1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 82
Текст из файла (страница 82)
З 4. Общее понятие кривой 477 ° Лемма 4.6. Пусть а, Ь и с — произвольные ненулевые векторы в пространстве К", у = л'.(а, Ь), у = л'.(Ь, с) и о = л'.(а, с). Тогда имеет место неравенство В<д+ Ь. (4.11) 3 а м е ч а н и е. Неравенство (4.11) называется неравенством треугольника для углов.
Доказательство леммы. Так как угол между векторами в Й" не меняется, если каждый из рассматриваемых векторов умножить на какое-либо положительное число, то мы можем считать, что (а! = (Ь! = ]с! = 1. При этом предположении определим векторы 1 1 и= . (совуЬ вЂ” а], ч= . (сов4Ь вЂ” с]. вшу яш у1 Векторы и и ч, как легко проверяется, ортогоняльны вектору Ь, и длина каждого из них равна 1. Имеем: а = сову Ь вЂ” вшу и, (4.12) с = сов 4~ Ь вЂ” яшф ч. Н а й д е м скалярное произведение векторов а и с.
Имеем, с одной стороны, (а,с) = совд. Используя представления векторов а и с, которые содержатся в равенствах (4.12), получим: сово = (а,с) = соврсояу +вшуя1п4(п,ч) > > сов р сов ф — в1п ~р вал 4 = соя(~р + 4). (4.13) Если у + ч1 > к,то неравенство 0 < р + 4 — в ы п о л н я е т с я, в силу того,что о есть число из промежутка [О,к]. Если же у+ 4 < к, то, так как функпия Ф ~-~ соя е является строго убывающей на промежутке [О, к], из (4.13) следует, что о < ~р + у'. Лемма доказана. ° 478 Гл. 8.
Интегральное исчисление на параметризованных кривых 4,5.1. Пусть К есть регулярная кривая в И" класса С", где т ) 1. Предположим, что х: [О, Х ] — К", где Х = 8(К) — длина кривой К, есть натуральная параметризапия К. Тогда для всякого 8 Е [О, Х] определен касательный орт $(8) кривой К в точке х(8). При атом к(8) = х'(8) для любого 8 Е [О, Х]. Фиксируем произвольно точку хо = х(ао) кривой К.
Пусть Со = х'(ао) есть касательный орт кривой х(8) в точке хо = х(ао). Возьмем произвольно точку 8 ф оо, и пусть Ф(8) есть касательный орт кривой х в точке х = х(8). Обозначим через р(8,8о) угол между ~Р(8, 8а) векторами Фо и $(8). Предел отношения ' при 8 — ао, если тако- [8 — за [ вой существует, называется кривизной кривой К в точке хо = х(8о) и обозначается символом к(ао). Геометрический смысл величины к(ао) — скорость вращения вектора $(8) при 8 = ао П о к а ж е м, что если кривая К является регулярной класса Сз, то она имеет кривизну в каждой своей точке хо, и выведем ф о р м у л у для вычисления кривизны.
Пусть х(8), 8 Е [О, Х,], есть натуральная параметризапия кривой К. Используя те же обозначения, что и выше, получим: [~(8) — ~(8о)[ = 2 пп 2 Отсюда заключаем, что ~о(8, 8о) ~а(8, ао) х'(8) — х'(8о) 8 — ао [8 — 8о[ 28ш г ПРи 8 — ао величина ао(8, ао) стРемитсЯ к пРеДелУ, РавномУ нУлю. Ф(8, 8а) Отсюда следует, что отношение ' стремится к 1 при 8 — 8о.
281п з Функпия х принадлежит классу С и, значит, существует предел: "(') *""' =[-( и з во 8 — 80 Таким образом, мы получаем, что к иван К имеет к ивизн в точке хх(8о), пРичем выполнЯетсЯ Равенство: й(аа) = [х (оо)[. 479 З 4. Общее понятие кривой Дифференцируя равенство [х (в)[ = (х (в),х (з)) = 1, получим: 0 = 2(хо(в), х'(в)). Мы получаем, таким образом, что хо(з) ортогонален вектору х'(в).
В случае, когда кривизна к(з) в точке х(в) данной кривой отлична от нуля, определен единичный вектор и = — х (з) = — Ф(в). о Й(з) /с(з) Вектор и называется вектором гзавиоб нормали в точке х(з) рассматриваемой кривой. 4.5.2. Полезно иметь представление для кривизны в точке кривой в параметризации, не являющейся натуральной. Пусть х(Ф), 1 Е [а, 'о], есть произвольная регулярная параметризация кривой К, С(в), в Е [О, Ь], — натуральная параметризация этой кривой.
Тогда имеем: х(Ф) = 4[в(Ф)], где функция з($) определяется из условия: '(~) = [ '(~)[. Дифференцируя равенство х(Ф) = ([з(Ф)], получим: '(~) = 4'[з(Г)]з'(4) о (З) = ~о[~(З)] 1~'(4)~ + ~'[~(Ю)]~о (а). Условимся производные по переменной в обозначать посредством точек, стоящих над символом, обозначающим соответствующую функцию (число точек равно порядку производной). Производные по к, как и ранее, будем обозначать штрихами. Опускал обозначения для аргумента, последние равенства можно переписать следующим образом: х =(в, х =Яз) +св .
