1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Ллииа параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 439 Для того чтобы ~ была функцией ограниченной вариации, необходимо и достаточно, чтобы каждая из вещественных функций ~;, з = 1, 2,..., т, компонент вектор-функции у, была функцией ограниченной вариации. Доказательство. Н е о б х од и м о с т ь. Пусть г': [а,Ь] — К есть функция ограниченной вариации. Пусть е*: К вЂ” К есть линейная функция, которая вектору у Е К сопоставляет его з-ю компоненту. Имеем: Я~) = е'[1(~)]. Из теоремы 3.4 немедленно следует, что у; есть функция ограниченной вариации.
Необходимость условия следствия установлена. Докажем достаточность. Пусть вектор-функция ~: [а,д] — + К™ такова, что ее компоненты ~,, г = 1, 2,..., т, суть вещественные функции ограниченной вариации. Пусть векторы е;, г = 1, 2,..., т, образуют канонический базис пространства К Отображение 4 Е К ~ йе, — линейно. Отсюда, согласно теореме 3.4, вытекает, что вектор-функция 1 Я$)е; Е К при каждом г = 1, 2,...,гп является функцией оераниченной вариаиии. Имеем: В силу теоремы 3.3, отсюда вытекает, что ~ есть функция ограниченной вариации. Следствие доказано. ° Теорема 3.5. Пусть вектор-функция х: [а, Ь] а К непрерывна и дифференцвруема в основном в промежутке [а, Ь].
Тогда если функция 4 ~-+ ~х (4)[ ивтегрируема по промежутку [а, Ь], то параметризовавная кривая х($) спрямляема и ее длина равна интегралу: Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Для всякого промежутка [гг, $г] С [а, Ь], где $г < $з, имеем: са са ]х(гз) — х(11)] = х (г) б4 < ]х (г)] Й4.
и сс 440 Гл. 8. Интегральное исчисление нв параметризованных кривых в К Отсюда следует, что для всякой цепочки сг = (1о, ~1,..., 1ь) точек промежутка [а, Ь] имеет место неравенство: ь )с о< (, )=1 ( (о) — (1 )(<1 / ( '(О(в=/ ( '(О(с< (сос) Се 1 1с. с с о Таким образом, для всякой цепочки а = 1яо, $1,..., 11) точек промежутка [о, Ь] имеет место неравенство (3.12).
Отсюда следует, что для любого промежутка [р, д] С [а, Ь] величина 1/~ х конечна, причем имеет Р место оценка: ч Я ')/ * < / ( '(о( я< р р (3.13) со ]х(й) — х(йо)[ и (Мо) — о (С) 1 ) / [1 — Мо[ Йо — Й ~о — Ф у с (3.14) Если ~ > Фо, то справедливы неравенства: [х(~) — х(/е) [ пя(~) — с),(~о) 1 1/ [1 — ~о] ~ — ~о ~ — Йо со (3.15) Неравенство (3.13) позволяет заключить, что при й < 1о будет: со с о ')/ </ ( 'о)(а=я(ь) — яо). с Таким образом, если Ф < 1о, то ]х(Ф) — х(Фо)] о*(1о) — о*(Ф) < Я(~о) — БЯ [~ — Йо[ — ~е — Ф (3.16) В частности, получаем,что данная кривая х спрямляема. Положим о (я) = )/ х при а < 1 < Ь и о,(а) = О. Согласно теореме 3.2, функция и непрерывна.
Пусть Я есть первообразная функции 1 )-( [х'(М)]. Предположим, что точка Фо б [а, Ь] такова, что функции х и Я дифференцируемы в этой точке, причем Я'(Фо) = [х'(Фо)[. Множество точек 1е, которые не удовлетворяют этим условиям, не более чем счетно. Для всякого 1 ф Фо при Ф < Фо имеем неравенства: з 3. Ллииа параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 441 В случае 8 > 8е, применяя аналогичным образом неравенства (3.13) и (3.15), получим: [х(г) — х(го)! < и, (г) — п~(ге) < Б(г) — Б(1е) [г — го! ~ — ~о й — 1о Девая и правая части неравенств (3.16) и (3.17) при ь' — йе стремятся к одному и тому же пределу, равному [х (ге)!. Отсюда следует, что и является первообразной функции [х'(й)!. В частности, мы получаем, что ь и (Ь) = п,(Ь) — и (а) = [х (ь)! Ж.
