1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Таким образом, мы получаем некоторую функцию Г: У вЂ” 2. Говорят, что функция Г задается интегралом, зависящим от параметра. Функции, получаемые таким образом, часто возникают при решении самых различных задач математического анализа. Здесь мы докажем два простых результата относительно свойств функции Г, определенной равенством (1.1). (Более детальное исследование функций, представленных интегралом, зависящим от параметра, будет выполнено во второй части этой книги.) ° Лемма 1.1. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Тогда если функция 1': У х [а, Ь] — й переменных х Е У и Ф Е 2 непрерывна, то функция Г, определенная по функции г" равенством (1.1), является непрерывной на множестве У.
Замечание. Из условия теоремы следует, что при каждом х Е У функция 1 ~ 1(х,т) непрерывна на промежутке [а,Ь] и, следовательно, интегрируема по этому промежутку, так что интеграл (1.1) для данной функции У определен для всех х Е У. Доказательство леммы. Зададим произвольно точку хо е У. Пусть б > О таково, что шар В(хо, 2б) содержится в множестве У.
Замкнутый шар Во = В(хо, б) содержится в множестве У. Произведение Во х [а, Ь] представляет собой ограниченное множество в пространстве Гя"+~. Это множество замкнуто и, следовательно, компактно. Согласно условию, функция у(х,~) непрерывна на множестве Во х [а, Ь] и, стало быть, она является равномерно непрерывной на множестве Во х [а,Ь].
390 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Пусть ы есть модуль непрерывности функции 1(х, г) на множестве Во х [а, Ь]. Плн вснкого х Е Во имеем: [Р(х) — Р(хо) [ = [1(х, 1) — Дхо, Ф)) сИ < [1(х, М) — 1(хо, $)[сИ. При х Е Во и й Е [а, Ь1 точки х = (х,Ф) и го = (хо,с) принадлежат множеству Во х [а, Ь~). Имеем: [я — го[ = [х — хо[ и, значит, [У(х,й) — У(хо,Ь)[ < си([х — хо[).
Отсюда получаем, что для всякого х Е Во имеет место неравенство | [,с (х, Ф) — с'(хо, 1) [ сй < (Ь вЂ” а) со([х — хо [) а и, следовательно, для всех х Е У таких, что [х — хо[ < 6, выполняется неравенство: [Г(х) — Р(хо) [ < (Ь вЂ” а)ос([х — хо[). Правая часть этого неравенства стремится к нулю при х — хо.
Отсюда вытекает, что г (хо) — 11вз г (х) ° Тем самым установлено, что функция Р непрерывна в точке хо. Так как точка хо Е сс взята произвольно, то мы получаем, что функция Г непрерывна на множестве У. Лемма доказана. ° ь — (х) = | — (х,~) Ж. дР с д1 дх; / дхс (1.2) ° Лемма 1.2. Пусть У есть открытое множество в К".
Предположим, что функция 1(х, г), определенная на множестве У х [а, Ь), непрерывна и при каждом Ь Е [а, Ь) для любого х Е У имеет частную дУ с дУ производную: — (х, с). Тогда если функция Дс = — (х, $) непрерывдхс дхс на на множестве У х [а, Ь), то функция Р, определенная по 1 равенством дР (1.1), имеет в каждой точке х Е У частную производную — (х). При дхз этом для всех х Е У имеет место равенство: З 1. Поиятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 391 У(хо + Ье;, ь) — у (хо, ь) Ь предел которого и есть частная производная — (х, $). (Здесь, как обыч- дУ дх; но, е;, г = 1,2,...,н, суть векторы канонического базиса пространства Ж".) Применяя теорему Лагранжа о среднем значении (глава 4, следствие 1 теоремы 4.3), получим: У(хо+ Ье,,1) — У(хо,г) дУ вЂ” (хо+ ВЬе;,ь), хь где О < В < 1.
Отсюда: У(хо + Ье;,1) — У(хо,1) дУ (хо, ь) дх; — (хо+ ВЬе;,1) — — (хо,г) < ы(ВЬ) < ю(Ь). дУ дУ дх; дх; (1.3) Положим: ь ф;(х) = | — (х,1) Ж. дУ дх; Имеем: Г(хо + Ье;) — Г(хо) Ь вЂ” фь хо ~ у (хо + Ьеь, г) — У(хо, 1) дУ (хо,1) Ю. ь (1.4) Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно точку хо Е У и найдем б > О такое, что В(хо, 26) С У. Замкнутый шар Во = В(хо, б) содержится в шаре В(хо,26), и, значит, У З Во. Множество Н = Во х [а,б) в пространстве К"+ компактно и содержится в множестве У х [а, б]. Функция у', непрерывна и, следовательно, равномерно непрерывна на множестве Н. Пустьыесть модуль непрерывности функцииу',на множестве Н = Во х [а, Ь).
