1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 45
Текст из файла (страница 45)
° Лемма 6.4. Ясли непустое множество А в метрическом пространстве М компактно, то его диаметр конечен. Доказательство. Пусть А есть пепустое компактное множество в метрическом пространстве М. Зададим произвольно точку а Е М. Функция х ~-+ р(х, а) непрерывна и, значит, в силу теоремы 6.5, является ограниченной на множестве А.
Пусть 1 < оо таково, что р(х, а) < Ь для всех х Е А. Возьмем произвольно точки х, у Е А. Тогда, применяя неравенставо треуеольнина, получим: р(х,у) < р(х,а) + р(а,у) < 2Ь. Отсюда вытекает, что ЖашА = зпр р(х, у) < 2Ь < оо. я,неА Лемма доказана. м 267 З 6. Компактные множества в метрических пространствах 6.5.
ТЕОРЕМА О РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕПРЕРЫВНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ Зададим произвольно метрические пространства М и гч'. Палее рг означает метрику пространства М, рг есть метрика Х. Пусть даны множество А С М и отображение у: А — Х. Говорят, что отображение ) равномерно непрерывно, если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > О, по нему найдется б > 0 такое, что для любых хг, хг Е А таких, что рг(хг, хг) < б, выполняется неравенство: рг(У(хг), У(хг)) < е. Функция (х, у) ~ рг(х,у) является оценочной на произведении АхА. Поэтому данное определение можно переформулировать следующим образом: функция )' равномерно непрерывна на множестве А, если величина рг[у (х), ) (у)] стремится к нулю при р) (х, у), стремящемся к нулю. ° Теорема 6.7 (общая теорема Гейне о равномерной непрерывности).
Пусть даны метрические пространства М и М„множество А Е М и отображение ): М вЂ” М. Тогда если множество А компактно, а отображение ~ непрерывно, то ) — равномерно непрерывно на множестве А. Доказательство. рассуждения следуют той же логической схеме, что и в доказательстве теоремы Гейне для функций, определенных на отрезках множества )Й. Пусть у есть непрерывная функция, определенная на компактном множестве А пространства М. Так как множество А компактно, то множество )'(А) также является компактным. Согласно лемме 6А, отсюда следует, что найдется число Ь < оо такое, что для любых р, д Е у(А) выполняется неравенство: рг(р,ц) < Х. Определим по у" некоторую функцию ыу(1) переменной Ф Е [О,оо). Пусть Р~ есть множество всех пар (х, у) точек множества А таких, что р(х, у) < Ф.
Обозначим через ыу(1) точную верхнюю границу величины рг[у(х),у(у)] на множестве всех пар (х,у) Е Рз. Лля любых х,у Е А величина рг[у(х), Г(у)] не превосходит Ь и, значит, юу(Ф) < Ь < оо для всех Ф, так что величина юу(1) конечна при любом Ф Е [О, оо). Пусть х, у — две точки множества А. Положим р1 (х, у) = ~. Тогда, очевидно, (х, у) Е Рз и, значит, рг[у(х),у(у)] < юу(Ф) для любого Ф > О. Если 1г < ~г, то, очевидно, Рг, С Рг,.
Отсюда, в силу известных свойств точной верхней границы функции, вытекает, что юу($1) = зпр рг[у(х),((у)] < зпр рг[~(х),) (у)] = юу($г), (ж,и) ЕО1г (х,у)епь и таким образом мы получаем, что функция ыу — неубывающая. 268 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств Докажем, что юу(Ф) стремится к нулю при 1 — ~ О. Так как функпия ыу(1) неотридательна и является неубывающей, то существует конечный предел: 1ппму(~) = а. а Для всякого и Е 1Ч о~~ Ы = зпР Рз[У(х),У(У)] /11 р1 (в,и) (1/и и, значит, согласно признаку точной верхней границы функции (см. глава 1, лемма 5.2), найдется пара х„, у точек множества А такая, что 1 Р1(хи,Ур) < ~11 1 Рз[Яхи)~,~(уи)] ) юу ~ ) (6.4) При каждом и Е 1ц имеем: (6.5) Из неравенств (6.4) и (6.5), очевидно, следует, что Р2[У(хи)~ ~(уы)] + ы при и ~ оо.
О < Рг(Р~ Уи~) < Рг(уа хия) + Рг(х~'р р Ь'в). Правая часть этого неравенства стремится к нулю при и — оо, откуда следует, что р1(р,у „) -+ О при и — + оо. Мы получаем, таким образом, что последовательность (у„„)ьеи также имеет своим пределом точку р. Множество А компактно и, значит, последовательность (х„)„ек имеет сходящуюся подпоследовательность (х „)ьеи. Пусть р Е А есть предел этой подпоследовательности. При и -+ оо величина р(х, у ) стремится к нулю.