Теорема доказана. И 3 а м е ч а н и е 1. Теорема 3.5 сформулирована и доказана для кривых в пространстве К". Теорема верна и в о б щ е й ситуации, когда х есть вектор-функция со значениями в произвольном банаховом пространстве. Единственный факт из интегрального исчисления вектор-функций, который существенно здесь используется, — это следующая опенка: ь ь У(г)1~ < [[У(~)[! й, (3.18) где вектор-функция 7': [а, Ь! — ".ь со значениями в банаховом пространстве Х такова, что сама функция Д(г) и вещественная функция [[у(г)!! интегрируемы по промежутку [а, Ь!. Это неравенство для интегралов в е р н о и в случае, когда Х есть произвольное банахово пространство, но его оказательство в аннам сл чае оказывается с ественно более сложным. Простейший путь к получению оценки вида (3.18) в общем случае основан на использовании теоремьь Хана — Баиаха, которая, однако, не может быть здесь доказана, так как это потребовало бы более детального исследования свойств банаховых пространств, что выходит за пределы данной книги.
3 а м е ч а н и е 2. Из теоремы 3.5, в частности, следует, что определение понятия длины кривой, данное в з 8 главы 5 для кусочно- гладких кривых, эквивалентно тому, которое приводится здесь. Рассмотрим функцию отрезка Л (ьь), полагая Л (Ь) = [х(~3) — х(сь)! для 442 Гл. 8. Интегральное исчисление иа параметризованных кривых в К" Ь = [а,~3].
Аддитивная функция отрезка в промежутке [а, Ь], согласно З 8 главы 5, называется длиной дуги, если она непрерывна и ее плотность совпадает в основном в промежутке [а, Ь] с плотностью функции отрезка А . Из теоремы 3.5 очевидным образом следует, что для всякой кусочно-гладкой кривой х: [а, Ь] — + И" этим условиям удовлетворяет функция отрезка 1, определенная условием: ЦЬ) = 1/ для Ь = [а„д]. 3.3. ИнтегРАл СтилтьесА. ОЛРеделение интегРАлА диФФеРен иАльнОЙ ФОРмы пеРВОЙ степени пО СПРЯМЛЯЕМОИ КРИВОИ Пусть дан промежуток [а, Ь] С К. Будем говорить,что задано разбиение промежутка [а,Ь], если указана конечная последовательность ~ = 1гв,11,...1 ) точек промежутка [а, Ь] такая, что 1в = а, 1 = Ь и 1, 1 < Ц при каждом 1 = 1, 2,..., т.
Точки Ц называются узлами разбиения (. В и. 7.2 главы 5 было определено понятие пунктированного разбиения отрезка. Напомним, что пуннтированным разбиением промежутка [а,Ь] называется пара ( конечных последовательностей 1гв,11,...,1 и 1г1,1з,...,1 ) точек промежутка [а,Ь] такая, что Ьр = а, 1 = Ь и г; г < Ц, а1; з < 1; < 1; при каждому = 1,2,...,т.
Точки 1, называются узлами пуннтированного разбиении (, а числа Ц вЂ” его отмеченными точками. Пусть С есть пунктированное разбиение отрезка [а, Ь], Фв = а < < 11 « $ 1 < Ф = Ь вЂ” узлы этого разбиения. Наибольшая из длин частичных отрезков [Ц ы Ц], на которые промежуток [а, Ь] разбивается точками Ц, обозначается [[Ц. Согласно определению, имеем: Пусть даны функции 1: [а, Ь] — + К" и д: [а, Ь] — ~ И". Выберем произвольно пунктированное разбиение ~ промежутка [а, Ь]. Пусть |в, Фг,...1 1, Ф суть узлы разбиения (, Ц, 1 = 1, 2,..., т,— его отмеченные точки. Величина называется суммой Римана — Стилтьеса для функций ~ и д. з 3. длина параметризованной кривой.
Поиятие интеграла Стилтьеса 443 Сопоставляя произвольному пунктированному разбиению с промежутка [а, Ь[ величину Щ[, мы получим некоторую функцию на совокупности всех пунктированных разбиений промежутка [а, Ь]. Ее точная нижняя граница, очевидно, равна нулю. По этой причине можно говорить о пределе относительно оценочной функции С д-+ Щ[.
