1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В Предложение 3.1. Если два набора индексов 1 и Х являются перестановками друг друга, то их индикатрисы совпадают. Верно и обратное: если а(1) = а(.7) = о,то Х есть перестановка Х. Доказательство. Действительно, если о = (аы ог,..., о„) есть индикатриса набора индексов 1, то его возрастающая перестановка имеет вид: К = (1,1,...,1,2,2,...,2,...,и,и,...,и). ад раз аг рзз аз раз (Для некоторых г может оказаться, что он = 0; в этом случае соответствующие члены в последней записи пропускаются.) Мы видим, что возрастающая перестановка К набора индексов Х однозначно определяется его индикатрисой о(1). Поэтому если индикатрисы наборов индексов 1 и,7 совпадают, то их возрастающие перестановки тоже совпадают, откуда следует, что в этом случае каждый из этих наборов является перестановкой другого.
в Если о = (ам аз,...,о„) есть индикатриса набора индексов 1, то с у м м а а1+ аг + .. + а„равна г. Пусть дан набор индексов 1 = (гыгг,...,г',) и К' = (кы кг,..., Й,) — его возрастающая перестановка. Предположим, что 1 есть функция 320 Гл.
7. днфференцнальное исчисление функций многих переменных класса С', определенная на открытом множестве У пространства 1к". Тогда, согласно теореме 3.2, Р1,...Р12Р;,Дх) = Рь„...Р22Рь,Дх). Пусть а = (сг1, сг2,..., гг„) = гг(1). Тогда первые а1 из индексов к равны 1, следующие а2 равны 2 и т. д., так что мы получаем: а„ Последнее выражение записывается в виде: Р~Ч, Рп2Рпг 7~ ) либо в виде: аа,-~-а2+ "+а„1 ах„-...ахра „ В том случае, если набор индексов К не содержит некоторое значение й, лежащее между 1 и и, то есть аь = О для этого к, то соответствующие члены в указанных обозначениях естественно пропускаются. Вв ем некото ые альнейшие обозначения связанные с использовани- ем м льтии ексов. Пусть сг = (а1, а2,..., а„) есть произвольный о-мерный мультииндекс.
Тогда полагаем: ~СГ~ = СГ1 + 122 + ' ' '+ ГГть~ ГГ. = 121.ГГ2.... Оч. Число ~а~ называется порядком мульглииндекса а. если х = (хг,х2,...,х ) есть произвольный вектор в к, то мы полагаем: хн ха1хе2 1 2 ''' и Наконец, если у есть функция класса С', где г = ~а~, то производную Р "...Р 'Р 'Дх) будем обозначать символом Р у (х). Если мультииндекс а = О, то считаем Р ~(х) = у (х). Лля любых двух и-мерных мультииндексов имеем: 321 З 3. Производные высших порядков Последнее равенство в е р н о в предположении, что у есть функция класса С', где т = ~а~ + |~3! Будем говорить, что мультииндекс а = (аы аз,..., а„) мажорируется мультииндексом ~3 = (,81,13з,...,13„), и писать а < ~3, если при каждом г' = (гы 3з,..., г„) выполняется неравенство: а, < Д.
Ясно, что если а < Д то также и (а! < ф), причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда а = ~3. Символом б; далее обозначается и-мерный мультииндекс, г-я компонента которого равна 1, а остальные компоненты равны нулю. 3.5. КЛАССЫ С" Пусть У есть открытое множество в пространстве К". В п. 3.1 этого параграфа определены классы отображений С'(с1,К ), где г > 0 — целое число, обозначаемые также просто символом С'.
