1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Далее полагаем Ях) = Яб), где с: [а, Ь] — ~ й~ есть параметризованный путь в К~, удовлетворяющий указанным выше условиям. ° Ламма 2.1. Пусть х: [а,Ь] — Кз и у: [а,Ь] — К~ суть произвольные замкнутые параметризованные кривые, лежащие в области У = К~ ~ (0) плоскости Ж~. Тогда если кривые х и у в области У гомотопны, то 1(х) = 3(У). Доказательство. Пусть я(г,Л), а < ~ < Ь, 0 < Л < 1, есть гомотопия путей х и у. Пусть Р = [а, Ь] х [О, 1]. Множество я(Р) компактно и содержится в области Кз '1 (О). Величина г = ппп [я] положительна.
«Ея(Р) Зададим произвольно е такое, что 0 < е < т, и найдем кусочно- гладкие параметризованные кривые С: [а,Ь] -~ К и и: [а,Ь] — К~ такие, что Ца) = х(а) = х(Ь) = б(Ь) и О(а) = у(а) = у(Ь) = ц(Ь), и для всех $ Е [а, Ь] выполняются неравенства: [с(г) — х(г)] < е и ]0($) — у(г) ~ < е. Полагаем: Дй, Л) = (1 — Л)[с(г) — х(й)] + Л[п(й) — у(й)] + я(й, Л). Имеем: 420 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в ж" и, значит, для любых $, Л будет: ДФ,Л) Е У =И ~(0). Далее, ~(й, 0) = С(й) — х(Ь)+«(М,О) = С(й) и Цй,1) = ОЯ вЂ” у(й)+ «(М,1) = =п(й). Наконец, заметим, что Да, Л) = х(а) = у(а) и ЦЬ, Л) =х(Ь) = у(Ь). Таким образом, ~ есть г о м о т о п и я путей ( и и в области П = мз '1 (0).
Применяя следствие леммы 1.6 к замкнутой форме ы, получим, что Яс) = Яч) Если с достаточно мало, то 1(() = Ях), а 1(Ч) = У(у). Следовательно, Ях) = т'(У). Лемма доказана. ° ° Лемма 2.2. Пусть у': В(0, т) — К~ есть непрерывное отображение замкнутого круга Х, = В(0, т) в плоскость и х($) = (тсоз1,теша), 0 < ~ < 2т, есть параметризация его граничной окружности Г,. Пусть у(Ф) = У[х(1)], 0 < Ф < 2т. Тогда если точка 0 не принадлежит множеству ~(К„), то величина 1(у) равна нулю.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Для произвольного Л Е [О, 1] положим: «(й, Л) = (т(1 — Л) + тЛ соз й, тЛ зш й). Имеем: «(й,1) = (т соей,теша), «(Х,О) = (т, 0). Для всех М Е [0,2я] при любом Л Е [О, Ц точка «(й, Л) лежит в круге Х. Это следует из того, что «(й, Л) есть точка отрезка, соединяющего точку х(Ь) Е Г, с точкой х(0) = х(2т) = (т, 0) Е Г . Положим ДФ, Л) = т'[«(й, Л)].
Функция ~, как видно из ее определения, есть гомотопия параметризованной кривой у: [0,2я] — м~ и тождественно постоянного отображения и: [О, 2н] ~-+ р = у(0) = у(2я). Для любых Ь Е [0,2т] и Л Е [0,1] точка ~($, Л) принадлежит множеству .т" (К,). По условию, множество 1(К,) не содержит точку О, и, значит, ~ есть гомотопия кривой у в кривую и = сопзФ в области К~ Л (0). На основании леммы 2.1 отсюда вытекает, что 1'(у) = Яю). Так как, очевидно, Яи~) = О, то, значит, также и Яу) = О.
Лемма доказана. ° З 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой 421 Здесь нам понадобится некоторое важное понятие, касающееся множеств в произвольных метрических пространствах. Пусть даны метрические пространства Мг и Мз. Говорят, что множество А С Мг г о м е о м о р ф н о множеству В С Мг, если существует отображение ~: А — ~ Мз такое, что выполнены следующие условия: 1. 1(А) = В. 2. Отображение У взаимно однозначно. 3. Каждое из отображений 1 и ~ ' непрерывно. Если эти условия выполнены, то говорят также, что у есть г ом е о м о р ф из м множеств А и В. В этом случае обратное отображение ~ также представляет собой гомеоморфизм множеств А н В. В качестве п р и л о ж е н и я леммы 2.2 докажем следующую теорему. ° Теорема 2.1 (теорема Брауэра о неподвижной точке для двумерного случая).
Пусть С есть множество в произвольном метрическом пространстве, гомеоморфное замкнутому кругу К = В(0, 1) на плоскости К~. Тогда для всякого непрерывного отображения ~ множества С в себя существует, по крайней мере, одна точка х Е С такая, что Дх) = х. 3 а м е ч а н и е. Лля произвольного отображения г значение х, такое, что У(х) = х, называется неподвижной гпочной отображения ~. Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим случай, когда множество С есть круг К = В(0,1). Общий случай сводится к этому, как будет показано в конце доказательства.
Пусть дано непрерывное отображение ~: К вЂ” К. Предположим, что искомая точка х Е К не существует, то есть для всякого х Е К точка г(х) не совпадает с точкой х, х ф г'(х), для всех х Е К. Построим по у некоторое другое непрерывное отображение д: К -+ К.
