1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 84
Текст из файла (страница 84)
° Из теоремы А. Д. Александрова 4.3 вытекает, в частности, следующее утверждение. Следствие. ХХля всякой замкнутой кривой Х в пространстве )к" ее поворот удовлетворяет неравенству: й(К) ) 2я (неравенстпво Фенхеля). Действительно, пусть х: [а, Ь] — + )к" есть параметризация замкнутой кривой К. Имеем: х(а) = х(6). Путь х является безостановочным, и, значит, найдутся значения Фы1г Е [а, б] такие, что х(1з) ф х(1г). Пусть Х есть вписанная в данную кривую замкнутая ломаная, состоящая из двух звеньев — векторов рг = х(1г) — х(11) и рг = х(1г) — х(1г) = — Р1. Поворот этой ломаной й(Х,) будет: П(Х ) = ~(ры рг) + ~(рг, рг) = я + я = 2т. В силу теоремы А. Д.
Александрова, поворот й(Х) ломаной Х не превосходит поворот данной кривой Х, что и требовалось доказать. я Задачи 8.1. Доказать, что дифференциальная форма г(х,у) = е*яшудх+ в*соя уду является точной в И~. Найти функцию Х: И~ — ~ И, дифференциалом которой является форма г. 8.2.
Доказать, что дифференциальная форма Р(х, у, я) = (х — 2ух)дх + (уг — 2хя)ду + (зг — 2ху)дз является точной в И~. Найти функцию и: И~ — ~ И, дифференциал которой есть данная форма Р. 490 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К" 8.9.
Дана квадратная матрида третьего порядка: ( а11, а12, а13 ~ А = аш, а22, азз а31, азз азз все элементы которой есть неотрицательные целые числа. Доказать, что А имеет, по крайней мере, один собственный вектор, все компоненты которого неотрицательны. (Указание. Воспользоваться теоремой Брауэра, применяя прием, аналогичный указанному в предыдущей задаче.) 8.10. Пусть Ж1: х ~-+ ~[х][, и Из: х ~-~ [[х[], — две произвольные нормы в пространстве К", р1 и рз — метрики в Йэ, которые определяются этими нормами, то есть р1(х,д) = ][х — у][ и рз(х,у) = [[х — дЦ . доказать, что если параметризованная кривая х: [а, Ь) — ~ К" спрямляема относительно одной из этих метрик, то она является спрямляемой также и относительно другой метрики.
8.11. Дана кривая х:[а,Ь] — К" класса С1. Доказать, что если для всякого 1 Е [а,Ь) касательная в точке х($)проходит через точку О,то вектор-функция х имеет вид: х(1) = ~р($)п, где вектор ц не зависит от Ф, а ~р есть вещественная функдия. 8.12. Пусть 1:[а,Ь] -+ И вЂ” функдия ограниченной вариадии, д: [а,Ь] — ~ К вЂ” непрерывнэл функдия. Доказать, что в этом случае интеграл Стилтьеса Ь ] У(х) Пд(х) существует. Доказать, что справедливо равенство: а а э 8.18. Пусть 1: [а, Ь) — ~ й и д: [а, Ь) — ~ И суть непрерывные функдии, удовлетворяющие условию Гельдера с показателями а и )3, соответственно. Доказать, что если а + )1 > 1, то существует интеграл Стилтьеса ] Пя) 43(я).
8.14. Пусть функдия 1: [а, Ь] — ~ К такова, что для всякой функции ограниченной вариации ~р: [О, 1] — ~ К, все значения которой лежат в промежутке [а, Ь], суперпозиция 1 о ~р является функцией ограниченной вариации. Доказать, что тогда функция Г удовлетворяет условию Липшица, то есть найдется постоянная Ь < оо такал, что для любых х1, хз Е [а, Ь] выполняется неравенство: ]У(х1) — У(хз)[ < Цхг — хз[- 8.15. Пусть Б~ есть сфера Я(0, 1) в пространстве К" + . Пусть х и д — произвольные точки на сфере Бв.
