1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Существование частных производных не гарантирует даже непрерывность функции. Дифференцируемость функции в точке автоматически влечет непрерывность функции и существование всех ее частных производных в этой точке. Рассматриваются функции со значениями в векторном пространстве. Поэтому изучению функций многих переменных предшествует небольшой раздел, посвященный исследованию функций одной переменной со значениями в векторном пространстве. З 1. Понятия частной производной и дифференциала 281 1.1, ИФФЕРЕН ИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНК ИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Зададим произвольно отрезок 1 = (а, Ь) С К.
Пусть дана функция У: (а, Ь) — Ж". Лля всякого $ Е 1 определен вектор У(1). Пусть Уз(1) Ж) " У-(1) суть компоненты вектора У(1). Таким образом, в промежутке (а, Ь) определены вещественные функции У;, г = 1, 2,..., и, — компоненты вектор-функции У: 1 -+ 1Й". Возьмем произвольно точку 1о Е 1 и рассмотрим отношение У($) — У($0) г — ео где 16 1, 1 фас Имеем: У(1) — У(1о) (И1) — Уз(1о) Уя(1) — Уя(1о) У (1) — У (~о) 1 — 1о 'з, 1 — 1о 1 — 1о 1 — 1о Предел У(г) У(го) е ео г — ео (1.1) если таковой существует, называется производной вектпор-функции У в точке 1о и, как и в случае функций со значениями в Ж, обозначается одним из символов: У (хо), — (1о), ПУ(1о).
дУ аг В силу свойств предела, установленных ранее (см. главу 6), для того, чтобы существовал предел (1.1), необходимо и достаточно, чтобы каждое из отношений Уз(1) — У;(~о) 1 — 1о У'(1о) = (Л(1о) Юо),".,У'(1о)) Пусть 1 = (а, Ь). Говорят, что вектор-функция У = (Уз, Уя,..., У„) интегрируема по замкнутому отрезку (а,Ь], если каждая из вещественных функций г = 1, 2,..., и, имело конечный предел при 1, стремяшемся к 1о, то есть чтобы каждая из функций У; была дифференцируема в точке $о.
При этом имеет место равенство." 282 Гл. 7. Лиффереициальиое исчисление функций многих переменных 1;, г = 1, 2,..., и, — компонент вектор-функции У определена в промежутке 1 в основном и интегрируема по [а, Ь]. Интегралом 4ункции У: 1 — К" по промежутку [а,Ь] мы будем называть вектор е, у которого компонента с номером ь' равна ь ь 1ь(М) с1ь' а при каждом г' = 1,2,...,п. Таким образом, «У(г)! < И) в основном в промежутке (а, д). Тогда имеет место неравенство: ь ь У(й) юй < а(ь) й. а а (1.2) Доказательство. Пусть |;, г = 1, 2,..., и, суть компоненты вектор-функции 1. Функции уь интегрируемы по промежутку [а, Ь]. Положим ь 1(г) Ю.
а Если е = О, то неравенство (1.2) верно. Будем считать, что г ф О. Положим и = —. Тогда [и! = 1. Пусть ! !' и = (иг,из,...,и„). Положим ~р(ь) = и116(г)+игуз(ь)+ +и У„(ь). ° Лемма 1.1. Пусть даны отрезок [а, Ь] С Й и функция 1: (а, д) - К", интегрируемая по «а, Ь]. Предположим, что существует вещественная функция а, интегрируемая по промежутку [а, д] и такал, что 283 З 1. Понятия частной производной и дифференциала Функция 1с интегрируема по промежутку [а,в]. При этом имеет место равенство: ь ь ь | Фсв=г |ув)в=(,|дсв~=в, ь я=1 а а а Применяя неравенство Копьи — Буняковсхоео (см.
з8 главы 4), получим: ср(1) = (и, Д1)) < ~иЦ~(Х)! = !~(й) /, так как !и/ = 1. Отсюда заключаем, что у(й) < а(1) в промежутке (а, Ь) в основном и, значит, ь ь р(1) сй < сь(й) сй. а а Осталось заметить, что ь ь | у(Ф) сИ = (и,я) = (и,и)(я! = 1(с)~й . и а Лемма доказана. ° )Д1з) — Дь1)) < М)1з — ьь~.
(1.3) Доказательство. Пусть У = (1~„6,...,У ). Функции Л, ь = 1,2,...,п, непрерывны и дифференцируемы в (а,~9) в основном. Следовательно, каждая из них является первообразной для своей производной, то есть функции Д интегрируемы по промежутку (сь, Б). Возьмем произвольно точки 1ы 1з Е (а„д). Если 1ь = 1з, то неравенство (1.3), очевидно, выполняется. я Следствие. Пусть у": (а,~З) ь Ж" есть непрерывная функция, дифференцируемвя в основном в интервале (сь,р).
Предположим, что существует постоянная М < оо такая, что ~~ (ь)~ < М в (а„З) в основном. Тогда для любых 1ы Фз Е (сь, 13) выполняется неравенство: 284 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Пусть 8г ~ Фз. Положим а = $ы Ь = Фз в случае 1з < Фз и а = 1з, Ь = ~з в случае Фг > 1з. Полагая в лемме 1.1 а(1) = М, получим: что и требовалось доказать. 1.2.
ПОКЯтие ЛРОизВОПВОЙ ФУнк ии ВЛОль ВектОРА. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОЛНЫЕ Пусть У вЂ” открытое множество в пространстве й", а — точка множества П и Ь вЂ” вектор в К". Так как П есть открытое множество, то найдется е > 0 такое, что В(а, е) С П. е Положим 6 = . Если ф < б, то 1+ ~Ь~ )а+ ФЬ вЂ” а( = (й( )Ь( < е, и, значит, точка а+ ФЬ принадлежит множеству У. Пусть дана функция ~: П вЂ” К™.
