1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 60
Текст из файла (страница 60)
$1=1 Заменяя в равенстве (5.16) у на —, получим: дУ дх,, ' — ~ — У(х+Я) = у (х+гЬ)Ь;,. $1 1' дУ '1 д~у 11 ~дх;, дх$1 дх$2 $2=1 Отсюда дг ~ — „,,у(*+И) = „'~ ,'~ ( +гЬ)Ь;,Ь;,. $1 1$2 Продолжая рассуждение далее по индукции, получим равенство: $$ $$ $$ — „„У(х+1Ь) = у ~у " ~~2 (х+~Ь)Ь;,...Ь$2Ь1,. $$=1 $2=1 $2=1 Найдем производную, стоящую в левой части равенства (5.15), иным путем. Прежде всего заметим, что справедливо равенство: 352 Гл. 7. Лнфференцнальное исчисление функций многих переменных Полагая 1 = О, получим: ~Ф, Ь) з~ ч~- ~~- д~ ~ о=о (5.17) Мы получили, таким образом, два различных выражения для ве~ь личины — 7" (х + Ж) ~: одно дается равенством (5.15), другое — ра<ца и=о' венством (5.17).
Очевидно, правая часть равенства (5.17) может быть преобразована в выражение, стоящее в правой части равенства (5.15). Исследуем, как это можно сделать. Заметим, прежде всего, что, в силу теоремы 3.2, величина не меняется, если произвольным образом переставить индексы зг, зз,..., гю Произведение Ь; ... Ьсо Ь;„в силу известных свойств операции умножения, при этом также сохраняет свое значение.
Отсюда ясно, что сумма в правой части равенства (5.17) содержит много одинаковых слагаемых. Пусть дана последовательность индексов 1 = (зм 1з,...,гь), где 1 < зг < п,1 < гз < и,...,1 < гь < п, и пусть п-мерный мультииндехс а = (ам аз,...,а„) есть индихатриса гг(1) этой последовательности.
Напомним, что согласно определению, данному в 33, это означает, что при каждом о = 1, 2,..., п а, есть число членов последовательности (гм гз,..., гь), равных з. Тогда, как показано в п. 3.3 этой главы, имеет место равенство: (х)Ь, ...Ь Ь, — (Р 7')(х)Ь . — 7'(х + $Ь) = ~ С(а) (Р у) (х) Ь~. о=о (5.18) Обозначим через С(а) число наборов индексов 1 = (зг,гз,...,гь), индикатрисой которых является п-мерньгй мультииндехс а. Объединяя в сумме (5.17) совпадающие слагаемые, получим: З 5. Вычисление частных производных Таким образом, мы получаем, что для всякой точки х Е У, хахов бы ни был вехтор Ь б 5!", выполняется равенство: ~ь И Р(6) = — „1(х+И) = ~~~ С(а)(Р 1)(х)Й = ,'~ — ',Р 1(х)Й .
в=о !и!ь Ь (5.19) Функция 6 ~ Р(Ь), таким образом, есть однородный полипом степени Й переменной Ь, и каждая из двух сумм в правой части равенства (5.19) представляет собой каноническое представление этого полинома. Так хах каноническое представление полинома единственно, мы получаем,что И С(а)(Р 1)(х) = —,Р Дх). (5.20) Положим У = В",х = 0,1(х) = ехр(х1+хо+ +х„). Ках мы знаем, Р 1(х) = 1(х) для любого а и 1(0) = 1. Подставляя в (5.20) данную функцию 1, получим: Й! С(а) = — '. а! (5. 21) Предположим, что всякому набору индексов 1 = (зы зю..., гь) длины Й, где 1 < г1 < и,1 < Йя < и,...,1 < гь < и, сопоставлен вектор и;„,...;„Е !й . Получаемый таким образом набор векторов и = = (и;„., и„) будем называть тензором в пространстве !й".
Число Й при этом называется вплентностью тензорп и. Формально и есть отображение множества !!„ = 1„ х 1„ х ° х 1„ Ь мвожителей в пространство К™. Будем говорить, что и: 1~ — !й" есть !й -значный тензор в К" валентности Й или, короче, и есть (и, Й, т)-тензор. И Таким образом, установлен хомбинаторный смысл множителя — в а! выражении для дифференциала порядка Й фунхции и переменных. ВеИ личина —, где а — и-мерный мультииндехс такой, что !а! = Й, равна числу наборов индексов 1 = (юы ею..., гь), индихатрисой хоторых является данный мультииндехс а. В частности, отсюда следует, что отно- И шение — где Й = !а~, всегда есть целое число. а! П ив ем з есь е е пехоте ые св ения алгеб аического ха ахте а. 354 Гл.
7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Пусть дан тензор и: (22, 22,..., 22) Е П"„нн122„,;„Е К". Тензор и называется симметричным, если для любой перестановки а: 12 -+ Ц ранга Й имеет место равенство: П1а11 2" 1а1 КЧ122 "Я1 Иначе говоря, тензор и симметричен, когда величина п2112 з не меняет свое значение, если произвольным образом переставить индексы 22,22, ,2Ы Пусть У вЂ” открытое множество в К", 1: У вЂ” К" — произвольная функция класса С', где т > Й. Для всякой точки х Е У и любого набора индексов 1 = (21, 22,..., 22) Е $„определен вектор ь д~1 д д д . дх31 х$2 .
