1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если Ъ' — пусто, то Ъ' есть открытое множество. Предположим, что $' — непусто. Возьмем произвольно точку х Е 1'. Тогда х Е У» при каждом й = 1, 2,..., п. Так как множества У» — открытые, то х является внутренней точкой каждого из них. Значит, при любом й = 1, 2,..., и найдется б» > О такое, что В(х, 6») С У». Пусть 6 есть н а и м е н ь ш ее из чисел бы ба,...,6„. Тогда 6 > О и б ( б» при каждом й = 1,2,..., п и, значит, В(х,б) С В(х, б») С Б» для всех й.
Отсюда следует, что шар В(х, б) содержится в множестве Ъ' и, следовательно, х есть внутренняя точка множества Ъ'. Так как х Е T взято произвольно, то мы получаем, таким образом, что все точки множества Ъ' — внутренние, то есть $' есть открытое множество. Теорема доказана.
° 3 а м е ч а н и е. Требование конечности рассматриваемого семейства множеств в утверждении теоремы 5.2, касающемся пересечения открытых множеств, не может быть отброшено. Пусть, например, М есть множество всех вещественных чисел К с его естественной метрикой. Рассмотрим последовательность интервалов — 1 — —,1+ —, и = 1,2,.... Каждый из них представляет собой открытое множество пространства К.
Их пересечение совпадает с сегментом Е = ( — 1, 1). Множество Е не является открытым множеством, так как точки — 1 Е Е и 1 Е Е не являются внутренними точками Е. Рассмотренная последовательность интервалов представляет собой бесконечное семейство открытых множеств пространства К, пересечение которого не является открытым множеством. Из теоремы 5.2 вытекает некоторое утверждение относительно объединений и пересечений семейств замкнутых множеств. Вывод опирается на лемму 5.1 об операпиях над множествами.
244 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств ° Теорема 5.3. Пересечение любого семейства замкнутых множеств метрического пространства есть замкнутое множество. Объединение любого конечного множества замкнутых множеств есть замкнутое множество. Доказательство. Пусть (Ге)сен есть произвольное семейство замкнутых множеств пространства (М, р), à — их пересечение. Требуется доказать, что множество à — замкнутое. Применяя равенство (5.5) леммы 5.1 (глождестпво Моргана), получим: Каждое из множеств Пе = СГе является открытым и, значит, как следует из теоремы 5.2, объединение П множеств По ~ Е Б, есть открытое множество. Имеем: СГ = П.
Таким образом, дополнение множества Г есть открытое множество и, следовательно, множество à — замкнутое. Утверждение теоремы, касающееся п е р е с е ч е н и й семейств замкнутых множеств, д о к а з а н о. Теперь д о к а ж е м утверждение теоремы относительно о б ъ ед и н е н и й семейств замкнутых множеств. Пусть дано конечное семейство множеств Гы Гз,..., Г пространства М и пусть С есть их объединение. Предположим, что каждое из множеств Г, является замкнутым.
Требуется доказать, что тогда также и О есть замкнутое множество пространства (М, р). Применяя равенство (5.4) леммы 5.1, получаем: СО=с ДГ; =йСГ;. 1=1 6=г (5.8) Каждое из множеств СГ, является открытым. Из равенства (5.8) видно, что множество СС есть пересечение конечного числа открытых множеств. В силу теоремы 5.2, отсюда вытекает, что множество СС— открытое. Итак, дополнение объединения С множеств Г;, 1 = 1, 2,..., т, есть открытое множество. Отсюда, согласно определению, следует, что множество С вЂ” замкнутое. Таким образом, нами д о к а з а н о и то утверждение теоремы, которое касается о б ъ е д и н е н и й замкнутых множеств. Теорема доказана. ° з э.
Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 245 3 а м е ч а н и е. Объединение бесконечного семейства замкнутых множеств, вообще говоря, может и не быть замкнутым множеством. Чтобы показать это, рассмотрим случай, когда метрическое пространство М есть множество вещественных чисел К с его естественной метрикой. 1 11 Пусть ~ — 1+ —, 1 — — ~, и = 1, 2,..., есть последовательность сеги п~ ментов множества 2. Объединение этой последовательности сегментов, как нетрудно видеть, есть интервал ( — 1,1), который, не является замкнутым множеством, поскольку для него не выполняется критерий замкнутости, содержащийся в теореме 5.1. 5.2.3. Лля произвольного множества в метрическом пространстве могут быть определены некоторые другие множества — замыкание, открытое ядро и граница множества.
