1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 63
Текст из файла (страница 63)
7.2, выводится отсюда с помощью некоторых формальных преобразований. Условимся относите ьно обозначений использ емых в о м ли овке и оказательстве тес емы 7.1. ПУсть и = (х1,...,хи,хие1) — пРоизвольнвл точка пРостРанства Ж" . Полагаем х„~1 = у и символом х обозначим точку пространства и+1 К", определяемую первыми п компонентами точки я, то есть х = (х1, хз, ..., х ).
В соответствии с этим точку я будем рассматривать как пару ( ',у) Для произвольной функции 7", заданной на подмножестве пространства 2", величину 7" (з), в соответствии с этим, будем обозначать симду волом 1(х, у). Для производной (з) будем использовать также дхи+1 ду" обозначение †(х,У) др ° Теорема 7.1 (простейшая теорема о неявных функциях). Пусть П есть открытое множество в пространстве 1и"+, Г: П -+ К вЂ” непрерывная функция, имеющая частную производную дГ дГ дхи+1 дп дГ в каждой точке я Е П, причем функция я ~-+ — (я) на множестве П ду непрерывна. Предположим, что существует точка с = (а, Ь) множества П, где а Е и", Ь Е Ж, для которой выполняются условия: Г(с) = О, — (с) ф О.
дГ ду Тогда найдутся числа б > О н и > О такие, что всякая точка з = (х, у), для которой )х — а) < б и (у — Ь| < л, принадлежит множеству П, и сутцествует непрерывная функция 1о: В(о, б) — К такая, что для всех х Е В(а,б) величина у(х) принадлежит интервалу (Ь вЂ” 11,Ь+ и) и выполняется равенство: Г(х,~р(х)] = О. 'З 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения Для х Е В(а, б) значение у, лежащее в интервале (Ь вЂ” О, Ь+ у) и такое, что выполняется равенство Р(х, у) = О, единственно и равно у(х). 3 а м е ч а н и е 1.
Относительно функции у, указанной в формулировке теоремы, говорят, что эта 4унхция определяетпся неявно уравнениеяи Р[х,~р(х)] = О. 3 а м е ч а н и е 2. Утверждение теоремы равносильно следующему. Уравнение Г(х, у) = 0 на множестве И' = В(хе, б) х (Ь вЂ” и, Ь+ и) эквивалентно уравнению у(х) = у. Действительно, если х(х) = у, где х Е В(а, б), а у Е (Ь вЂ” О, Ь+ О), то Р(х, у) = О. Обратно, если (х, у) Е И~, то, согласно теореме, у = х(х), то есть у(х) = у. Таким образом, всякое решение одного из уравнений Р(х,у) = 0 и у(х) = у, принадлежащее области И; является также решением другого уравнения.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия те- дР оремы. Будем считать, что — (а,Ь) > 0 (в случае, когда указанная ду производная отрицательна, Р заменяем на -Р). По условию,производ- дР ная дяР = — является функцией, непрерывной на множестве У. ду дР Имеем: — (с) > О. В силу непрерывности функции дяР, найдется ду г > 0 такое, что шар В(с,г) содержится в множестве У, и для всех т я Е В(с, т) выполняется неравенство: д„Р(я) > О.
Положим и = — и ~/2 пусть р = (а, Ь вЂ” и), а = (а, Ь+ и). Пусть точка х = (х, у) Е и"+ такова, что ]х — а] < и, а у Е [Ь вЂ” у, Ь+ у]. Тогда (~д +ц =ц~2= ]я — с] = и, следовательно, для любых х Е К" и у Е [Ь вЂ” и, Ь+ и] точка я = (х, у) принадлежит шару В(с, г) С с7. Из определения шара В(с, т) следует, что для таких х и у выполняется неравенство: дяР(х,у) > О.
Для х е К такого, что [х — а] < и положим Ся(у) = Р(х,у). Имеем: С' (у) = д„Р(х,у) и, значит, по доказанному, С' (у) > 0 для любого у Е [Ь вЂ” у, Ь+ у]. Отсюда вытекает, что если ]х — а] < л, то функция С (у) является строго возрастающей на промежутке [Ь вЂ” и, Ь + и]. В частности, функция С,: у ~-+ Р(а, у) является строго возрастающей в промежутке [Ь вЂ” и, Ь+и] и потому Р(р) = Р(а,Ь вЂ” у) < Р(а,Ь) = 0 < < Р(а, Ь+ и) = Р(д). Отсюда вытекает, что Р(р) < О, а Р(д) > О. Функция Р, по условию, непрерывна и, значит, найдутся б1 > 0 и Ьз > 0 такие, что если [х — а~ < Б1, то Р(х, Ь вЂ” и) < О, а если [х — а] < бз, то Р(х,Ь+О) > О. 370 Гл.
