1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда множество Е совпадает со всем промежутком [а, Ь]. Дохвзательство. Пусть множество Е С [а,Ь] удовлетворяет всем условиям леммы. Допустим, что нашлась точка т Е [а, Ь], не принадлежащая Е. В силу условия 1), а Е Е. Так как, по предположению, т ф Е, то т ~ а и, значит, т > а. Положим: Е' = .Е П [а, т]. Тогда Е' ф И, ввиду того, что точка а принадлежит множеству Е'.
Пусть Л = зпрЕ'. Построим последовательность (х )„ен точек множества Е' следующим образом. Пусть хг есть точка множества Е' такая, что Л вЂ” 1 < хз < Л. З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 409 Предположим, что для некоторого и Е И точка х Е Е' определена.
Если х = Л, то полагаем х +1 = Л. Если же х < Л, то в качестве х,+1 выбираем произвольный элемент х множества Е' такой, что 1 Л— <х и+1 и одновременно х < х. По индукции последовательность (х„) ен, таким образом, определена. При каждом и, как следует из определения х„.~ы имеет место неравенство: х < х ь1 и, значит, построенная последовательность (х,) еп является возрастающей. При каждом и имеем также: Л- — <х.<Л, 1 Р откуда следует, что Л= 1цпх,.
ю оо В силу условия 2), отсюда вытекает, что Л Е Е. Так как т есть верхняя граница множества Е', то Л < т. Так как т ф Е, то Л ф т и, значит, Л < т. Положим б = т — Л. В силу условия 3), найдется х' Е Е такое, что Л < х' < Л+ б = т. Так как х' Е Е и х' < т, то х' Е Е' и, стало быть, х' < Л. Мы получаем, таким образом и р о т и в о р е ч и е: с одной стороны, должно выполняться неравенство х' ) Л, а с другой стороны, имеем: х' < Л. Итак, допустив, что существует точка т Е [а, Ь], не принадлежащая множеству Е, мы приходим к противоречию. Стало быть, такое т н е с у щ е с т в у е т, то есть всякая точка 1 Е [а,Ь] принадлежит множеству Е. Лемма доказана. м Опишем некоторое отношение между параметризованными кривыми в области пространства К", называемое гомотопией.
Пусть х: [а, Ь] — ~ К" и у: [а, Ь] — ~ К" — две произвольные параметризованные кривые в пространстве К", лежащие в области У пространства К" и соединяющие точку р Е У с точкой д Е У. Будем говорить, что кривая х еомотопна кривой у в области У, если существует непрерывная функция я(1, Л) переменных й Е [а, Ь] и Л Е [О, 1] такая, что для для любых (М, Л) Е Р = [а, д] х [О, 1] точка г(й, Л) принадлежит множеству У; х(а, Л) = р, н(Ь, Л) = д для всех Л Е [0,1] и г(г,0) = х(1), г(Х, 1) = уЯ для любого 1 Е [а, Ь].
410 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Непрерывное отображение я прямоугольника Р = [а, Ь] х [О, Ц С К~ в К", удовлетворяющее всем этим условиям, будем называть гомотопией в области У параметризованных кривых хЯ и у($), соединяющих точку р Е У с точкой о Я У. Нагл ный смысл вв енного понятия таков. Параметризованные кривые х: [а, Ь] — К" и у: [а, Ь] — К", соедиыяющие точку р Е У с точкой о Е У, г о м о т о и н ы в области У, если кривую х(1) можно непрерывно деформировать в кривую у(1) таким образом, что начало и конец па амет изованной к ивой в и о ессе е о м и ос- таются неизменными а к иван и и этом не выхо ит из области У.
Область У в пространстве К" называется односвязной, если для всякой пары точек р, д области У любые две параметризованные кривые х: [а, Ь] — К" и у: [а, Ь] — К", лежащие в области У и соединяющие точку р с точкой о, — еомотопны. Пример. Открытый шар В(с, г) в пространстве К" является односвяэной областью в К". Пействительно, возьмем произвольно точки р, о Е В(с, г). Пусть х: [а, Ь] — К" и у: [а, Ь] — К" — две произвольные параметризованные кривые, проходящие в шаре В(с, т) и соединяющие точку р с точкой о.
Пля произвольных 1 е [а, Ь] и Л е [О, Ц полагаем: я(Х, Л) = (1 — Л)х(Х) + Лу(Х). Предоставляем читателю проверить, что определенная таким образом функция % [а, Ь] х [О, Ц -~ К" есть г о м о т о и и я параметризованных кривых х и у в области У = В(с, г). Аналогичным образом устанавливается, что открытый куб и, вообще, любой и-мерный иытервал в К" являются односвязными областями. Пример неодносвязной области: рассмотрим область У, описанную в и. 1.3.2. Именно, — пусть У есть множество, получаемое исключением из пространства К" точек надпространства №, определенного системой уравыеыий: хз = О, хз = О, У = К" ~ №. Используя свойства данной области У, установленные в и.
1.3.2, и применяя результат теоремы 1.2, доказываемой ниже, можно показать, что эта область неодносвязна. ° Лемма 1.6. Пусть У есть область в пространстве К" и Р(х) есть замкнутая диффереыциальыая форма первой степени, определенная в области У, причем коэффициенты формы Р(х) суть непрерывные на множестве У Функции. Пусть р и о — две произвольные точки области У, а х: [а, Ь] — К" — кусочно-гладкая параметризованная кривая, лежащая в области У, причем х(а) = р, а х(Ь) = д.
