1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 78
Текст из файла (страница 78)
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Совокупность М всех классов эквивалентности С1 [х) элементов множества А обозначается символом А/а и называется фантормножеством множества А по отношению эквивалентности гг. Говорят, что множество М получено факторизацией множества А по отношению эквивалентности а, М = А/а. Факторизация множества по некоторому отношению эквивалентности есть способ пост оения новых множеств из же имею ихся, часто встречающийся в различных разделах математики. Наглядный смысл факторизации состоит в том, что мы как бы пе естаем азличать эквивалентные элементы множества А и начинаем ассмат ивать их как ставляю е собой один и тот же математический объект.
4.2. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Зададим произвольно метрическое пространство М с метрикой р. Кривая в метрическом пространстве определяется как класс эквивалентных параметризованных кривых или, как мы будем говорить, путей в этом пространстве. Из соображений простоты, определим понятие эквивалентности только для параметризованных кривых, удовлетворяющих некоторому дополнительному условию. Пусть дано произвольное метрическое пространство М с метрикой р.
Параметризованной кривой или путем в пространстве М называется всякое непрерывное отображение х: [а, Ь] — М. Кривая есть геометрический объект, который определяется заданием параметризованной кривой. Понятие кривой может рассматриваться как математическое понятие, уточняющее наглядные представления о линии на плоскости или в пространстве. Понятие кривой определяется посредством понятия параметризованной кривой введением соглашения, устанавливающего, в каких случаях две параметризованные кривые считаем определяющими одну и ту же кривую. Пусть дано произвольное множество К в пространстве М.
Говорят, что х: [а, Ь[ — М представляе~ собой параметризацию множества К, если К = х([а, Ь]). В этом случае будем говорить также, что множество К есть носитель параметризованной кривой х. Множество К в метрическом пространстве М называется простой дугои, если существует непрерывное взаимно однозначное отображение отрезка [а,Ь[, где а ( Ь, на множество К. Всякое такое отображение называется параметризациеб простой дуги К. Естественно возникает идея понимать под кривой всякое множество в метрическом пространстве М, которое является носителем некоторого пути. При этом, однако, возникает трудность, состоящая в том, что при З 4.
Общее понятие кривой 459 таком определении многие важные характеристики (например, — длина — не могут быть однозначно определены. Носителем параметризованной кривой может оказаться множество, весьма далекое от наглядного представления о линии, уточнение которого хотелось бы видеть в понятии кривой. Существует, например, непрерывное отображение отрезка на квадрат, однако, вряд ли будет удачным считать, что квадрат является линией. В различных разделах математики слову «кривая» приписывается разный смысл. Определение кривой, которое будет изложено далее, принадлежит М. Фреше.
Пусть даны параметризованные кривые х: [а, Ь] — ~ М и у: [с, д] -~ М. Будем говорить, что кривая у может быть получена из х заменой параметра, если существует неубывающая функция ф: [с, д] -+ К такая, что ф([с, а]) = [а, Ь], и для всех и Е [с, д] выполняется равенство: у(и) = х[гЬ(и)]. Заметим, что из условия у'([с,а]) = [а,Ь], в силу монотонности функции у, следует ее непрерывность. Пусть х: [а, Ь] -+ М есть параметризованная кривая в пространстве М, то есть непрерывное отображение отрезка [а,Ь] в пространство М. Будем говорить, что путь х является безостановочным или нормальным, если функция х не постоянна ни на каком промежутке (а, ~3) С С [а, д], то есть во всяком промежутке (а,Д) С [а, Ь], где а < Д, можно указать значения Фы Фз Е [а, Д] такие, что х(Мг) ~ х(яз). Предположим, что путь х: [а, Ь] — + М является безостановочным.
Возьмем произвольно точку Фе Е [а, д]. Тогда если Фо < Ь, то для всякого е > О найдется М' е [а, Ь] такое, что Фе < 8' < 1е+ е и х(М) ф х($о). Лействительно, если для некоторого е > О такое 1' не существует, то для всех й Е [1о, 1е + е) имеет место равенство х(й ) = х(~е) и, значит, функция х п о с т о я н н а на интервале (8о, Фо + е) С [а, Ь], что п р о т и в о р е ч и т тому, что по условию путь х является безостановочным. Определение кривой, которое приводится ниже, представляет собой некоторую модификацию определения, данного М. Фреше.
Кривы в произвольном метрическом пространстве определяется здесь как класс эквивалентности в множестве всех безостановочных путей в этом пространстве. Первое отличие от определения М. Фреше 4бО Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых состоит в том, что мы рассматриваем только безостановочные пути. Это предположение упрощает изложение.