Пусть Ь Е И таково, что [Ь[ < б и Ь ф О. Рассмотрим отношение: 392 Гл. 8. Интегральное исчисление иа параметризованных кривых в К~ Подынтегральное выражение в правой части (1.4), согласно оценке (1.3), не превосходит м(Ь). Отсюда вытекает, что если ~Ь[ < 6, Ь ф О, то имеет место неравенство: (") — а (х ) <(Ь вЂ” ) (Ь) Ь Правая часть этого неравенства стремится к нулю при Ь вЂ” + О.
Отсюда получаем,что г (хо + Ье;) — г (хо) ~з(хо) = 11п1 7 ь о Ь то есть дг' Ф;(хо) = — (хо). дх, Так как точка хо Е У была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что функция Г имеет частную производную в каждой точке х б У, причем имеет место равенство (1.2). Лемма доказана. ° 1.2. Определение интегРАДА линейнОЙ диФФеРенциАльнОЙ ФОРМЫ ВДОЛЬ КРИВой Параметризованной кривой или путем в пространстве Ж" называется всякое непрерывное отображение х: [а, Ь) — К". Говорят, что параметризованная кривая х: [а, Ь] — К" соединяет точку р Е К" с точкой а Е К", если х(а) = р, а х(Ь) = д.
Параметризованная кривая х: [а,Ь] — й" называется кусочно- гладкой, если вектор-функция х дифференцируема в промежутке [а, Ь] в основном, ее производная х' непрерывна в основном и функция [х'(й)) интегрируема по промежутку [а, Ь]. Будем говорить, что параметризованная кривая х: [а, Ь] — ~ И" лежит в множестве У, если х(1) Е У для всех 4 Е [а, Ь). В этом случае будем также говорить, что кривая х: [а, Ь] — 2" проходит в множестве У или содержится в У. Открытое множество У называется связным, если для любых двух точек р Е У и о Н У существует параметризованная кривая, лежащая в множестве У и соединяющая точки р и а.
Связное открытое множество в пространстве 2 будем также называть областью в пространстве К". Параметризованная кривая х: [а, Ь] — Ж" называется полигональной, если можно указать конечную последовательность Фо,Фг,..., 1 З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 393 1 значений параметра М такую,что $е = а < 1г « . 1„, д < 1„, = д и при каждом г = 1, 2,..., т для Ф Е [1;-г, Ц] имеет место равенство: х;(~) = х(Ц з)+ (Ф вЂ” 1; г)1;, х(Ц) — х(Ц г) где 1; = . Часть параметризованной кривой х, отвечаю~в ~а-~ щая промежутку [г; з, Ф;], есть параметризация отрезка, соединяющего точки х(Ц г) и х(г;).
Наглядно, полигональный путь можно рассматривать как последовательность параметризованных отрезков, последовательно соединяющих гочки А, = х(1;), 1 = О, 1, 2,..., т. Далее будет полезно следующее простое утверждение. ° Лемма 1.3. Пусть х: [а, д] — К" есть параметризованная кривая в пространстве як". Для всякого е > 0 существует кусочно-гладкая параметризованная кривая С: [а, Ь] — К" такая, что С(а) = х(а), С(Ь) = х(Ь), и для любого 8 Е [а, Ь] выполняется неравенство [С (М) — х(Ф) [ < е.
Доказательство. Действительно, пусть дана параметризованная кривая х: [а, Ь] — й". Вектор-функция х непрерывна и, следовательно, она равномерно непрерывна. Зададим произвольно е > О. В силу равномерной непрерывности функции х, найдется 6 > 0 такое, что для любых ~', г~ Е [а,Ь] таких, что ]г' — Ф" [ < б, выполняется неравенство: [х(г ) — х(г )[ < —. 2 Ь вЂ” а Пусть гл Е И таково, что Ь = < 6. т Построим последовательность 1; = а+ гЬ, я = 0,1,...,т, — 1,т, значений параметрами. Возьмем произвольно значением Е [а, Ь]. По нему найдется номер 1 такой, что Ф; г < 1 < 1;. Искомую кусочно-гладкую параметризованную кривую получим, последовательно соединяя отрезками точки х(ге) и х(гг), х(гг) и х(гя) и т.
