеет место равенство: 1пп д[~(х)] = д(Ь). Лоиазательстно. дальнейшие рассуждения следуют той же схеме, что и в случае теоремы 4.6. Пусть (х„)„ен есть произвольная последовательность точек множества М 1 (а) такая, что 1пп х„= а. По условию, существует предел Нщ Дх) = Ь.
р(я,а) 0 Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что 1пп Дх„) = Ь. п сс Положим: Дх„) = у„. Имеем, таким образом: 1пп у„= Ь. Так как, по условию, функция д непрерывна в точке Ь, отсюда вытекает, что 1пп д(у„) = 1цп дух„,)] = д(Ь). Последовательность (х„)„ен точек множества М 1 (а), имеющая пределом точку а, была выбрана произвольно.
Мы получаем, таким образом, что для всякой последовательности (х„)„ен точек множества М 1 (а), сходящейся к точке а, выполняется равенство: 1цп д[у(х„)] = д(Ь). Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что 11щ д[У(х)] = д(Ь), то есть 11щ д[У(х)] = д(Ь).
Теорема доказана. ° 225 з 4. Понятия предела и непрерывности для отображений ° Теорема 4.8 (вторая теорема о пределе суперпозиции.) Пусть даны метрические пространства (М, р), (М, и) и (В, т) и отображения У: М вЂ” Х н д: Х вЂ” В. Предположим, что а Е М есть предельная точка пространства М и функция 1 имеет предел 1пп У(х) = Ь Е М, к а причем Дх) ф д при х ~ о. Тогда Ь есть предельная точка метрического пространства (Х,сг).
Если отображение д:М -+ В имеет предел 1цп д(у), то суперпозик ь ция д о 1: х Е М ~ д[У(х)] также имеет предел при х — а. При этом имеет место равенство: 1пп д[1(х)] = 1ппд(у). Доказательство. И в этом случае получим нужный нам результат применением теоремы 4.1. Сначала д о к а ж е м, что Ь является предельной точкой метрического пространства (М, л). Зададим произвольно е > О.
Согласно определению предела, найдется точка х Е М такая, что ~т[У(х), Ь] < е. По условию, у = 1(х) у~ Ь для всех х Е М. Мы получаем, таким образом, что для всякого е > О существует у Е М такое, что О < п(у,Ь) < е. Согласно определению, это и означает, что Ь есть предельная точка пространства Х. Пусть (х„)„ен„ вЂ” произвольнаи последовательность точек множества М 1(а) такая, что 1пп х„ = а.
По условию, существует предел: 1пп Дх) = Ь. р(л,а) 0 Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что 1пп Дх„) = Ь. и сю Положим У(х„) = у„. Так как 1(х) ф Ь при х ф а, то у„= У(х„) Е Е Х~(Ь) при всяком и. Имеем: 1пп у„= Ь. Так как, по условию, функция д(у) имеет предел при у — Ь, то отсюда вытекает, что существует предел: 1пп д(у„) = 1пп д[1(х„)]. Как следует из теоремы 4.1, 1пп д(у„) = 1пп д(у).
и оо э ь 226 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Последовательность (х„)„ен„точек множества М ~ (а), имеющая пределом точку а, была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что для всякой последовательности (х„)„ен, точек множества М 1 (а), сходящейся к точке а, выполняется равенство: 1пп д(у) = 11п1 д[у(х„)].
Согласно теореме 4.1, отсюда следует, что 1пп д(у) = 1пп д[у(х)]. Теорема доказана. ° 4.5. ПОНЯТИЕ ПОЛНОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 4.5.1. Здесь мы определим некоторый класс метрических пространств такой, что для отображений, принимающих значения в пространстве этого класса, имеет место некоторый а н а л о г нригперия сходимости Коши — Больцано. Пусть М есть метрическое пространство и р — метрика этого пространства. Последовательность (х„)„ен точек пространства М называется фундаментпальной, если выполнено следующее условие: для всякого е > О существует номер й Е Р1 такой, что для любых п1 > й и пг > й вьтолвяется неравенство: р(х„,, х„,) < е.
° Лемма 4.3. Всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства является фундаментальной. Доказательство. Пусть (х„)„ен есть произвольная сходящаяся последовательность точек метрического пространства М и р Е М есть ее предел. е Зададим произвольно с > О и положим: е1 = —. 2 Согласно определению того, чтб значит, что точка р есть предел данной последовательности, найдется номер й Е И такой, что для всякого и > й выполняется неравенство: р(х р) < Пусть п1, пг Е 1Ч таковы, что п1 > й и пг > й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