Обозначим через п(х, д) угол между векторами х и д в пространстве И"+ . Доказать, что определенная так функция о: Б" х Б" является метрикой на сфере Б". Доказать, что для всякой кривой на сфере Б" длина относительно метрики а совпадает с длиной той же кривой относительно метрики пространства К~~ . поспелов.иж Первую часть «Курса математического анализа» я закончил теоремой Александрова. Автор ее — академик Российской Академии Наук Александр Данилович Александров — выдающийся математик 20-го столетия, лауреат Золотой медали Леонарда Эйлера. Александр Данилович Александров был моим учителем. 27 июля его не стало Однажды Александр Данилович написал это стихотворение| Человек КОГДА В ПОСЛЕДНЕМ ВЗРЫВЕ КАТАКЛИЗМА ЗЕМЛЯ СГОРИТ, КАК НОВАЯ ВВЕЗЛА, И ЧЕЛОВЕЧЕСТВО ИСЧЕЗНЕТ НАВСЕГЛА БЕЗ ПОМИНАНЬЯ, ПАМЯТНИКА, ТРИЗНЫ, КОГДА ПОМЧИТСЯ РАСКАЛЕННЫЙ ГАЗ В БЕСКРАЙНИЕ МБЖЗВЕЗЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ДУХ СЛЕТИТ С ЗЕМЛИ ЛЛЯ НОВЫХ СТРАНСТВИЙ, ТО, ЗНАЮ, БУЛЕТ НЕ В ПОСЛЕЛНИЙ РАЗ.
КОГЛА-НИБУЛЬ И ГЛЕ-НИБУЛЬ ОПЯТЬ ОН ВОПЛОТИТСЯ В ТЕЛЕ ЛЛЯ МУЧЕНЬЯ, ДЛЯ ПОЛВИГА И ПРЕТВОРЕНЬЯ, ДЛЯ БЕГА ВВЕРХ И ВОЗВРАЩЕНЬЯ ВСПЯТЬ. ТЫ, ВЕ |НЫЙ ДУХ УПОРНОГО СТРЕМЛЕНЬЯ, ЧТО ПОРОДИЛ СОБОЙ ЛОБРО И ЗЛО, КТО НЕ ОСТАВИЛ В МИРЕ НИЧЕГО ВНЕ СФЕРЫ ЗНАНИЯ И ВОЛИ ПРЕВРАШЕНЬя, ТВоги, Великий Дух, и оБРАщАЙ ПРИРоду В ГРОМАДНУЮ АРЕНУ МОЩНЫХ СИЛ, КОТОРЫЕ СОБОЙ ТЫ ПОРОДИЛ, ЧТОБЫ В БОРЬБЕ ЗАВОЕВАТЬ СВОБОЛУ И ВЫЗВАТЬ КАТАКЛИЗМ, А МОЖЕТ БЫТЬ, И СМЕРТЬ МАТЕРИИ КОСТНОЙ И НИЧТОЖНОЙ, НО СДЕЛАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ ВОЗМОЖНЫМ И К НОВОЙ ЖИЗНИ ВОЗРОЛИТЪСЯ ВПРЕДЬ! Александр Данилович был необьькновеннььм человеком и его Дух будет еще долго привлекать математиков будущего своими удивительными геометрическими теориями, прокладывающими бесконечньье пути в нескончаемом |печении пространства и времени.
Одна из ярчайших звезд в этом бесконечном мире будет очаровывать молодых исследователей красотой постановки математических проблем, освещать им путь для новых математических открытий таинственных островов в безбрежном океане абстракций с проникновением в его математические глубины. Ю. Г. Решетняк Указатель обозначений [Р(х)], 22 [,) (х) Нх, 22 ТЦ; хь хз), 24 Ф(х), 28 х=а Ь Ф(х), 28 *=Ь-О Ф(х), 41 х=а+О Г(1), 49 [Ь[, 49 1пп Ф(сЪ), 50 а хо ЮФ(хе), Ф вЂ” функция отрезка, 53 1пзу(Ь), 53 Х (Ь), 60 (х 6 Х) / )"(х) сЕх, 69 [У(х)] .еь 69 [У] 69 [[4[[, 4 — разбиение, 110 [[У[[з1 14 а(У;а, Ь), 117 [[П4,1 20 ОУ'а, Ь), 124 т(У;Ь ), 127 (~;хх , хз) 127 ОУ(~1) 127 В(а,т.), 170 Я(а,т), 170 В(а,т), 170 Я(Е,Х), 180 .Ы'(Х, У), 182 Х', 182 е', 187 [[х[[, 191 [[[х[[[, 191 1х~, 191 [х[т, 193 (х,д), 196 Я(а,т), 199 С3(а, т), 199 Я.У(Х, У), 201 Бпз 7" (х), 206 А(х) О,хЕМ Дх) — + В при Л(х) -+ О, 206 йпз У(х), 206 й(х) сх,хЕМ (иа та)пей х,е)з), 209 (иа, ) „) р)з, 209 й(и,тп), 209 1пп иа,х„209 ~р($) -+ р при о.(4) — ~ О, 219 1)та Дх), 222 х р Дх) = 0(д(х)) при Л(х) — ~ О, 232 Дх) = д(х) + 0(~р(х)) при Л(х) — + О, 232 Указатель обозначений 493 Дх) = д(х) + о(Ьг(х)) при А(х) — ~ О, 232 СА, 237 сНазп А, 266 до У(а), 284 — (а), Р11(а), 285 д1 дх; ф(а), фа 291 ф(а; Ь), фа(Ь), 291 -~-(а) = ф(а;е,), 291 Их;, 293 ф(а) = ~[ †(а)Нх;, 294 Д7" 1 Дх, (О (дог)) (а) = ~ дз-(Ь)р-~.(а), 1=1 305 Дг Дг (хо), , 311 дх;дх ' Дх;дх ДЗ1 (хо), 311 дх;Дхздхь дт ~ (х), 312 дх,,дх;,...Дхтт Р,У, У",, 312 М"((7,й ), Ф'(17), Ж', 313 У (!7, к ), й", з1з а(1), 319 (а = (аг,аг,...,а„) ч! е к, он > 0) - [а[ = а1+ аз+ ...
