1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Зададим произвольно фундаментальную последовательность (х ) ен точек пространства. Требуется доказать, что эта последовательность является сходящейся. Так как пространство М компактно, то из последовательности (х„) ен можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть (х )вен есть такая подпоследовательность, а — ее предел.

Возьмем произвольно е > О. Так как,по условию, последовательность (х„)„ен — фундаментальная, то по этому е найдется номер й такой, что при любых о' > й и пл > й выполняется неравенство: Е р(хм, хил ) < Ег = 2 Зададим произвольно и > й. При й -+ со будет х„„-+ а, то есть р(х, а) — + О при и — ~ оо. При достаточно больших й справедливо неравенство иь > й и, значит, р(х, х, ) < е1, если й достаточно велико. Так как ~р(х„, х„„) — р(х„, а) ~ < р(х„„, а), то р(х„,х„,) -+ р(х„,а) при й — + оо. В силу теоремы о предельном переходе е нераеенстве (см.

гл. 2, теорема 1.3), отсюда вытекает, что р(х„а) < е1 < е. Так как и > й взято произвольно, то, следовательно, для всех и > й выполняется неравенство р(х„,а) < е. В силу произвольности е > О, этим доказано, что а есть предел последовательности (х„) ен. Мы получаем, таким образом, что всякая фундаментальная последовательность точек пространства М является сходящейся и тем самым полнота пространства М установлена. Теорема доказана. ° 257 'З 6. Компактные множества в метрических пространствах Пусть А есть компактное множество.

Из всякой последовательности (х ) ен точек множества А, согласно определению, можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Следовательно, мы получаем, что если множество в метрическом пространстве компактно, то оно предкомпактно. ° Теорема 6.3. Если метрическое пространство М является полным, то всякое замкнутое предкомпактное множество в этом пространстве компактно.

Доказательство. Пусть даны полное метрическое пространство М и замкнутое множество А в этом пространстве. Предположим, что А предкомпактно. Пусть (х )„ен есть произвольная последовательность точек множества А. Так как А предкомпактно, то из этой последовательности можно извлечь фундаментальную подпоследовательность (х „)ьею Так как пространство М является полным, то эта подпоследовательность является сходящейся. Так как х„„Е А при всех и е М, а множество А — замкнутое, то ее предел принадлежит А.

Таким образом, из всякой последовательности точек множества А можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит А. Согласно определению, это н означает, что множество А компактно. Теорема доказана. ° 6.2. КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА В И Здесь мы установим необходимое и достаточное условие компактности множества в пространстве И". 6.2.1.

Предварительно д о к а ж е м компактность некоторых простых подмножеств 2" (и-мерный сегмент, и-мерный прямоугольник, куб, шар). ° Лемма 6.1. Всякий и-мерный сегмент является компактным множеством пространства И". Доказательство. Лемма в е р н а в случае и = 1. Предположим, что для некоторого и Е И лемма доказана, и пусть Н есть сегмент в пространстве И"+~, Н = [аы Ь1] х .

х [о„, Ь ) х [а„+ы Ь„+1). 258 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Для произвольной точки х = (хд,..., х„, х„+д) Е )к"+' положим: н„(х) = х +д. ть(х) = (хд, хз,..., х„), Для любых х, у Е )к"+', очевидно, яь(х — у) = нь(х) — ть(у) и т„(х — у) = = т»(х) — н„(у), и каково бы ни было х Е К"+д, имеет место равенство: Пусть Е = [ад, Ьд] х х [а~, Ь~], С = [а~+д, Ьс.~.д]. Зададим произвольно последовательность (х ) „ен точек множества Н. Пусть у = нь(х»), г» = дг„(х»).

Очевидно, у» Е Г, г» Е С при каждом м Согласно индукционному предположению, множество Г компактно, и, значит, найдется строго возрастающая последовательность натуральных чисел (и(й))вен такая, что последовательность (у„Гь))вен сходится к некоторой точке Ь множества Г. В силу компактности С, из последовательности (г„Гь))ье)ч можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (з„~ьГ„))),ен, пределом которой является с Е С. Здесь й(1) < й(2) «й(т) < ....

