1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 247 Совокупность всех точек х е М, каждая из которых есть предел некоторой последовательности точек множества А обозначим через А'. Из доказанного следует, что имеет место включение: А' С А. (5.9) Пусть х есть произвольная точка прикосновения множества А.
Для 1 всякого р Е И найдется точка х Е А такая, что р(х, х ) ( —. Очевидно, х = 1пп х„и таким образом, мы получаем, что всякая точка прикосновения множества А является элементом множества А'. Мы получаем, таким образом, что А с А'. (5.10) Из включений (5.9) и (5.10) следует, что А' = А и утверждение 3, тем самым, доказано. 5.
Для всякого множества А С М имеют место равенства: дА = д(СА), дА = А и СА. Действительно, согласно определению, точка х является граничной точкой множества А в том и только в том случае, если в любой ее окрестности содержатся как точки множества А, так и точки множества СА. Отсюда видно, что точка х Е М является граничной точкой множества А в том и только в том случае, если х есть граничная точка множества СА. Таким образом доказано первое равенство данного утверждения. Второе равенство следует из того, что точка х есть граничная точка множества А в том и только в том случае, если она есть точка прикосновения каждого из множеств А и СА.
Утверждение 5 доказано. 6. Для всякого множества А метрического пространства М имеет место равенство: А' = А ~ дА. Пусть х Е А'. Тогда существует 5 > 0 такое, что В(х,б) С А. Шар В(х,б) не содержит точек множества СА. Отсюда следует, что х не является граничной точкой множества А и, следовательно, х Е А 1дА.
Таким образом, доказано включение: А' С А ~дА. (5.11) Предположим, что х Е А 1 дА. Тогда х Е А и в то же время х не является граничной точкой А. Для всякого е > 0 шар В(х, е) содержит элементы множества А (например, точку х). Условие: х ф дА означает, 248 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств что найдется е > 0 такое, что шар В(х, е) не содержит элементы множества СА. Если е > 0 таково, то все элементы шара В(х,е) принадлежат множеству А, то есть В(х, е) С А и, значит, х есть внутренняя точка А, х Е А'. Так как х Е А ~ дА взято произвольно, то мы получаем, следовательно, что имеет место включение А~дАСА'.
Из (5.11) и (5.12) вытекает требуемое равенство: А' = А 1 дА. 5.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ (5.12) МНОЖЕСТВА 5.3.1. Пусть даны метрические пространства М и 1я' и отображение ~: М вЂ” + 1я'. Для всякого множества А С М определено множество '(А) — полный прообраз множества А относительно отображения ~.
Напомним, что, по определению, ~ 1(А) есть совокупность всех точек х Е М, для которых ~(х) Е А. Нам потребуется следующее утверждение. ° Лемма 5.2. Пусть даны произвольные множества Р и у у и отображение ~: Р— у Я. Тогда для всякого множества Е С Я имеет место равенство: 1® ~ Е) = Р ~ ~ 1(Е). Локазательстно.
Положим Я~,Е = Е'. Множества Е и Е' не пересекаются. Отсюдаследует, что множества А = ~ 1(Е) и А' = ~ 1(Е') также не имеют общих элементов. Действительно, если бы и Е Р принадлежало обоим множествам А и А', то Дх) было бы элементом каждого из множеств Е и Е'. Множества Е и Е', однако, общих элементов н е и м е ю т. Д о п у щ е н и е, что существует х, принадлежащее одновременно как множеству А, так и А', стало быть, приводит к противоречию. Для любого х Е Р значение Дх) принадлежит Я и, значит, ~(х) Е Е', у*у уу ние этих множеств совпадает с Я.
Отсюда следует, что всякое х Е Р р ю ~я у ~~ А А', А О А = Р. Так как пересечение А й А' множеств А и А' п у с т о, то отсюда следует, что каждое из них является дополнением другого относительно ~ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 249 множества Р, то есть А' = Р ~ А и А = Р ~ А'. Отсюда, очевидным образом, следует утверждение леммы. Лемма доказана.
° ° Теорема 5А. Пусть даны произвольные метрические пространства М и И и непрерывное отображение 1": М вЂ” ~ Ж. Тогда: 1) для всякого открытого множества У С Ж множество 1" 1(У) есть открытое множество пространства М; 2) для всякого замкнутого множества Г пространства Ж множество (У) является замкнутым множеством пространства М. Доказательство. Предположим, что отображение 1": М вЂ” 1ч непрерывно, и пусть У есть произвольное открытое множество пространства Х.
