1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(2.3) Пусть У есть открытое множество в К". Предположим, что даны функции у: У вЂ” > Й~ и Ь: У вЂ” ~ И. Выражение У(х) = о(Ь(х)) при х -+ а, где а Е У, означает, что длк вслкого я > О существует б > О такое, что если О < !х — а! < о, то !Дх)! < е!Ь(х)!. Предположим, что даны функции Р: У вЂ” + И™ и Ф: У -~ Ж~. Напомним, что запись Р(х) = Ф(х) + о(Ь(х)) при х — а означает,что Р(х) — Ф(х) = о(Ь(х)) при х — а.
Пусть даны точка а = (ам аз,...,а„) пространства К" и число т > О. Положим З 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 299 Отметим з есь о ин остей акт касаю ийся частных оизво ных. ° Лемма 2.2. Пусть даны открытое множество У в пространстве К" и функция и: У вЂ” ~ К~. Предположим, что и имеет в У частную ди производную —. Тогда если для точки а б У существует предел дх ди ди 1пп — (х) = р, то р = — (а). я адхз дх; Доказательство. Рассмотрим случай, когда и есть вещественная функция.
(О б щ и й случай очевидным образом сводится к этому рассмотрением компонент вектор-функции.) Пусть бе > 0 таково, что шар В(а, бе) содержится в У. Положим ф(г) = и(а+ 1ез). Для 1 Е ( — бе, бе) точка а+1е; принадлежит шару В(а, бе). Функция й дифференцируема в каждой точке 1 Е (-бе, бе). При этом 4 '(Ф) = — (а + Фе;). дх; Отсюда следует, что 1б непрерывна в промежутке ( — бе, бе).
В силу условия леммы, существует предел 11шф'(1) = 1пп — (х). Ф 0 я адхз Следствие 2 первой теоремы Ловителя (теорема 5.1 главы 4) позволяет заключить, что функция ф дифференцируема в точке 1 = О. При ди ди этом ф'(0) = 1пп4'(г) = 1пп — (х). Так как, очевидно, 4~'(0) = — (а), 3 0 я адх дх; то лемма, тем самым, доказана. ° ° Лемма 2.3 (лемма об интегрировании асимптотических соотношений).
Пусть даны открытое множество У в пространстве К", функция е: У вЂ” + К™ и точка а Е У. Предположим, что функция и имеет в ди У частные производные — для всех г = 1, 2,..., и и существует Л ) 0 дх; д такое, что — (х) = оЦх — а~ ) при х -+ а при каждом я = 1, 2,..., и. дх; Тогда если и(а) = О, то и(х) = о(~х — а~~+~) при х — а. 300 Гл. 7.
Днфференцнальное исчисление функций многих переменных Перед доказательством отметим следующее. 3 а м е ч а н и е. Если Л = О, то условие леммы означает просто, ди что производные — (х) стремятся к нулю при х — + а. В этом случае дх; утверждается, что е(х) = о()х — аО при х — о. Доказательство леммы. Пусть бе > О таково, что шар В(а, бе) содержится в У. Из условий леммы следует, что частные производные ди — (х) дх; при х — а стремятся к нулю.
Значит, согласно лемме 2.2, все эти производные в точке а обращаются в нуль. Зададим произвольно числа с > О и сд > О. По условию, при каждом г' = 1, 2,..., п найдется б, > О такое, что если ~х — а~ < бд, то д л †(х)! < сд)х — а( . дх; (2.4) Пусть .7 > О есть наименьшее из чисел бе,бд,...,6„,. Если точка х Е Ж" такова, что ~х — а~ < 7, то х Е У и для любого д = 1,2,..., дд для данного х выполняется неравенство (2.4).
Положим б = у/2д(йд. Возьмем произвольно точку х Е У такую, что О < (х — а! < б. Положим 1 = )х — а(. Пусть Н вЂ” дд-мерный интервал Я(а, 21), Имеем Я(а, 21) Э В(а, 21). Так как 1х — а~ < 21, то х Е В(а,21) и, значит, х Е Я(а, 21) = Н. Включения (2.3) позволяют заключить, что Н С В(а, 21ъ/п) С В(а, 2бд/и) = В(а, 7). Таким образом, Н С В(а, у) и, стало быть, для всякого у Е Н выполняется неравенство дп л — (у)~ < сд)у — а! .
дх; " (у)~ < 2 ддд!~1~с для любого у Е Н. Так как Н С В(а,21д/й), то ~у — а~ < 21д/и для всякого у Е Н и, следовательно, з 2. Достаточные условии дифференцируемости функции в точке ЗО1 Теперь, применяя лемму 2.1, получаем, что для всякого у Е Н имеет место неравенство )и(у)) = )с(у) — е(а)! < 2 и ~ 1 е1»/п)у — а). Полагая здесь у = х и принимая во внимание, что 1 = ')х — а~, приходим к неравенству )е(х)) < 2 п~~+Ц~ е1)х — а)~+ .