х11 Для всякой точки х области У, таким образом, определен некоторый К -значный тензор валентности Й, а именно тензор 1 Е 2„1-+ Рг1(х). Этот тензор, согласно теореме 3.2, является симметричным. Данный пример объясняет и р и ч и н у налгего интереса к описываемой здесь, на первый взгляд, экзотической алгебраической конструкции. Для обозначения тензора 1 Е 1„Югах), определенного здесь, представляется целесообразным применять выражение (~" 1)(х). Пусть и: (21,22,...,22) б 2~ 1-+ и;„2;, Е К™ есть симметричный К -значный тензор валентности Й в пространстве К". Для произвольного вектора Ь = (Ь1,Ь2,...,Ь„) Е К" положим Р(Ь) = (п,Ь ) = ~~~ ~ ~~> и,„,;„Ь,...Ь Ь„. (5.22) 21 112 1 22 Функция Ь ~-+ АЬ; ...Ь;,Ь;,, где А Е К", является мономом степени Й.
Правая часть равенства (5.22), таким образом, есть с у м м а конечного числа мономов степени Й и, следовательно, функция Р есть однородный полипом степени Й. З 5. Вычисление частных производных 355 Равенство (5.22) будем называть тиензорным представлением полннома Р. Пусть даны наборы индексов 1 = (зы гз,..., гй) и Х = (,уы,уз,,зй). Тогда один из них может быть получен перестановкой другого в том и только в том случае, если их индикатрисы а(1) и сй(д) совпадают.
Если а(1) = а(1) = а, то, в силу симметричности тензора и, и;„, = ид,, Общее значение векторов и!1!, !й, соответствующих всем наборам индексов 1 = (гыгз,...,гй) таких, что а(1) = а, обозначается символом и! 1. Объединяя в сумме (5.22) одинаковые слагаемые, получим: ! Р(Ь) = (п,Ьй) = ~ С(а)и! 1Ь = ,'! — 'и1 1Ь". а! (5.23) Равенство (5.23) представляет собой каноническое представление полинома Р. Для дальнейшего существенное значение имеет следующее утверждение.
Р(Ь) = (п,Ьй) = ,'! ~~! . ~ и;„,,;„Ь;„...Ь Ь,„ г,=1 а,=й где и: (зй, зз,..., зй) Е !!в ~-~ и;„, л, й К™ есть симметрический тензор. Действительно, пусть есть каноническое представление полинома Р. Зададим произвольно набор индексов 1 = (з!, зз,..., з„) Е !!;,. Пусть а = а(1) есть индикатриса этого набора. Полагаем: Тем самым вектор и,„, л„определен для любой последовательности индексов (гызз,...,гй) Е !!"„. Получаемый таким образом тензор Ф Предложение 5.1.
Пусть функция Р: К" — ~ К™ является однородным полиномом степени Ь > 1. Тогда функция Р может быть и притом единственным образом представлена в виде 356 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных и: (зг,зз,...,юь) и,,;, „;, является симметричным. Рассуждения, предшествующие данному предложению, позволяют заключить, что п и н а! Ь1 ,'~ и;„, 1ьЬ,„... Ь,,Ь„= ,'~ —,' — ',А<„Ь = Р(Ь). (а)=ь $1=1 $2=1 Существование тензорного представления для полинома Р, таким образом, установлено. Пусть дано представление вида (5.22) полинома Р.
Пусть Х = = (гыгз,...,юь) — произвольный набор индексов длины Ь и а = а(1) есть его индикатриса. Тогда ич;, я, = и и каноническое предста(а1 вление полинома Р имеет вид Р(Ь) ~"'„1-~Ь- )сю)=ь Так как каноническое представление полинома е д и н с т в е н н о, то из доказанного следует, что коэффипиенты и;„.,„;„определяются по полиному Р единственным образом, что и требовалось доказать. Ф Отметим, что правая часть равенства (5.17) дает тензорное представление дифференциала порядка Ь функции 1 в точке х. Это представление полезно записать в несколько иной форме.
Заметим, что для вектора Ь = (Ьы Ьз,..., Ь„) дх;(Ь) = Ь, и, значит, Ь~~Ьвя ... Ьы = сЬах (Ь)сЬ12 (Ь)... Йхся (Ь). В результате получаем, что тензорное представление дифференпиала д" 7" (х) может быть записано в виде: д" 7" д" Д~) = ~~» ,'~ ~ (х)дх;,... г1х;,4х;,. Ь;,ах,,...ах,„ а1г Г а~=1 1Ььц Пример. Покажем, как применить правила описанного здесь исчисления полиномиальных форм к вычислению производных высших порядков суперпозиции. Пусть У С К™, Ъ' С К" — открытые множества и У: У вЂ” К", д: У вЂ” К" — функции класса С",г > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