Векторы ~ и ~ — ортогональны. Умножая обе части последнего равенства скалярно на х' = Сз' = ([х'[, получим: (х,х)=[х[в . 480 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Отсюда получаем: з = — (х,х ). (х') Окончательно получаем равенство: (4.14) Принимая во внимание ортогональность векторов ( и 4, получим: (Ы') = !6'И' = й'И', где и = ф — кривизна кривой. Из равенства (4.14) получаем: Принимая во внимание предыдущее равенство, окончательно заключаем, что 4.5.3.
Рассмот им особо сл чай к ивых на плоскости мз. Предварительно напомним некоторые факты из векторного исчисления на плоскости. Пусть а = (ам аз) и Ь = (ог,бз) — произвольные векторы в Ж~. Величина: ь=" Ьг, Ьз называется енугпренним произведением еекгпоров а и Ь. В силу известных из алгебры свойств определителей, справедливы тождества: ахЬ= — Ьха, (Лаг + паз) х Ь = Л(а1 х Ь) + д(аз х Ь), а х (ЛЬг + рЬз) = Л(а х Ь1) + р(а х Ьз).
Пара векторов (а, Ь) называется правой, если а х Ь > О, и левой, если а х Ь < О. 481 З 4. Общее понятие кривой Г е о м е т р и ч е с к и эти условия могут быть истолкованы следующим образом. Пля произвольного вектора и Е К пусть Л есть луч, состоящий из всех точек х = Фи, где 1 > О. Будем говорить, что Л„ есть луч, порожденный вектором и. Пара (а,Ь) является п р а во й, если луч Л совмещается кратч айши м путем с лучом Ль ар ащ е ни е м вокруг точки О = (0,0) в направлении п р о т и в часовой стрелки. Если же такое совмещение осуществляется вращением луча Л п о часовой стрелке, то данная пара векторов (а, Ь) является л е в о й.
Угол между произвольными ненулевыми векторами на плоскости пелесообрззно определять несколько иначе, чем в случае векторов в пространстве. Пусть даны векторы а и Ь на плоскости Ж~, причем а ф 0 и Ь ф О. Углом между векторами будем называть число д Е ( — я, т] такое, что выполняется равенство: (а, Ь) = |а||Ь|созд, ществуют числа у и ф такие, что а = (|а| соз у, |а| зш ~р) Ь = (|Ь! соз 4~, |Ь! зш 4~). Отсюда после простых вычислений найдем, что (а, Ь) = |а| |Ь| сов д, а х Ь = | а| |Ь| зш д, (4.15) причем д > О, если пара (а, Ь) — правы, и д < О, если эта пара векторов — — левая.
Если ненулевые векторы а и Ь вЂ” коллинеарны, то Ь = 1а, где 1 ~ О. В случае Ф > 0 векторы а и Ь направлены о д и н а к о в о и угол между ними, определенный указанным здесь способом, равен нулю. В случае Ф < 0 векторы а и Ь направлены противоположно и величина д, определенны согласно указанному здесь правилу, равна я. Угол между ненулевыми векторами а и Ь на плоскости будем обозначать символом е'. (а, Ь).
Пля всякого вектора и такого, что |и| = 1, как мы знаем, существует го такое, что и = (созга,зшгр). а Ь Применяя это утверждение к векторам — и —, получим, что су|а| |Ь! 482 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Равенствами (4.15) число й определяется с точностью до слагаемого, равного 2кгл, где ги — целое число. В частности, существует е д и н с т в е н н о е значение й Е ( — т, я], для которого выполняются равенства (4.15). Если й Е ( — я,т] удовлетворяет равенствам (4.15), то знак д совпадает со знаком величины а х Ь и, значит, 0 равно у г л у между векторами а и Ь.
В результате получаем, что имеет место равенство: а х Ь = ]а]]Ь|зшЛ.(а, Ь). (4.16) зшд(в,во) = Со х С(в). При в -+ во имеем: й(в, во) — О. Отсюда заключаем, что й(в, во) , Со х С(в) . Со х 1С(в) — Со] 1пп ' == 1пп = 1пп 6-~Во в — ве к за в — во ~с в — во Получаем: х(во) = С(во) х С'(во). (4.17) Вектор С (во) ортогонален вектору С(во) и, значит, С'(зо) = Лп(во), Пусть Цв) = (х(в), у(в)) есть произвольная регулярная кривая класса С на плоскости, где параметр в — длина дуги. 1 Фиксируем произвольно точку хо = Две) кривой.
Пусть Со = С'(во) есть касательный орт кривой Дв) в точке хо = 4(во). Символом и обозначим единичньгй векглор, ортогонвльный С и такой, что пара векторов (С,п) является и р а в о й. Этим условием вектор и определяется однозначно. Если С = (гг, 13), то, как очевидно, н = (-13, гг). Возьмем произвольно точку в ф во, и пусть С(в) есть касательный орт кривой С в точке С(в). Пусть д(в, во) = ~. (Со, С(в)). й(в, во) Предел отношения: ' при в — ~ во, если таковой существует, з — во называется кривизной плоской кривой К в точке хо = Две) и обозначается символом ве(во). Г е о м е т р и ч е с к и й смысл величины зг(во) — скорость врагцения вектора С(в) для в = во, определенная с учетом направления вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