Положим: С = г ~(У). Д о к а ж е м, что множество С является открытым в пространстве (М, р). Ксли С вЂ” пусто, то доказывать нечего. Будем считать, что множество С не является пустым. Согласно определению множества 1 ~(У), точка х Е М принадлежит множеству С в том и только в том случае, если г(х) Е У. В частности, для всякого х Е С точка ~(х) принадлежит множеству У. Пусть хс есть произвольная точка множества С и ус = У(хс). Так как множество У вЂ” открытое, то найдется е > О такое, что шар Вч(рс, е) содержится в У. По условию, отображение У вЂ” непрерывно. В частности, оно непрерывно в точке хв.
Согласно определению непрерывного отображения, найдется б > О такое, что для всякого х Е М, для которого выполняется неравенство р(х,хо) ( б, справедливо неравенство: п(У(х), У(хв)) < е. Это означает, что если точка х Е М принадлежит шару Вм(хс, б), то ее о б р а з принадлежит шару Вн(ус,е) С У. Следовательно, всякая точка х Е Вм(хв, б) принадлежит множеству г" '(У) = С, то есть Вм(хс,б) С С.
Мы получаем, следовательно, что хс есть внутренняя точка множества С = ~ '(У). Точка хв Е С была взята произвольно. Из доказанного поэтому следует, что все точки множества С вЂ” внутренние, то есть С есть открытое множество. П е р в о е утверждение теоремы доказано. Докажем в т о р о е утверждение теоремы.
Пусть А есть произвольное замкнутое множество пространства Ю. Тогда, по определению 250 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств замкнутого множества, У = М ~ А есть открытое множество пространства Х. Значит, по доказанному, множество г ~(У) является открытым. Согласно лемме 5.2, 1(А) = М ~,г" '(У).
Отсюда следует, что множество ~ ~ (А) является замкнутым в пространстве (М, р). Теорема доказана. ° 5.3.2. Свойства отображений, указанные в теореме 5А, являются не только необходимыми, но также и достаточными для непрерывности отображения, как видно из теоремы 5.5 и ее следствия. ° Теорема 5.5. Пусть даны метрические пространства М и М и отображение ~: М вЂ” И.
Если для всякого открытого множества У пространствами множество~ 1(У) являетсяоткрытым, то отображение у" — непрерывно. Доказательство. Предположим, что отображение у удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть р означает метрику пространства М и о. есть метрика М. Выберем произвольно точку хо Е М. Л о к а ж е м, что у — непрерывно в этой точке. Положим уо = у(хо) Зададим произвольное е > О. Множество Вн(уо, е) — шар с центром уо и радиусом е в пространстве Л является открытым.
Пусть С = г ~[Вн(уо,е)]. Согласно условию теоремы, множество С вЂ” открытое, причем хо Е С Согласно определению открытого множества, отсюда следует, что найдется б > О такое, что шар Вм(хо, б) содержится в множестве С. Пусть х Е М таково, что р(х, хо) < б. Тогда х Е Вм(хо, б) С С и, значит, х Е С. Отсюда, согласно определению множества С, следует, что г'(х) Е Вн(уо, е). Это позволяет заключить, что для этого х имеет место неравенство: н[У(х),уо] = о[У(х), ~(хо)] < е Число е > О было задано произвольно. Мы, следовательно, получаем, что для всякого е > О существует б > О такое, что если р(х, хо) < б, то н[~(х),Дхо)] < е.
Согласно определению непрерывного отображения, это и означает, что у — непрерывно в точке хо. з 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 251 Поскольку хв было взято произвольно, то тем самым непрерывность отображения у установлена. Теорема доказана. й Следствие. Пусть М н Х суть метрические пространства. Если отображение Г: М вЂ” М таково, что для всякого замкнутого множества Г пространства Х его полный прообраз относительно отображения ~ представляет собой замкнутое множество, то отображение г" — непрерывно. Доказательство. Предположим, что отображение у удовлетворяет всем условиям следствия.
Пусть П есть произвольное открытое множество пространства Х. Положим Г = М ~ с'. Множество à — замкнутое и, значит, в силу сделанного предположения, его полный прообраз относительно отображения г есть замкнутое множество. Согласно лемме 5.2, и, следовательно, множество ~ '(П) — открытое. Мы получаем, что полный прообраз всякого открытого множества пространства Ф есть открытое множество пространства М.
Согласно теореме 5.5, отсюда следует, что отображение у — непрерывно. Следствие доказано. 5.4. ОТНОСИТЕЛЬНО ОТКРЫТЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА Пусть дано произвольное метрическое пространство М, р — метрика этого пространства. Предположим, что задано множество А, содержащееся в М. Тогда определено метрическое пространство (А, р)— надпространство пространства М. Множество Р С А называется открытым относительно множества А, если Ъ" является открытым множеством метрического пространства (А,р). В соответствии с определением, данным выше, это означает, что для всякой точки х Е Ъ" существует б ) 0 такое, что ВА(х,б) С T.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