Отсюда следует, что также и р(х„„, у„) стремится,к нулю при Й вЂ” оо. При каждом и имеем: 269 З 6. Компактные множества в метрических пространствах По условию, функция 7" непрерывна в каждой точке множества А. В частности, она непрерывна и в точке р. При к — со будет х, — р, а также и у, — р. В силу непрерывности у, из доказанного следует, что у(х„, ) — > у (р) и У(уп„) — 1 (р) при и — со. При каждом й Е 1>1 выполняется неравенство: 0 < Р2[1 (х>1)>,1 (у>1)] < Р2[У(х>1)>.1 (р)]+ Р2[> (Р) У(у»ь)] Отсюда следует, что величина рз[у(х „), Ду„,)] стремится к нулю при й — оо. Имеем: 11 Р2[У(х. ) ~(у.
)] = Мы, следовательно, получаем, что а = 1пп1 оо>у(Ф) = О. Пусть дано произвольное е > О. Предположим, что б > 0 таково, что если 0 < $ < б, то о1у(Ф) < е. Для любых точек х, у Е А таких, что р1(х,у) < б, выполняется неравенство: рзЩХ),Ду)] < о1у[р1(х,у)] < е. Теорема доказана. ° 6.6. МодуЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЯ В связи с доказанной теоремой 6.7, введем понятие модуля непрерывности отображения.
Пусть, как и ранее, заданы метрические пространства М и А1, множество А С М и непрерывное отображение у 1 М вЂ” Х. Вещественная функция о>, определенная на отрезке [О, бо), где бо > О, называется модулем непрерывности отображении ~: М вЂ” А1, если она удовлетворяет следующим условиям: А) функция ы — неубывающая, ы(0) = 0 и 1пп о1($) = 0; о В) для любых х1,Х2 Е А таких, что р1(Х1,Х2) < бо, имеет место неравенство: Р2[1 (х1) > ~(хз)] < о>[Р1(х1> Х2)] (6.6) ° Лемма 6.5. Если отображение у': М вЂ” А7 имеет модуль непрерывности о>(Ф), Ф Е [О, бо), то оно равномерно непрерывно.
Лействительно, предположим, что для функции ы и отображения ~ выполняются указанные выше условия А) и В). Заладим произвольно е > О. Тогда найдется б > 0 такое, что б < бо, и если 0 < 1 < б, то о>(1) < е. Пусть точки х,у Е А таковы, что р1(х,у) < б. Тогда из неравенства (6.6), в силу выбора б, следует, что рз[У(х), У(у)] < е. Так как 270 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств е > 0 выбрано произвольно, то тем самым отображение 1 равномерно непрерывно. Лемма доказана.
° Говорят, что отображение )': М вЂ” ~ )1( удовлетворяет условию Липиища с постоянной С, где 0 < С < оо, если )" имеет модуль непрерывности ю(Ф) = С1, 0 < Ф < бе. Если функция СФ,О < 1 < Бе, где С и а — постоянные, причем О < С < оо и 0 < а < 1, является модулем непрерывности (, то говорят, что (" удовлетворяет условию Гсльдсра с показателем а и постоянной С. П о к а ж е м, что если отображение у : М вЂ” )ч' равномерно непрерывно, то оно имеет модуль непрерывности.
Пусть даны метрические пространства М и )ч", множество А С М и отображение )".: М вЂ” Ф. Пля произвольного вещественного 1 > 0 обозначим через Р* — множество всех пар (х,у) точек множества А таких, что р1(х, у) < ~. Полагаем: нуае = зпр рз [У(х), У(у)] . (6.7) (х,и)ела Тем самым определена функция юу(г). Доказательство. Возьмем произвольно 11 и 8з такие, что 0 < < Ф1 < Фз. Тогда Рз, С Р,„откуда вытекает, что ~л~(~1) зпр Р2(У(х)~У(у)) < зпр Рз(~(х)рУ(у)) ы~(~з)) (х,и)епп (ж,и)ела~ и тем самым д о к а з а н о, что юу есть неубывающая функция. Если (х,у) Е Ре, то х = у, и, значит, рзЩх),У(р)) = О, когда (х, у) Е Ро. Отсюда следует, что юу(0) = О.
Предположим, что функция У: М вЂ” + Ж равномерно непрерывна. ° Лемма 6.6. Пусть даны множество А С М1 и отображение ~: М вЂ” Ж. Пусть функция му определена, как указано выше. Тогда: если отображение ) равномерно непрерывно, то найдется бс > 0 такое, что и~Я конечно при 0 < 1 < бс и функция му является его модулем непрерывности; если ы: [О, ос) — К есть произвольный другой модуль непрерывности ), то для всех 1 Е [О, бе) имеет место неравенство ы((Ф) < м(1); если множество А компактно и функция (' непрерывна, то шу (Ф)— конечно для всех 1 > О.
271 З 6. Компактные множества в метрических пространствах П о к а ж е м, что в этом случае найдется бо > 0 такое, что для Ф й [О, бо) число юу(М) конечно и шу(М) — + 0 при Ф вЂ” + О. Зададим произвольно е > О. По нему найдется б > 0 такое, что если рг(х, у) < б, то рз(/(х), /(у)) < е/2. Если 8 таково, что 0 < 1 < б, то для любой пары (х, у) Е Х)~ имеем: рз ®х), /(у) ) < е/2. Отсюда следует, что для любого Ф Е [О, б) справедливо юу(1) < е/2 < е. Так как е > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено, что му(1) — + 0 при $ -+ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
