1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В силу леммы 4.3, отсюда следует, что р(х) = о(!х — а!") при х — а, и тем самым теорема доказана. ° ° Теорема 4.1. Пусть |: У вЂ” ~ !к есть функция класса С" (У— открытое множество в !к") и Р есть полипом Тейлора порядка т функции 1 в точке а Е У. Тогда справедливо соотношение: З 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 3 а м е т и м, что условие и(х) = о(~х — а~') при х — а для произвольной функции и: У вЂ” 2 равносильно следующему: и(х) = о(х)(х — а!', где а(х) — О при х — а. Принимая во внимание это замечание и используя выражение для пояинома Тейлора у5унниии у, результат теоремы 4.1 можно представить в следующей форме. для всякой функции у': у — К класса Сг выполняется соотноше- ние: у(х) = ,'~ ~~, (х — а) + ог(х) ~х — а~~, Р )(а) (4.5) )а)<г 4.3.
АсимцтотичкскАи кАгАкткгнстнкА цолинома Тнйлога ° Лемма 4.4. Пусть Р: 2" — К™ есть полином степени не выше т, где т > О. Если существует точка а Е 2" такая, что Р(х) = о(1х — а~") при х — ~ а, то функция Р тождественно равна нулю. Доказательство. Пусть Р удовлетворяет всем условиям леммы. Дальнейшие рассуждения опираются на результат, установленный ранее для функций одной переменной со значениями в К. Поэтому сначала мы рассмотрим случай, когда Р есть вещественная функция. Итак, пусть Р: К" — ~ 2 есть полипом степени не выше т такой, что для точки а б К" справедливо соотношение: Р(х) = о(~х — а~') при х — а.
Возьмем произвольно точку х Е 2" такую, что х ф а, и для 4 Е К положим р(4) = Р(а+ г(х — а)). где о,(х) — О при х — а. Равенство (4.5) называется формулой Тейлора с остаатаочным членом е форме Пеано. Правая часть равенства (4.5) не изменится, если произвольным образом изменить значение функции о„в точке а. Из соображений удобства, в дальнейшем мы будем всегда считать, что ог(а) = О. При этом соглашении функция а„становится непрерывной в точке а. 334 Гл. 7. Лифференциальное исчисление функций многих переменных Функция М Е И ~ а+М(х — а) есть, очевидно, полипом не выше первой степени и, значит, согласно предложению ПП и.
4.1, р есть полипом степени не выше г. Из условий леммы следует, что Р(х) = а(х) ~х — а~', где а(х) — ~ 0 при х -+ а. Заменяя в этом равенстве х на а + М(х — а), получим: ~а(М) = Р(а+М(х — а)) = сг(а+М(х — а)])х — а~ ф = а1(МЩ'. Очевидно, ад(М) — 0 при М -+ 0 и мы получаем, что у(М) = оЩ") приМ- О. Функция ~р есть полином степени не выше г. Значит, у(М) = О, как следует из доказанного ранее для полнномов одной переменной. Полагая, в частности, М = О, М = 1, получим, что Р(а) = ~р(0) = О, Р(х) = у(1) = О. Так как точка х Е К", х ф а была выбрана произвольно и Р(а) также равно нулю, то тем самым д о к а з а н о, что Р(х) = О.
Рассмотрим случай, когда Р есть функция со значениями в К Пусть Р;, г' = 1, 2,..., гл, суть компоненты вектор-функции Р. При каждом М вещественная функция Р; представляет собой полипом степени не вьппе г. Из условий леммы следует, что Р;(х) = о(~х — а~") при х -+ а. Значит, по доказанному, Р;(х) = 0 при каждом з = 1, 2,..., т. Отсюда вытекает, что Р(х) = О. Лемма доказана. ° ° Теорема 4.2 (теорема об асимптотической характеристике полинома Тейлора функции).
Пусть У есть открытое множество в К", 1: У вЂ” зм™ вЂ” функция класса С, Р— полипом степени не выше г и а Е У. Тогда если У(х) = Р(х) + о(/х — а/') при х — а, то Р есть поливом Тейлора порядка г функции у в точке а. Доказательство. Пусть Рс есть полипом Тейлора порядка т функции 1' в точке а Е У, Р— полипом степени не выше г такой, что у(х) — Р(х) = оОх — а/') при х — + а. Согласно теореме 4.1, имеем: ~(х) — Рд(х) = о(/х — а/') при х — + а.
Из этих соотношений, очевидно, следует, что Р(х) — Ро(х) = о(~х — а~') при х — а. 335 З 4. Формула Тейлора для функций многих переменных Так как Р— Ро есть полинам степени не выше т, то, на основании леммы 4.1, отсюда следует, что Р— Ро = О, то есть полипом Р тождественно совпадает с полиномом Ро, что и требовалось доказать. ° Следствие (формула Тейлора для полиномов). Для всякого полинома Р: К" — К и любой точки а 6 К" имеет место равенство: (4.6) '«а~<т Доказательство. Имеем: Р(х) — Р(х) = О. В частности, это означает, что Р(х) — Р(х) = о()х — а!') при х — + О.