Предел Ипд Е®у,д), Иь о если таковой существует и конечен, называется инцдеграяом Сцдцлтьеса функции д относительно функции д и обозначается символом: ь | (У(') Ф(х)). а Данным определением допускается случай дд = 1, то есть случай, когда У и д суть вещественные функции. Для дд = 1 скалярное произведение превращается в обычное произведение. В соответствии с этим,— в случае, когда у и д суть вещественные функции, — интеграл Стилтьеса функции у относительно функции д представляется выражением: | ь у(х)дд(х).
в Отметим некото ые с в о й с т в а интег ала Стилтьеса непос ственно вытекаю е из о е еления. Ф Предложение 8.2. Если функции уд. [а,д[ — + К" и 5: [а,Ь) — ~ К" интегрируемы относительно функции д: [а, Ь[ — Ж", то для любых Л, ц Е ьд также и функция Л дд + р~з интегрируема относительно д и имеет место равенство: ь ь ь | (Луд(х) + р~з(х), ддд(х)) = Л (уд(х), ддд(х)) + р (,6(х), сдд(х)). Действительно, для всякого пунктированного разбиения С промежутка [а, Ь[, как очевидно, выполняется равенство: Е(с, Луд + р,6, д) = Л Е(с, уд, д) + р Е(с, уз, д).
444 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в эь~ В силу теорем об операциях над пределами, доказанных в З 4 главы 6, отсюда следует справедливость данного предложения. а Ф Предложение 3.3. Если вектор-функция ~: [а, Ь] — ~ ж" тождественно постоянна на промежутке [а, Ь], У($) — = 1з Е К", то интеграл Стилтьеса функции У относительно функции д существует, какова бы ни была функция д. При этом справедливо равенство: | ь (У(х), дд(т)) = (1ь, д(Ь) — д(а)).
а (3.19) Лействительно, если 1(т) = и для всех и Е [а, Ь], то для всякого пунктированного разбиения с промежутка [а, Ь] имеет место равенство: ПЪ пв Е(К,У,д) = ~~ь Ь,д(~ь) -д(~ь,) = Ь,'~'[д(ц) — д(~ь,)! о=1 ь=1 Как очевидно, т ,') [д(ьь) — д(ьь 1)] = д(Ь) — д(а). Следовательно, для всякого пунктированного разбиения с промежутка [а,Ь] справедливо соотношение: Е(~,~,д) = (1з,д(Ь) — д(а)). Отсюда следует, что (Ь, д(Ь) — д(а)) = Бш Е(с, ~, д). ~щ- о Стало быть, в данном случае интеграл функции ~ относительно д существует, причем имеет место равенство (3.19).
Предложение доказано. Ф ф Предложение 3.4. Пусть функция У: [а, Ь] — К" интегрируема в смысле Стилтьеса относительно функции д: [а, Ь] — К" по промежутку [а,Ь]. Тогда для всякого с такого, что а < с < Ь, функция ~ З 3. Блина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стннтьеса 445 интегрируема в смысле Стилтьеса по каждому из промежутков [а, с] и [с, Ь], причем имеет место равенство: ь С ь | (У(~) Ф(г)) = (УИ) ФИ)) + (УИ),ФИ)). Доказательство. Пусть вектор-фуикпии Х и д таковы, что Х интегрируема в смысле Стилтьеса относительно д по промежутку [о, Ь]. Положим ь Х = (П~) 4дР)).
а Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6 > О такое, что для всякого пунктированиого разбиения ~ промежутка [а, Ь] такого, что ]]Ц < 6, выполняется неравенство: ][ЕЫ,У,д) — 4] <е =- Фиксируем произвольное разбиение ц с пуиктироваипыми точками промежутка [с,Ь], удовлетворяющее условию: ][и[] < 6. Пусть сг и сг с ть разбиения с пуиктироваппыми точками промежутка [а,с] такие, что Ц1~] < 6 и Цг~] < 6. РазбиениЯ Сд и О вместе обРазУют иекотоРо г е разбиение (1 с пунктированными точками промежутка [а, Ь] такое, что ]ф]] < 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