Зададим произвольно вектор Ь Е К" и для 8 б К положим ~оь(Ф) = Да+И). Функция ьоь, заданная этим равенством, определена для всех 1 из некоторого интервала (-6,6). Производная ьоь(0), если таковая существует, называется производной 4уикиии У в точке а вдоль вектора Ь и обозначается дь|(а). Данное определение формально допускает значение тп = 1, то есть случай, когда г есть вещественная функция.
Для функции У: У вЂ” 2 будем считать, что производная дьу(а) определена в том и только в том случае, если предел 1(а+ И) — у(а) ь о существует и конечен. Его значение и есть производная дьу(а). Таким образом, если т = 1, то производная дьу(а) считается определенной в том и только в том случае, если функция ьоь: Ф ь-+,г(а+ М) дифференцируема в точке О. При этом дь~(а) = у'„(0). 285 З 1.
Понятия частной производной и дифференциала Пусть е1,ез,...,е„ вЂ” канонический базис пространства К". Производнвл а,У(а), если таковая существует, обозначается — (а) либо ау ах; 1);У(а) и называется частной производной 1вуикиии 1 по переменной х; в точке а. Объясним пот бление слова «частная» в вы ажении «частная и о- неводная».
ау Производная — (а) может быть найдена следующим образом. ах,. Определим некоторую функцию Д, полагая для х; Е Й Д(х;) = у(аг,...,а; ых;,а;+1,...,а„). Функция у; определена для всех х; из некоторого интервала (а; — б,а;+ б). Имеем, очевидно: 1(а+ 1е;) — Да) Яа;+1) — Яа;) ау откуда ясно, что частная производная — (а) есть обычная производная дУ функции у;(х;) в точке х; = а;.
Производная —, таким образом, может ах; быть получена, если мы продифференцируем у по переменной х;, как если бы Х была функцией только одной этой переменной, а остальные переменные считались бы некоторыми постоянными параметрами. В случае, когда п — мало, компоненты произвольной точки К" обычно обозначают не одной буквой с индексами, а разными буквами. ау В этом случае в обозначении для частной производной — вместо х; ах; пишется тот символ, который обозначает з-ю компоненту точки х Е К".
Пусть, например, п = 2 и компоненты произвольной точки 1к~ обозначаются буквами х и у. Тогда для обозначения частных производных используются выражения: ау — (х, у) или у,'(х, у), — (х, у) или у„'(х, у). дУ ах ау В соответствии с данным выше общим определением, ау, у(х + ~, у) — у(х, у) $ 286 Гл. 7. Лнфференцнальное исчисление функций многих переменных дУ(, у(х,у+ г) — )'(х,у) Пусть дано отображение у: У вЂ” зс и вещественные функции зг,,~~, ° °, з суть компоненты вектор-функции у. ° Лемма 1.2.
Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Пусть дана функция 1: У вЂ” + 1к~, У(х) = Ж( ) Ь(х) " У-( )) Е 1~™ для всех х Е У. Тогда функция у имеет в точке а Е У производную дьДа) вдоль вектора Ь Е Ж" в том и только в том случае, если каждая из ее компонент ~;, 1 = 1, 2,..., т, имеет производную дь |;(а). При этом имеет место равенство: дь|(а) = (да|1(а),дьзг(а),,дь| (а)). В частности, функция у' имеет в точке а Е У производную — (а) в том ду дх, и только в том случае, если каждая из ее компонент у;, г = 1, 2,..., т, д~; имеет производную: — (а). При этом справедливо равенство: дх,. — (а) = ~ — (а), — (а),..., — ™(а) д~ / д~г дЬ дУ дху ~ дхз 'дх, ''''' дхз Доказательство.
Пусть а Е У. Положим Зз(Ф) = у(а+ЬМ) = ®(а+ И),,6(а+ И),,у (а+аг)). Функция р(з) определена в некотором интервале ( — б, б). Как показано в и. 1.1, вектор-функция у® имеет производную ~р'(О) в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций ~о,(Ф) = Яр+ М) дифференцируема для 8 = О, причем р'(0) = (р',(0), р',(0),..., р' (0)). По определению производной вдоль вектора 6, справедливы равенства: р'(О) = дь|(а), ~р';(О) = дьЯа). Лемма доказана. ° 287 З 1.
Понятия частной производной и дифференциапа 3 а м е ч а н и е. Пусть даны функция ~: У вЂ” К™ и вектор Ь Е 2". Положим уь($) = 1(а+ 1Ь), где а Е Й". Отображение 1 Е К ~-+ ~рь(1) непрерывно и, значит, согласно теореме 5.4 главы 6 множество С тех Ф Е К, для которых а + ФЬ Е У, есть открытое подмножество К. Предположим, что функция рь дифференцируема для некоторого значения Фо Е С. Тогда имеет место равенство: рь(со) = дьУ(а+ ~оЬ) (1.4) Действительно, положим хо = а + 1оЬ. По определению производной, будем иметь: уь(~о + и) — рь(Со) .
У(хо + иЬ) — У(хо) ~оь(то) = 1пп = 1пп и о и и о и = дьУ(хо) = для(а+ 8оЬ), откуда, очевидно, и вытекает соотношение (1.4). Пусть У есть произвольное открытое множество в К". ду Если функция 1: У вЂ” К имеет частную производную — (х) в дх1 каждой точке х Е У, то мы будем говорить, что ~ имеет и У частную дУ производную —. дх, О т м е т и м, что лемма 1.2 и замечание к ней избавляют нас от необходимости заново выводить для функций многих переменных правила для определения производных суммы, произведения и частного, доказанные ранее для функций одной переменной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