Напомним, что, согласно определению, данному в п. 3.1, 1: П вЂ” К™ есть функция класса С" (13, К ) в том и только в том случае, если у имеет в У все частные производные порядка не выше г, причем каждая из этих производных есть непрерывная в У функция. Установим некото ые об ие свойства к ий классов С'. Из определения класса С" непосредственно следует, что если функпия 3', имеющая областью определения открытое множество У пространства К" и принимающая значения в К™, принадлежит классу С", то любая ее частная производная порядка з, где 1 < з < т, принадлежит классу С" '. Справедливо и обратное утверждение. Если функция г" имеет в У в с е частные производные порядка з и каждая из них принадлежит классу С" ', то 1 есть функция класса С .
Пусть 1(х) = (1г(х),уз(х),...,1 (х)) Е К™ для всякого х е У. Функция 3 принадлежит классу С в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций Д, г = 1, 2,..., гп, — компонент вектор-функции У принадлежит классу С". ° Теорема 3.3. Если каждая из функций г;: сг -~ К, г = 1, 2,..., й, принадлежит классу С', то также и г" = г1 + гз + ° + ~ь есть функпия класса С', в для всякого п-мерного мультииндекса а порядка г выполняется равенство: 0 ~ = 33 Л + О ~г + ° + 0" Б. Лок азате лье тво — очевидно. ° 322 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ° Теорема 3.4.
Пусть г и д — вещественные функции, определенные на открытом множестве У пространства К и принадлежащие классу С'. Тогда их произведение гд также является функцией класса С'. Доказательство. Теорема доказывается индукцией по т. Пусть г = 1 и у и д — произвольные функции класса С~. Тогда функции 1 и д дУ дд непрерывны и имеют в У частные производные — и —, причем эти дх; дх,' производные непрерывны в У.
Отсюда следует, что функция Ь = уд — непрерывна и имеет в У дЬ частную производную —. При этом, согласно правилу дифференциродх, ' вания произведения, имеет место равенство: д(Уд) дУ дд = — д+ У вЂ”. дх, дх; дх; ' (3.8) дУ дд Функции —, —, ~ и д непрерывны и, значит, как следует из д,' дх равенства (3.8), производные суть непрерывные в У функции. дУд) дх; По определению, это и означает, что Ь = уд Е С .
Предположим, что теорема доказана для т = з. Д о к а ж е м, что тогда она будет верна также и для г = з+ 1. Итак, пусть 1 и д — функции класса С', где т = з+ 1. Тогда У и д принадлежат классу С' и, значит, по доказанному, их произведение Ь = Хд есть функция класса Сг. Для всякого з = 1,2,...,п имеем: д(Уд) дУ дд = — д+У— дх; дх, дх Функции — и — принадлежат классу С' = С'.
Каждая из дУ дд в дх, дх, функций ~ и д принадлежит классу С", а, стало быть, также и классу С" ' =С'. дд дУ В силу предположения индукции, произведения ~ — и д — суть дх; дхз функции класса С' и, значит, их с у м м а, то есть производная —, д(й) дх; принадлежит классу С'. Таким образом, все производные первого порядка функции 1д при- надлежат классу С'. Отсюда следует, что произведение ~д есть функция класса С~+1 = С Теорема доказана. ° З 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 323 ° Теорема 3.5. Пусть П есть открытое множество в К", Ъ'— открытое множество в Ж™. Предположим, что заданы отображения ,)': П вЂ” ~ К н д: Ъ' — К~, причем прн каждом х Е П точка д(х) принадлежит Ъ'.
Тогда если у н д — функции класса С', то нх суперпозиция Ь = д о 1 также является функцией класса С". ,Цоиазнтельстно. Если у е С и д е С~, то у дифференцируема в каждой точке х Е П, а д дифференцируема в каждой точке у Е Ъ'. Отсюда следует, что функция Ь дифференцируема в каждой точке х Е П. При этом ее частные производные выражаются через частные производные функций у" и д по формуле: (3.9) Из этого равенства видно, что если функции у и д и их первые производные непрерывны, то все первые производные функции л = до у также непрерывны, то есть Ь Е С . Предположим, что теорема верна для г = з, и докажем, что тогда утверждение теоремы верно также и в случае г = з + 1. Итак, пусть т = з + 1 и ~ и д суть функции класса С'.