Пусть дано метрическое пространство М и пусть Е С М. Точка х Е М называется точкой прикосновения множества Е, если для всякого г > О шар В(х, е) содержит точки множества Е. Точка х Е М называется граничной точкой множества .Е, если для всякого е > О шар В(х, е) содержит в себе как точки, принадлежащие множеству Е, так и точки не принадлежащие Е. Иначе говоря, х есть граничная точка множества Е, если х является точкой прикосновения как множества Е, так и его дополнения СЕ. Напомним, что точка х Е М называется внутренней точкой множества Е, если существует е > О такое, что В(х, е) С Е. Совокупность всех точек прикосновения множества Е в метрическом пространстве М называется замыканием множества Е и обозначается символом Е. Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью или открытым ядром множества Е и обозначается символом: Е'.
Совокупность всех граничных точек множества Е называется его границей и обозначается символом дЕ. Отметим некото ые с в о й с т в а вв енных з есь множеств оп- еленных по вином множеств А. 1. Для всякого множества А в метрическом пространстве М имеет место включение А С А. Справедливость данного утверждения следует из того, что всякая точка множества А, очевидно, является его точкой прикосновения. 2. Для всякого множества А метрического пространства М его замыкание А представляет собой замкнутое множество. Чтобы доказать это утверждение, достаточно установить, что множество СА — открытое. 246 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Пусть х — произвольная точка множества СА. Тогда х ф А, то есть х не является точкой прикосновения множества А.
Отсюда вытекает, что не всякая окрестность точки х содержит элементы множества А. Следовательно, найдется 6 > 0 такое, что шар В(х, 6) не содержит точек множества А. Возьмем произвольно точку х' Е В(х, 6). Положим и = 6 — р(х', х). Тогда и > 0 и шар В(х', и) содержится в шаре В(х, 6). Отсюда вытекает, что шар В(х', и) не содержит точек множества А и, значит, х' не является точкой прикосновения множества А. Точка х' Е В(х,б) взята произвольно.
Мы получаем, следовательно, что никакая точка шара В(х, 6) не принадлежит множеству А и, стало быть, В(х, 6) С СА. Так как х Е СА взято произвольно, то мы, значит, получаем, что все точки множества СА являются внутренними, то есть множество СА открытое, что и требовалось доказать. 3. Если множество Е З А замкнутое, то Е З А. Действительно, допустим, что х ф Е.
Тогда х Е У = СЕ. Множество У открытое и, значит, все его точки внутренние. Возьмем произвольно х Е У. Так как У есть открытое множество, то найдется 6 > 0 такое, что В(х; б) С У. Шар В(х, б) не содержит точек множества А и, следовательно, х не является точкой прикосновения множества А. Точка х Е У была выбрана произвольно. Мы, следовательно, получаем, что У не содержит точек прикосновения множества А, и, значит, все точки прикосновения множества А принадлежат дополнению множества У, то есть А С СУ = Е, что и требовалось доказать.
Мы получаем, таким образом, что замыкание всякого множества А в метрическом пространстве М есть замкнутое множество и любое замкнутое множество, содержащее данное множество А содержит в себе также и его замыкание. В частности, получаем, что замыкание множества является пересечением всех замкнутых подмножеств пространства М, содержащих множество А. 4. Ял» ясякози множества А в метрическом пространстве его замыкание совпадает с совокупностью всех точек х Е М, кажда» из которых есть предел последовательности точек множества А. Действительно, предположим, что точка х Е М есть предел некоторой последовательности (х„)„ен точек множества А.
Зададим произвольно е > О. Согласно определению предела последовательности существуют значения и Е 1Ч, для которых р(х„, х) ( е. Так как е > 0 было задано произвольно и х„Е А при всех о, то мы получаем, что любая окрестность точки х содержит точки множества А. Отсюда вытекает, что х есть точка прикосновения множества А. ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