Предположим, что г > 0 таково, что для всякого 1 Е [а, Ь] шар В[х($), г] содержится в области У. З 1. Понятие интеграла дифференциальной фор д р мы в ель к ивой 411 Если кусочно-гладкая параметризованная кривая у: [а, Ь] — и'" удовлетворяет условиям: у(а) = р, у(Ь) = д д Ь) = и для всех Ф Е [а,Ь] вьтолняется неравенство ]х(г) — у(Ф) [ < т, то ь ь | Р[х(г), ах(г)] = У[у(г), ау($)]. (1.11) Доказательство.
Пусть р, а — произвольные точки области У, , ] К": [ Ь] К" кусочно-гладкие пути, лежащие в области У и такие что х(а) = у(а) = р, х(Ь) = у(Ь) = д, для всякого 1 Е [а, Ь] шар ! В[х(г), т] содержится в У и выполняется неравенство: [х(г) — у(г)] < т. Для произвольного и Е [а, д] положим: я Х(и) = Р[х(ь), гьх(ь)], У(и) = Г[у(ь), ау(ь)]. а а 1 г В(и) = Р[~„(Л),с„(Л)] гКЛ = Р[х(и) + Ля(и), я(и)] дЛ. о о П о к а ж е м, что для всякого и Е [а, Ь] имеет место равенство: (1.12) У(и) = Х(и) + гь(и). Обозначим символом .Š— множество всех и Е [а, д], для которых (1.12) верно.
Очевидно, а Е Е, так как Х(а) = ( ) = ( ) = Имеем: я~ )=~ /е~ ( )+м( з*,~ )шл. 1=1 Л е в а я часть равенства (1.11) равна Х(Ь), а и р а в а я равна У(Ь). Требуется доказать, что Х(д) = У(Ь). Пусть ~„(Л) = (1 — Л)х(и) + Лу(и), где О < Л < 1. Интеграл от дифференциальной формы Р вдоль пути 4 обозначим символом: В(и). Введем обозначение: у(и) — х(и) = я(и). Имеем: с„'(Л) = я(и) для всех Л Е [О, 1]. Согласно определению, имеем: 412 Гл. 8.
Интегральное исчисление ва параметризованных кривых в К~ Так как функции х, е и Р; непрерывны, то при каждом 1 = 1, 2,...,п функция Г;[х(и) + Ле(и)]е;(и) переменных (й, Л) Е [а, Ь] х [О, Ц вЂ” непрерывна. В силу леммы 1.1, отсюда следует, что функция 1 К;(и) = К[х(и) + Ле(и)]е;(и) аЛ о непрерывна в промежутке [а, Ь].
Отсюда вытекает, что функция В непрерывна в [а, Ь]. Функции Х и У также непрерывны. Предположим, что для и Е [а, Ь] существует последовательность (и,)„ен точек множества Е такая, что и= Вти,. сю При каждом и имеем: У (и ) = Х(и„) + В(и„). В силу непрерывности функций Х, У и В, отсюда получаем, что У(и) = Х(и) + В(и), так что условие 2) принципа континуальной индукции, очевидно, в ыполняется. П о к а ж е м, что условие 3) также выполнено. Пусть точка и Е [а, Ь] принадлежит множеству Е. Будем считать, что и < Ь.
Положим и = х(и). Функция ]е(и)) непрерывна и, значит, по теореме Вейерштрасса о непрерывнььх функциях на огпрезке (см. главу 2), принимает в промежутке [а, Ь) наибольшее значение. Пусть р = тах,еу, И е(г). Так как ]е(т)] < г для всех й Е [а, Ь), то р < т. Положим е = г — р. В силу непрерывности х, найдется 6 > 0 такое, что если ]$ — и] < Ь, то )х(й) — х(и)] < е. Пля всякого такого г имеем: ]у(Г) — х(и) [ < ]у(1) — х(1) ) + )х(1) — х(и) [ < р + е < г.
Мы получаем, таким образом, что если ]г — и) < 6, то точки х(г) и у(г) принадлежат шару В(ш, г) С У. З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 413 Шар В(цс, г) представляет собой множество, звездное относительно его центра и» = х(и). Отсюда следует, что найдется вещественнвл функция 1 класса С~, определеннал в этом шаре, такал, что ее дифференциал совпадает с формой Е. Пусть Ф Е [а, Ь] таково, что и < 1 < н + б. Имеем: с с У(с) = 1'(и) + У[у(сс), ссу(сг)], Х(с) = Х(и) + Р[х(сс), сСх(сс)].
Часть пути у, соответствующая значениям параметра из промежутка [сс, 1], лежит в шаре В(цс, г). В этом шаре лежит также и часть пути х, соответствующая тому же промежутку [и, $]. Отсюда следует, что с Х(Ф) — Х(сс) = г [х(сс),сХх(л)] = 1[х(с)] — 1[х(сс)], с 1 (1) — 1 (сс) = й'Ыл) Ар(л)] = ИЬИН вЂ” У[Фи)]. и Параметризованные кривые Л Е [О,Ц х(и) + Ля(н) и Л Е [0,1] ~-» х(Ф)+ Ля(й) целиком лежат в шаре В(нс,г) (см.
рис. 1). уса» х(а,с с'ссн 1 414 Гл. 8. Интегральное исчисление ва параметризованных кривых в К" Величина В(и) есть интеграл от формы г (х) вдоль первой из зтих параметризованных кривых, В(г) есть интеграл от втой формы вдоль второй параметризованной кривой. Отсюда вытекает, что В(и) = ~[у(и)] — ~[х(и)], В($) = ~[у(Ф)] — Дх(й)]. Палее имеем: [У(1) — У(и)] — [Х(й) — Х(и)] = (У[у(й)] — Ду(и)]) — (У[х(1)] — ~[х(и)]) = = (Ц[у(й)] — ~[х(й)]) — ~Ду(и)] — Х[х(и)]) = В(й) — В(и). Отсюда У(г) — Х(г) — В(г) = У(и) — Х(и) — В(и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