(2.5) Точка х Е В(а, б) была взята произвольно. Из доказанного поэтому следует, что для всякого х Е В(а, б), х ф а выполняется неравенство (2.5). Это неравенство верно также и для х = а. Число е» до сих пор было совершенно произвольно. В ы б е р е м конкретное значение еы полагая е 2»п(»+1)/2 Тогда для всех х Е В(а, 6) будем иметь )и(х)) < е)х — а( Ввиду произвольности е > О, лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Пусть У есть открытое множество в )к". Предположим, что функпия ~: 0 — + )к™ непрерывна в точке а Е У.
Тогда условие у(х) = о()х — а)~) при х — + а, где Л > О, равносильно следузощему. Функция У допускает представление у(х) = а(х))х — а~, где а(а) = О и а(х) — О прн х — а. Действительно, пусть у(х) = о()х — а)~) при х — ~ а. Положим п(х) = у(х))х — а~ » при х ф а и а(а) = О. Так как функция У непрерывна в точке а, то ((а) = О, откуда ясно, что равенство у(х) = и(х) ~х — а~» выполняется для всех х Е У.
Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6 > О такое, что если О < )х — а) < 6, то (У(х)) < (е/2))х — а~)». Для всякого х Е У такого, что О < )х — а) < 6, будем иметь: )сг(х)! < е/2 < е. В силу произвольности е > О этим доказано, что и(х) — О при х- а. 302 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Обратно, пусть верно равенство 1'(х) = о(х)(х — а!", где о(х) — ~ О прих- аист(а)=0. Зададим произвольно е > О. По нему найдется б > О такое, что если О < (х — а~ < 6, то (сг(х)) < е. Для всякого такого х, очевидно, будем иметь (1'(х)) < е!х — а!".
В силу произвольности е > О, это, согласно определению, означает, что 7(х) = о(!х — а!") при х — ~ а. 2.3. Остаточное УслОВие лиФФеРен иРУемости ФУнк ии В ТОЧКЕ Кэк было показано ранее (см. п. 1.2 этой главы), существование частных производных во всех точках области определения функции н е г а р а н т и р у е т даже ее непрерывность и тем более дифференцируемость во всех точках ее области определения! Здесь мы докажем, что если к производным функции предъявить некоторые дополнительные требования, то тогда дифференцируемость функции в точке будет иметь место.
° Теорема 2.1. Пусть П есть открытое множество в пространстве !к". Предположим, что функция 7": П вЂ” !й" имеет в П все частные прод1 изводные —. Тогда если эти производные непрерывны в точке а Е П, дх;' то функция 1 дифференцируема в этой точке. Доказательство. Пусть а = (аы аз,..., а ) . Для х = (х, х~,..., х„) положим е(х) = 7(х) — 7(а) — ,'~ — (а)(х, — а,). ду дхс с=с Имеем: и(а) = О и — (х) = — (х) — — (а) дп дУ дУ дх; дх; дхс в каждой точке х Е сс. В частности, д. — (а) =0 дх, при каждом г' = 1, 2,..., и. З 2. мостаточные условия дифферевцируемости функции в точке зоз д~ Так как, по условию, функция — непрерывна в точке а, то также дх; де и функция — непрерывна в этой точке, откуда следует, что дх, д — (х) = о(1) при х — + а. дх, Функция и удовлетворяет всем условиям леммы 2.3 для случал А = О и, значит, согласно этой лемме, е(х) = о(~х — а~) при х — а. Это означает, что е(х) = о(х))х — а~, где о(а) = О и о(х) — О при х — а.
Имеем линейное отображение Ь; Ь = (Ьы Ьз,..., 6„) '~ — (а)6;, д~ дх1 Как доказано выше, ,( (х) — у (а) — Ь(х — а) = е(х) = о(х) ~ х — а ~, где о(а) = О и о.(х) — О при х — а. Отсюда получаем: ~(х) = у(а) +Ь(х — а)+ о.(х)~х — а~, и, значит, отображение Ь является дифференциалом отображения у в точке а.
Мы получаем, таким образом, что функция ~ дифференцируема в точке а. Теорема доказана. ° 2.4. ТЕОРЕМА О ЛИФФЕРЕН ИРуЕМОСТИ СЛОЖНОЙ ФУНК ИИ В силу определения частных производных, их вычисление сводится к дифференцированию функций одной переменной. Поэтому все основные правила дифференциального исчисления могут быть применены при вычислении частных производных и дифференциалов функций многих переменных. Чтобы получить полный набор и р а в и л дифференциального исчисления функций многих переменных, необходимо указать еще и р а в и л о дифференцирования суперпозиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