Отсюда вытекает, что Р, как полинам степени не выше т, совпадает с полиномом Тейлора порядка т в точке а функции х Е К" «-«Р(х), то есть с полиномом, стоящим в правой части равенства (4.6). Следствие доказано. Следствие леммы 4.4, в частности, позволяет заключить, что всякий полинам Р степени не выше т может быть представлен в виде Р(х) = ,'~ А (х — а) ~«о~<« Ранее (см. и.
4.1) мы доказали, что всякая функция, допускающая такое представление, есть полинам степени не выше т. Теперь мы установили, что в такой форме может быть представлен любой полипом, степень которого не превосходит т. 4.4. ФОРмУлА ллЯ произВОЛПОЙ ЛРОизВОльнОГО пОРЯдкА ФУнкИИ Ф «-+ х ГЛ . ПОНЯТИЕ ИФФЕРЕН НАЛА т-ГО ПОГЯДКА Зададим произвольно открытое множество У в пространстве К" и отображение Х: П вЂ” «К Пусть а б У и Ь вЂ” произвольный вектор в К". Положим «р(г) = у(а+ ФЬ). Отображение (': Ф Е К «-«а + га непрерывно и принадлежит классу С при любом т > 1. Имеем: «р = у оС, Область определения «р есть совокупность всех Ф Е К, для которых С(г) Е г«, то есть множество С (с«). Так как с — непрерывно, то с ~(1«') есть открытое множество. 337 З 4.
Формула Тейлора для функций многих переменных где Аь = ,'~ — ',Р"1(хо)Ь !а!=ь (4.10) В силу теоремы 6.2 главы 4, полинам, стоящий в правой части (4.9), есть полинам Тейлора порядка т функции !о в точке йо и, стало быть, Аь = !о~" (~о). Имеем: дь Аь = — ьУ(а+ 1оЬ). Отсюда, в силу (4.10), следует равенство (4.7) для 8 = 1о. Так как 8о— произвольно, то теорема тем самым доказана. ° Пусть у: 77 — + К есть функция класса С' и пусть Ь, 1 < Ь < т,— целое число.
Тогда для всякой точки х Е У определена функция: Ь! Ь Е К" ~-+ ~ —;Х) 7'(х)Ь, (а)ья (4.11) которая представляет собой однородный полипом степени й относительно переменной Ь Е К". В случае Ь = 1 этот полипом может быть записан в виде: откуда видно, что при Й = 1 он совпадает с дифференциалом функции у в точке х. В общем случае однородный полипом степени Ь, определенный формулой (4.11), будем называть ди44еренциалом Ь-го нарядна амуниции У е точке х и обозначать символом а"Дх). В соответствии с этим обычный дифференциал функции У есть ее дифференциал первого порядка. Значение, которое дифференциал Ь-го порядка функции 7' в точке х принимает для вектора Ь Е К", обозначается одним из следующих выражений: Ы У(х; Ь) или д 7" (х)(Ь). Используя введенные обозначения, равенство (4.7) теоремы 4.3 допускает следующее представление: 338 Гл.
7. Лиффереициальиое исчисление функций многих переменных В качестве п и м е а ассмот им и уложение о м лы 4.7 лл«ж 43. Пусть У = и" и функция у: й" — К определена равенством Дх) = е*'+*'+ +*" для всякого х = (х«, хг,..., х„). Ътя любого 4 = 1, 2,..., п имеем: Р е*«~ *г~"'"~*" = Р (е*'е*' е '*) = = е*' Р (е*') е*" = е '+*'+ +*" Отсюда, очевидно, следует, что для любого мультииндекса а Рь и«+из+" +л««е*«+*«+".+*и Р е В частности, получаем, что для данной функции у при всяком а выполняется равенство (Р у)(0) = 1. Положим Ь = (х«,хг,...,х„), а = О. Пусть у(1) = е'~*«+*г+'"+*"~. Имеем: ««Оф е~( 1+*2+"'+~в)(х + х + + )«' и, значит, «р " (0) = (х« + хг + . + х ) .
Применим формулу (4.7) теоремы 4.3. Значения производных, стоящих в этой формуле с и р а в а, при а = О, $ = 0 равны 1, откуда получаем равенство: а (х«+хг+ .+х ) = з — х . «а«=ь Полагая в полученном равенстве и = 2, приходим к соотношению, известному под именем формулы бинома Ньютона.
Выведенное здесь о б щ е е т о ж д е с т в о представляет собой ее многомерный аналог. ~5. Вычисление частных производных Свойства операции дифференцирования достаточны для того, чтобы с их помощью вычислить любую частную производную, которая требуется. 339 З 5. Вычисление частных производных В этом параграфе описываются приемы, позволяющие упорядочить и в некоторых случаях даже сократить работу, которая необходима для вычисления той или иной частной производной. Они могут применяться также для установления разного рода общих соотношений между функциями и их частными производными. Полезным средством для нахождения частных производных может служить тпеорема об асимптотпичесной характперистпине полинома Тейлора 4уннции, доказанная в предыдущем параграфе. Другой подход к задаче вычисления частных производных основан ва использовании понятия дифференциала функции порядха т > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