д., наконец, точки х($ г) и х(1 ) и параметризуя каждый отрезок так, чтобы область изменения параметра для отрезка с концами х(1, г) и х(г;) с о в п а д а л а с промежутком [г; г,Ц]. Формально, функция С(1) может быть определена следующим образом. При каждом я' = 1, 2,..., т для $ Е [Ц м $;] полагаем: 394 Гл. 8. Интегральное исчисление нв параметризованных кривых в К~ где й = гд — Ц д при каждом д = 1,2,...,гп. При 1 = 8д д имеем: Д1) = х(дд д), прид= Ц: Очевидно, функция С, определенная таким образом, непрерывна и в каждом из интервалов (дд д,1д) дифференцируема. При этом ее производная на интервале (дд д, дд) постоянна. Параметризованная кривая С: [а, Ь] — Ж", следовательно, является кусочно-гладкой.
Лля произвольного $ Е [а,Ь] о еним азностдс Ф вЂ” х 1 . Найдем г такое, что 1д д < 1 < Ц. Имеем: ]~(г) — х(д)] < [х(гд д) — х(Ф)[+ [х(йд) — х(дд д)[. Ь Таккакд — Фд д<дд — Фд д=й<б,то [х(гд д) — х(д)] < — и [х(Ц) — х(дд д)] < —. ~д-д Отношение неотрицательно и не превосходит 1. Окончательно заключаем, что Так как точка г Е [а,Ь] была взята произвольно, то тем самым лемма доказана.
° Пусть п Е(х) = ~ Р;(х)ахд есть дифференциальная форма первой степени, определенная в области У пространства К". дифференциальные формы первой степени будем называть также линейными дифференциальньдми формами. Коэффициенты Р;(х) формы Р(х) далее будем всегда предполагать функциями, непрерывными на множестве У. Будем говорить, что форма Р(х) принадлежит классу С', где г > 1, если ее коэффициенты Р;(х) представляют собой функции класса С". 395 З 1.
Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль крнвон Для всякой кусочно-гладкой кривой, лежащей в множестве У, может быть определено число, которое называется иитеералом ди44еренциальной формы Р вдоль данного пути. Пусть х: [а, Ь] — ~ К" есть кусочно-гладкий путь, лежащий в области У. Для Ф Е [а, Ь] положим: и(Ф) = ~~~ Р;[х($)]х;(Ф). с=1 Функция и определена в промежутке [а, Ь] лишь в основном, то есть область определения и есть множество, получаемое из промежутка [а, Ь] исключением точек, образующих не более чем счетное множество. Функции Р;[х(й)] непрерывны и, значит, согласно теореме Вейерштрасса (теорема 5.2 главы 2), ограничены. Согласно определению кусочно-гладкой функции, каждая из функций х';(Ф) непрерывна в основном в промежутке [а, Ь]. Отсюда следует, что функция Р; [х(г)]х[(1) непрерывна в основном.
Функция Гз [х(Ф)] является ограниченной, [Г,[х(г)][ < М; = сопзь < оо. Отсюда вытекает, что ]Р'[Ф)]х[И)] < М*[ 'И)] Так как, согласно определению кусочно-гладкого пути, функция [х'($)[ интегрируема по промежутку [а,Ь], то, применяя критерий интеерируемости ~уикции, доказанный в главе 5 (теорема 3.2), получим, что каждая из функций Е,[х(1)]х;(ь) интегрируема по промежутку [а, Ь]. Отсюда следует, что их с у м м а также интегрируема по этому промежутку и, значит, определено число: которое называется иитеералом ди4ференциальиои формы Е вдоль пути х.
Для обозначения этого интеграла далее используется одно из следующих выражений: ь | .~ г'~ ьм ~'> /ю (оььв з=1 а я 396 Гл. 8. Интегральное исчисление иа параметризованных кривых в 2~ а Предложение 2.1. Если дифференциальная форма Е является 1 дифференциалом некоторой функции ~ класса С, определенной на множестве У, Е = ф, то для всякого кусочно-гладкого пути х: )а, Ь) — + К", лежащего в множестве У, имеет место равенство: г )х(М), сЬ(г)) = ~(х(Ь)] — Дх(а)). а Доказательство. Рассмотрим функцию у(й) = ~[х(~)].
Функция х непрерывна и для всякого Ф Е )и, Ь], для которого вектор-функция х имеет производную, функция р также имеет производную. При атом: д (й Согласно определению кусочно-гладкого пути, вектор-функпия х дифференцируема в промежутке )а, Ь] в основном, и, стало быть, множество тех х Е (а, Ь], для которых последнее равенство не выполняется, не более чем счетно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