7. Лифференциальвое исчисление функций многих переменных Пусть 6 > 0 есть наименьшее из чисел 6ы 6з и и. Пусть Й~ = = В(а,6) х [Ь вЂ” и, Ь+ у], И' = В(а, 6) х (Ь вЂ” и, Ь+ и). Имеем: И' с Й. Так как 6 < у, то множество Й содержится в шаре В(с, г). Множество Й~ представляет собой цилиндр, нижнее основание которого состоит из точек я = (х, д — и), а верхнее образовано точками з = (х,Ь+ и). При этом х в обоих случаях должно быть таково, что ]х — а) < 6.
Если х Е Ж" таково, что )х — а) < 6, то ]х — а] < 6ы и одновременно ~х — а~ < 6з. Отсюда вытекает, что для данного х выполняются неравенства: Г(х,д — и) < О и Г(х, д+ и) > О. Мы получаем, что функция Г(х,у) на нижнем основании цилиндра Й всюду отрицательна, а на верхнем его основании — всюду положительна. Из условия ]х — а] < 6 следует, что ]х — а] < у и, значит, по доказанному, функция Г(х,у) является строго возрастающей на всяком отрезке, соединяющем точку (х, д — и) нижнего основания цилиндра Й7 с точкой (х, Ь+ г1) его верхнего основания.
Отсюда вытекает, что для всякого х е К" такого, что ]х — а~ < 6, найдется значение у Е (Ь вЂ” п,д+ у), для которого Г(х,у) = О. Такое значение у — единственно, в силу того, что для данного х функция С является строго возрастающей на промежутке [д — и, д+ и]. Таким образом, нами установлено, что существуют числа 6 > 0 и и > 0 такие, что множество Й = В(а,6) х [Ь вЂ” и, Ь+ и] содержится в множестве У и для всякого х Е В(а, 6) существует и притом только одно значение у = у(х) такое, что д — у < у < 6+ и, и выполняется равенство Г[х,ср(х)] = О. Л о к а ж е м непрерывность построенной функции р. Возьмем произвольно точку хе е В(а, 6).
Пусть уе = у(хе). Зададим произвольно последовательность (х„)„еи точек шара В(а, 6), имеющую пределом точку хе. Положим: у„= ~о(х„). При каждом и Е Ь1 точка у„принадлежит сегменту [Ь вЂ” и, д+ и]. Последовательность (у„) ен, таким образом, является ограниченной. Пусть (у„ь)вен есть произвольная ее сходящаяся подпоследовательность, у = 1пп у„„. Очевидно, д — и < у < Ь+ и.
Ь оо При каждом й Е Ы имеем: Г(х „,у,) = О. Переходя к пределу при й — ~ оо, в силу непрерывности Г, получим, что Г(хе,у) = О. Так как значение у Е [Ь вЂ” и, Ь+ и], для которого Г(хе,у) = О, единственно, то, следовательно, мы получаем, что у = уе = ~р(ха). Из доказанного вытекает, что все частичные пределы последовательности (у )„ен равны уе.
В частности, верхний и нижний пределы этой последовательности равны уе. Следовательно, мы получаем,что уе = 11ш уи. в оо 371 'З 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения Так как последовательность (х„),ен точек шара В(а, 6), сходящаяся к точке хо, была выбрана произвольно, то, в силу криглерия Гейне суще- ствования предела, выполняется равенство: ~р(хо) = уо = 1пл ~р(х). я хо Тем самым доказано, что функция у непрерывна в точке хо. Так как хо Е В(а, о) взято произвольно, то тем самым непрерывность функции у установлена.
Теорема доказана. ° И с с л е д у е м дифференциальные свойства функции р, заданной неявно уравнением г [х, ~р(х)] = О. Мы сможем установить наличие «хороших» дифференциальных свойств у функции у при условии, что функция К принадлежит классу С' для некоторого т > 1. Долее используются те же обозначения, что и в теореме 7.1. У[я(х)] = Г[х,~р(х)] = О дГ и производная — (я) в точке г(х) отлична от нуля.
Тогда функция ~р ду првнадлежитклассуС' и в каждой точке х Е С для всякого1 = 1,2,...,п имеет место равенство: д1, д,.[ 'Р(х)] аг — (х) =— — [' р(х)] ду (7.1) Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Рассмотрим сначала случай, когда функция г принадлежит классу С~. Д о к а ж е м, что функция 1о в каждой точке х Е С имеет частд1о ные производные — (х), причем эти производные выражаются равендх; ством (7.1). Зададим произвольно точку хо Е 6. Положим уо = оо(хо), о = (хо, уо) = я(хо) ° Теорема Т.2.