Тогда У и д принадлежат классу С" ~ = С' и, значит, согласно предположению, функция Ь также принадлежит классу С'. В частности, получаем, что Ь й С'. Отсюда следует, что Ь имеет непрерывные первые производные, причем эти производные выражаются через производные функций у и д равенствами (3.9). Так как У и д принадлежат классу С", то они принадлежат также и классу С' ~ = С'. Их первые производные суть функции класса С'.
Отсюда, в силу индукционного предположения, следует, что функад ции — о у принадлежат классу С'. Значит, по теореме 3.4, каждое из оду слагаемых в правой части равенства (3.9) есть функция класса С'. Мы получаем, таким образом, что все производные первого порядка функции 6 = д о у — это функции класса С'. Отсюда вытекает, что функция д о у принадлежит классу С'+ = С'. В силу принпипа математической индукции, теорема доказана. ° 324 Гл. 7.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных ~4. Формула Тейлора для функций многих переменных В этом параграфе формула Тейлора, доказанная в главе 4 для функций одной переменной, распространяется на случай функций многих переменных. Сначала излагаются нехоторые начальные сведения теории полиномов от п переменных. Функция Р(х) переменной х = (хы хз,..., Х„) Е К" называется полиномом стпепени не выше т, если она может быть представлена как сумма конечного числа слагаемых вида: Ах"'х"з...х~„'", где й; > О, з = 1, 2,..., и, — пелые числа, причем йг + йз + ° ° + й„( т. Всяхий поливом принадлежит классу С" при любом т > 1.
Полинам Р называется полиномом Тейлора порядка т функции ~ в точке а, если Р есть полипом степени не выше т и значения всех производных полинома Р порядка не выше т равны значениям в точке а соответствующих производных данной функции. Здесь устанавливается опенка поведения разности между функцией и ее полиномом Тейлора в точке а при х, стремяшемся х а ~формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). С помощью понятия полинома Тейлора, находятся выражения для производной произвольного порядка по переменной Ф Е К функции ~(а + гп). Указываются некоторые приложения полученной формулы.
4.1. ПОлинОмы и пеРеменных Рассмотрим фунхции, определенные в пространстве К" и принимающие значения в пространстве Ж Функдия у: К" — К называется мономом степени не выше т, если существуют вектор А Е К и и-мерный мультииндекс а такие, 'Что ~СГ~ ( т, И дЛя ЛЮбОГО Х = (ХЫ Хз>..., Хв) Е Ж ~о(х) = Ах = Ах,'хз' ...х„". Функция Р: Ж" — + К называется полиномом степень не выше т, если она может быть представлена как сумма конечного числа мономан, степени которых не превосходят т. Два м о н о м а Ах и Вха называются подобными, если сг = В.
Пусть Р есть полипом степени не выше т. Представим Р как сумму конечного числа мономан, степени которых не превосходят т. 325 З 4. Формула Тейлора лля функций многих переменных Объединяя в этом представлении подобные слагаемые, получим, что полипом Р может быть представлен в виде суммы ( ) А х, )«((г в которой никакие два слагаемых не являются подобными мономами. Суммирование в (4.1) ведется по множеству всех мультииндексов а, степени которых не превосходят г. Равенство (4.1) называется каноническим представлением полинома Р. Векторы А в правой части (4.1) называются коэ44ициентами каноническоео представления полинома Р.
Сокращенной записью высказывания: «Р есть полинам степени не выше г», является формула: «с1ея Р < т». Ках синоним данного высказывания далее мы будем употреблять также фразы типа: «Р есть полипом, степень которого не превосходит г» и им подобные. Функция, тождественно равная нулю, есть полипом, степень которого считаем равной -оо. Далее бп где 1 < г < п, — целое число, означает и-мерный мультииндеяс, 4-я компонента которого равна 1, а остальные равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