С другой стороны, данное ограничение представляется не очень существенным, как вытекает из теоремы 4.1, которая будет приведена ниже без доказательства (последнее, будучи простым по существу, оказывается чрезмерно длинным и не может быть здесь дано). Замечание. Пусть я: [а, Ь] -~ М и р: [с, н] — М вЂ” безостановочные пути в пространстве М. Предположим, что непрерывная неубывающая функция ф: [с, й] — ~ К такова, что для всех и Е [с, й] выполняется равенство у(и) = к[1Ь(и)].
Тогда функция ф является строго возрастающей. Действительно, допустим, что функция ф не является строго возрастающей. Тогда найдутся значения и1, из Е [с, д] такие, что и1 < из и ф(и1) = ф(из). Так как 1Ь есть неубывающая функция, то для любого и Е (и1,из) имеем: 4'(и1) < ф(и) < р(из) и, значит, ф(и) = ф(и1) = ф(из) для всех таких значений и Е (и1,из). Из равенства у(и) = я[ф(и)], очевидно, следует, что функция у — постоянна в промежутке [и1,из].
Это п р о т и в о р е ч и т тому, что по условию параметризованная кривая р: [с, о] — + М является безостановочной. На множестве всех путей в метрическом пространстве М определено отношение, выражаемое словами: «путь у: [с, и] — + М получен из пути я: [а, Ь] — ~ М заменой переменнойж Следующая лемма показывает, что это отношение является отношением эквивалентности на множестве всех нормальных путей. и Лемма 4.2.
Пусть ЛГ(М) есть совокупность всех нормальных параметризованных кривых в метрическом пространстве М. Отношение а на множестве ЛГ(М), определенное условием: «я находится в отношении а к р в том и только в том случае, если параметризованная кривая у получена из х заменой параметра», есть отношение эквивалентности. Доказательство. Пусть а есть отношение на множестве параметризованных кривых, определенное как указано в формулировке леммы. Пусть я: [а, Ь] — М есть произвольная нормальная параметризованная кривая в пространстве М.
Тогда имеем: я(Ф) = я[4($)] для всех М Е [о, Ь], где ф(1) = Ф. Этим д о к а з а н о, что для всякого к Е ЩМ) справедливо соотношение: хая, то есть отношение а рефлексивно. З 4. Общее понятие кривой 461 Пусть х: [а, Ь] — М и у: [с, д] — ~ М вЂ” нормальные параметризованные кривые в пространстве М. Предположим, что у получено из х заменой параметра, то есть у(и) = х[ф(и)], где ф: [с, с1] — ~ 1й — непрерывная неубывающая функция, отображающая промежуток [с, д] на [а, Ь].
Тогда функция у = 4 ' является непрерывной и неубывающей. При этом у([а, Ь]) = [с,д] и х(г) = у[у(1)] для всех 1 Е [а,Ь]. Таким образом, мы получаем, что если х а у, то, в свою очередь, у а х, то есть отношение а симметрично. Пусть даны нормальные параметризованные кривые х: [а, Ь] -+ М, у: [с,д] — М и з: [р, о] -+ М. Предположим, что существуют непрерывные неубывающие функции д: [р,у] — 2 и 4~: [с, д] — ~ 1й такие, что д([р, о]) = [с, в~], а у~([с, д]) = [а, Ь], причем для всех и Е [р, д] выполняется равенство: з(и) = у[о(и)], и для любого и Е [с, д] имеем: у(и) = х[4(и)].
Положим: ~р = 4 о д. функция ~р является непрерывной и неубывающей и отображает промежуток [р, д] на [а, Ь], причем з(и) = хор(и)] для любого и Е [р, о]. Этим д о к а з а н о, что параметризованная кривая х находится в отношении а к параметризованной кривой з. Таким образом, ус т ан о в л е н о, что отношение а траызитивно. Лемма доказана. ° Лемма 4.2 содержит все, что требуется для того, чтобы определить понятие кривой в произвольном метрическом пространстве.
Пусть х: [а, Ь] — + М и у: [с, с~ — ~ М вЂ” нормальные параметризованные кривые в метрическом пространстве М. Будем говорить, что путь х эквивалентен пути у, и писать: х у, если параметризованная кривая у получена из х заменой параметра. В силу леммы 4.3, отношение х ° у, определенное таким образом на множестве ЛГ(М) всех нормальных параметризованных кривых в пространстве М, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Множество Л (М) р а с п а д а е т с я на классы эквивалентных путей. Каждый такой класс и называется кривой в пространстве М. Если Х есть кривая в пространстве М, то есть класс эквивалентных нормальных параметризованных кривых в пространстве М, то элементы этого класса называются иараметризациями кривой Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