Положим )д(т) = м(й(т)). Очевидно, ()д(т))„ен есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Имеем: нь(х»г»)) у»г»)1 н»(х»г»)) ннГ») и при т — + оо выполняется у„Г ) — » д, г„Г,) — с. Пусть а есть точка в )й" ~~, для которой нь(а) = Ь и н„(а) = с. Очевидно, а Е Н. При каждом т Е д) имеем: нь(х„г„) — а) = у„г,) — Ь, н„(х„~,) — а) = з„Г„) — с, и, значит, ]х„г„) — а] = При т — со справедливы ]у„~„) — Ь[ — О и [я„г„) — с] — » О. Отсюда вытекает, что ]х„г,) — а] — О при т — оо, и, следовательно, последовательность (х„~„)),ен имеет своим пределом точку а Е Н. Таким образом, задав произвольно последовательность (х„) ен точек дд + 1-мерного сегмента Н, мы построили такую ее подпоследовательность (х„Г,)),ен,которая сходится к некоторой точке а Е Н. Тем самым установлено, что Н есть компактное множество пространства Нп-~-д В силу принципа математической индукции, лемма доказана.

° 259 З 6. Компактные множества в метрических пространствах 6.2.2. Непустое множество А в пространстве К" называется ограниченнын, если существует число Х < со такое, что для всякого х Е А выполняется неравенство ~х[ < Х. Иначе говоря, множество А С К" называется ограниченным, если найдется Х Е К такое, что Х > 0 и А содержится в шаре В(0, Х) пространства К". м Теорема 6.4. Для того чтобы множество А в пространстве К" было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь.

В силу полноты К" понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей для пространства К" совпадают. Пусть дано множество А С К. Предположим,что оно не является ограниченным. Тогда для всякого и Е И найдется точка х„Е А такая, что ~х„~ > и. Очевидно, [х [ — ~ оо при и — ~ оо. Лля любой подпоследовательности (х,)„ен также имеем: [х„,] — оо при Й- оо, откуда ясно, что из последовательности (х ) ен н е л ь з я извлечь сходящуюся подпоследовательность. Согласно определению, это означает, что данное множество А не является предкомпактным. Таким образом, доказано, что если множество А С К не является ограниченным, то оно не может быть предкомпактным.

Следовательно, всякое предкомпактное множество ограничено. Необходимость условия теоремы установлена. Покажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть А — произвольное ограниченное множество в пространстве К". Тогда найдется число Х < со такое, что ~х~ < Х для всех х Е А. Пусть Н есть п-мерный сегмент [ — Х,Х] х [ — Х,Х] х ° х [ — Х,Х]. Множество А, как нетрудно видеть, содержится в Н.

Согласно лемме 6А, Н есть компактное множество в К". Пусть (х ) ен — произвольная последовательность точек множества А. При каждом и Е Я имеем х, Е Н. Так как Н вЂ” компактно, то из последовательности (х„)„ен можно извлечь сходюпуюся и тем самым фундаментальную подпоследовательность.

Мы получаем, таким образом, что из любой последовательности элементов множества А можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. По определению, это и означает, что множество А — пред- компактно. Теорема доказана. й 260 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств и Следствие.

Для того чтобы множество А С И" было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и замкнутым. Действительно, пусть А есть компактное множество в И". Тогда, в силу теоремы 6А, оно является замкнутым. Всякое компактное множество предкомпактно и, значит, в силу теоремы 6А, А — ограничено. Необходимость условия следствия установлена. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть А есть ограниченное замкнутое множество пространства И". Тогда, как следует из теоремы 6.3, оно предкомпактно. Пространство И" является полным метрическим пространством. Так как А — замкнуто, то, значит, в силу теоремы 6.3, оно компактно.

Следствие доказано. 6.3. ТеогемА ВейегштгАссА ппн непрерывных функ нй НА КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ Теорема, являющаяся непосредственным а н а л о г о м теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях ненрерььвной 4уннции на сегменте множества И", — это теорема 6.5, которую мы рассмотрим ниже. Она может быть доказана рассуждениями, следующими той же логической схеме, что и доказательство теоремы Вейерштрасса, данное ранее (см. главу 2, 3 6). 3 есь мы еле ем несколько ином п ти. Но предварительно установим некоторые результаты, касающиеся связи между компактными множествами и непрерывными отображениями. ° Лемма 6.2 (лемма о непрерывном образе компактного множества).

Пусть М и 1я' — произвольные метрические пространства и А — компактное множество в пространстве М. Для всякого непрерывного отображения ~: А — Х множество 1(А) является компактным в пространстве Я. Доказательство. Пусть А С М есть компактное множество в пространстве М и 1: М вЂ” + Х вЂ” непрерывное отображение. Положим В = у(А). Требуется доказать, что В есть компактное множество пространства 1х'. Зададим произвольно последовательность (у„)„ен точек множества В. Для каждого н 6 Ы найдется точка х„Е А такая, что 1(х„) = у . Так как множество А в пространстве М вЂ” компактно, то из последовательности (х ) ен можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (х,)ьен, предел которой принадлежит множеству А.

Характеристики

Список файлов книги