Пусть У есть открытое множество в пространстве К" ~~ и Р: У вЂ” + К вЂ” функция класса С', где г > 1. Предположим, что открытое множество С пространства К" и определенная на нем непрерывная вещественная функция ~р таковы, что для всякого х Е С точка я(х) = (х, р(х)) принадлежит множеству У, причем выполняется равенство 372 Гл.
7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Функция х Е С д г(х) Е ж"+~ непрерывна. Точка го принадлежит множеству 77. Множество дд' — открытое и, значит, найдется ед > 0 такое, что В(ло, ед) С 17. дР Функция — на множестве 77 непрерывна и ее значение в точке ао ду отлично от нуля. Отсюда следует, что найдется ез > 0 такое, что если дГ [х — ко] < ез, то — (з) ~ О. ду Пусть е = ппп(ед, ез), е > О. Так как множество С вЂ” открытое, то найдется бд > 0 такое, что В(хо, бд) С С.
Так как отображение г: х Е С д-д (х, од(х)) непрерывно, то найдется бз > 0 такое, что если х Е С удовлетворяет неравенству [х — хо[ < бз, то [к(х) — к(хо)] < е. Пусть б = тш(бд, бз), б > О. Оставляя остальные координаты точки хо неизменными, придадим ее г-й компоненте хсч приращение Ь такое, что ]Ь[ < 6. Пусть х есть полученная в результате точка пространства К". Имеем: х = хо + Ье; и [х — хо[ = [Ь] < 6 < Бд и, стало быть, х Е С. Положим у = х(х), и пусть х = (х, у). Имеем: Г(х) = 0 и Р(го) = О. Пусть и(М) = Р[го+д(г — хо)].
Так как ]х — хо[ < 6, то ]к — ко[ < е < ед, и, значит, хо + г(х — го) Е дд' для любого г Е [О, 1]. Отсюда следует, что и(г) определено для любого й Е [0,1]. Так как, по условию, функция Р принадлежит классу С, то функция и дифференцируема для всех значений 1 Е [О, 1], причем и(1) = Р(к) = 0 и и(0) = Р(хо) = О.
В силу теоремьь Ролик (теорема 4.2 главы 4), найдется д Е [О, 1] такое, что и'(д) = О. Подставляя выражение для величины и'(д) через производные функции Р, получим." 0 = и'(О) = ЙР[хо + д(з — зо), х — хо) = дР дГ [ко + 0(к — хо)](ху — хоу) + — [ко + у(х — ко)](у — уо) (7 2) дху ду у=д У вектора к — го компонента с номером г' равна Ь, компонента с номером и+ 1 равна у — уо = од(х) — од(хо), а все остальные компоненты вектора х — хо равны нулю. Из равенства (7.2) поэтому следует: дГ дР— [хо + д(х — ко)]Ь+ — [ко + В(х — яо)][од(х) — ~о(хо)! = 0 (7 3) дх, ду Так как, по условию, [х — хо] < 6 < бз, то [и — ко[ < е < ез. Это позволяет заключить, что точка го + д(г — хо) отстоит от точки 373 'З 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения яо на расстоянии, м е н ь ш е м ез, и, значит, значение в этой точке производной дяГ функции Г отлично от нуля.
Принимая во внимание, что х = хо + Ье;, из (7.3) получаем: дГ у(хо + Ье;) — у(хо) дх; [ (7.4) дà †[ + е(я — яо)] ду При Ь вЂ” ~ О будет я = я(х) — ~ я(хо) = яо и, стало быть, в силу непрерывности производных функции Г, правая часть равенства (7.4) при Ь вЂ” О стремится к конечному пределу, равному дà — [хо > ~о(хо)] дх; дà †[,~Р(хо)] ду По определению, предел у(хо + Ье;) — ~р(хо) 1пп ь о Ь есть частнэл производная — (хо). ду дх; Точка хо Е С была выбрано произвольно и, следовательно, докэзадр но, что функция у имеет производную — (х) в каждой точке х множедх; ства С для любого номера г такого, что 1 < я' < п. При этом выполняется равенство (7.1).
Производные функции Г непрерывны. По условию, функция у так' д~ жо непрерывна. Из (7.1) поэтому следует, что функции — непрерывдх; ны. Тем самым доказано, что функция у принадлежит классу С . Для случая г = 1 теорема, таким образом, д о к а з а н а. В о б щ е м с л у ч а е справедливость утверждения теоремы 7.2 устанавливается индукпией по г. Для т = 1 требуемый результат установлен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