Геомет ически оно описывается сл ю м об азом (см. рис. 2). Для всякого х Е К из точки ~(х) испускается луч, проходящий через точку х. Символом д(х) обозначим т о ч к у п е р е с е ч е н и я этого луча с окружностью Г, отличную от точки ~(х). (Точка 1(х) может оказаться лежащей на окружности Г, и в этом случае указанный луч пересекает указанную окружность в двух точках, одна из которых есть у(х), а другая есть д(х).) 422 Гл.
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых и Гк~ Если х Е Г, то из определения точки д(х) следует, что д(х) = х. П о к а ж е м, что отображение д непрерывно. Для этой дели найдем явное выражение для д(х) через х и г(х). (Это требует выполнения некоторых вычислений, совершенно элементарных по существу, хотя и несколько громоздких.) Луч, начало которого есть точка у = 1(х) и который проходит через точку х, есть совокупность всех точек я($) = у+ г(х — у], где $ > О. Условие я(1) Е Г приводит к уравнению: ]х(1)] = 1. Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим: )г(М)] = ]у) + 21(у,х — у) + й~]х — у]~ = 1.
(2.2) Имеем: д(х) = я(Ф) = г" (х)+г[х — г (х)], где й есть решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условию ~ > О. По условию, у = 1(х) Е К, откуда следует, что ~у]~ ( 1. Квадратное уравнение (2.2) имеет два решения: ]х — у]з Полагаем: (у х у)+ (2.3) Имеем: (1 — ]у]~]]х — у)~ > О, откуда вытекает, что и, следовательно, 1 > О. 'З 2.
Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой Если [у[ = [У(я)[ = 1, то один из корней уравнения (2.2) равен нулю. Легко проверяется, что в этом случае значение ~, которое дается формулой (2.3), будет не меньше 1 и, значит, точка я(1) Е Г и в этом случае отлична от точки 1(х). Таким образом, значение 8, соответствующее точке пе есечения с ок жностью Г л ча исходящего из точки у = У(я) и проходящего через точку к, дается равенством (2.3).
Функция 8 = 1(я, у) переменных к, д Е К, заданная равенством (2.3), определена и непрерывна на множестве Н всех пар точек (я, д) таких, что х Е ж~, д Е Ж~ и к ф у. Отсюда следует, что $[х,у(х)] есть непрерывная функция в круге К. В силу теорем об операциях над непрерывными функциями, доказанных в главе б, это позволяет заключить, что функция д(т) = 1(я) + 1[х, 1(т)[[я — 1(я)[ является непрерывной. Мы получаем, таким образом, следующую ситуацию. Построено непрерывное отображение д круга К = В(0, 1) в окружность Г = Я(0, 1), при котором каждая точка окружности Г переходит в себя. Нагля но это можно ставить так. Пленка из растяжимого материала, натянутая на окружность Г, посредством отображения д «стягивается» непрерывным образом на эту окружность.
При этом все точки самой окружности остаются на своих местах. Инт итивно ясно что этого не может быть. Понятие ин екса точки относительно замки того п ти позволяет ев атить наши унт итивные по оз ния в точное оказательство. Пусть х(1) = (тсоз1,г з1п$),0 < $ < 2я, есть параметризация окружности Г. Положим д(1) = д[я(г)[. Множество д(К) не содержит точку 0 и, значит, согласно лемме 2.5, Яд) = О.
Но, как следует из построения, у(г) = и(г) и, значит, з(и) = Яу) = О. Непосредственное вычисление показывает, однако, что Ях) = — ~ ы[к(1), йх(1)) = 1 ф О. 1 1 о Таким образом, мы получаем и р о т и в о р е ч и е. Итак, допустив, что рассматриваемое отображение У не имеет неподвижных точек, мы приходим к противоречию. Значит имеет непо нужные точки.
424 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Рассмот им о б и й с л ч а й ког а С есть п оизвольное мно- жество гомеомо нее к г . Пусть дано произвольное непрерывное отображение 1 множества С в себя. Требуется доказать,что найдется х Е С такое,что у(х) = х. Пусть ~р: С вЂ” ~ К есть гомеоморфизм множества С и круга К. Отображение у взаимно однозначно,~р(С) = К. Отображения ~р и х непрерывны. Положим 7 = ~р о 1 о~р ~.
Тогда 7 является непрерывным отображением круга К в себя и, значит, по доказанному, оно имеет неподвижную точку. Это означает, что найдется с Е К такое, что с = у(с), то есть у(~[у ~(с)]) = с. Отсюда заключаем, что ~[~р ~(с)] = х ~(с). Точка х = ~р '(с) принадлежит множеству С. Мы получаем, что имеет место равенство: х = Дх), то есть х есть неподвижная точка отображения у. Таким образом, установлено существование неподвижной точки х у всякого непрерывного отображения ~ множества С в себя для случая, когда С есть произвольное множество, гомеоморфное кругу К.
Теорема доказана. ° 2.2. ОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ Приведем доказательство теоремы, которую часто называют осноенон теоремой алгебры, использующее понятие индекса точки относительно замкнутого пути. м Хаорема 3.3. Всякий алгебраический полипом степени и > 1 имеет, по крайней мере, один комплексный корень. Доказательство. Пусть дан полипом Р(г) = г" + с1я" + + с„ге+ с„. Для г > 0 пусть К, есть замкнутый круг В(О, г) и ~,(Ф) = г(соз 1+з зш г), 0 < г < 2я, есть параметризация его граничной окружности Г„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