° + ап, а! = а1!аг!... а„!, 320 х'", где а — п-мерный мультииндекс, 320 Ра у Рап Раг Ра1 у а1 > О,аг > О,...,а„> 0 — целые, 320 Аах 325 !а[<т бекР < т,325 Д < а -+ Ра(х — а)а = ( — ~3)т(х — а) л, 328 - (Д < а) — Ра(х — а)а = О, 328 — ~~(а+1Ь) = ~! —;РаЯа+1Ь)Ьа !а!=ь 336 ДЬУ(х), 337 И~У(х; Ь), И~1(х)(Ь), 337 уь — ь [У(х+1Ь)] = И~,7(х+1Ь!Ь), 337 Ь! (х1+хг+ +х„)' = ), — и, 338 [а[ьй а! М(т, л), 342 Х(т, и), 342 д(т,л), 342 и(т,п), 343 Ыха, 346 Р(х) = ~ Ра(х)йх ФР(х) = !а!=т НГ~(х)дх~, 348 !а/=т 1!".+11(х) = а(йт7)(х), 349 ь [ Е[х(1),х'(1)] аь, 395 а ь а / ~1 Ез[х(Ф)]ах!(Ф), 395 а 1=1 ь [ Г[х(1),сЬ(Ф)], 395 а (х (х), Их), 397 [ (1т[х(1)], — ($)) Ф, 397 ' аг ь / (й'[х(2)], Их(1)), 397 а х2 ах1 + х1 ахг ю(х) = Х1 + Х2 2(х), 418 а = (Фо,11, °,1ь), 427 и(2,а), 427 ь '1/ 7~ 427 ь Ях, 427 а Предметный указатель пз х п-матрица, 188 гп х п-матрица, номер столбца, 188 изх п-матрица, номер строки, 188 пз х п-матрица, элементы матрицы, 188 п дважды факториал,1, 51 и-кратно дифференцируемзл в точке функция, 1, 305 и-мерное векторноепространство, 177 и-мерный интервал, 199 и-мерный прямоугольник в К" — см.
координатный прямоугольник пространства Й", 198 и-мерный сегмент, 199 п-факториал, 1, 51 п-я производнзл функции,1, 305 абелева группа — см. коммутативнзл группа, 259 абсолютная величина вещественного числа, 1, 30 абсцисса точки М на плоскости, 1, 55 аддитивнзл функция отрезка, 53 аддитивность и монотонность вариации как функции отрезка, 429 аксиома непрерывности множества вещественных чисел, 1, 35 аксиомы алгебраической структуры множества Ж, 1, 27 аксиомы векторного пространства, 174 аксиомы метрики, 164 аксиомы нормы в векторном пространстве, 191 аксиомы порядка в множестве Ж, 1, 28 алгебраические операции для пределов по оценочной функции, 218 алгебраическое число, 147 амплитуда точки на плоскости, 1, 297 аналог формулы Лейбница для функций многих переменных, 340 ареакосинус гиперболический, 1, 233 ареасинус гиперболический, 1, 232 ареатангенс гиперболический, 1, 233 арифметический квадратный корень из числах > О, 1, 48 арккосинус, 1, 224 арксинус, 1, 223 арктангенс, 1, 225 асимптота графика функции в направлении я -+ — оо, 1, 409 асимптота графика функции в направлении х ~ оо, 1, 409 асимптотическзл характеристика полинома Тейлора П едметный казатель асимптотически ограниченная при т — ~ р по М С й функция, 1, 98 асимптотические соотношения, 232 астроида, 1, 293 базис векторного пространства, 178 базисные полиномизльные формы, 346 базисные элементарные функции, 1, 228 безостановочный путь, 459 бесконечно малая при л — ~ р, я Е М, функция, 1, 88 бесконечные элементы множества К,1, 29 биективное отображение, 1, 21 биномиальные коэффициенты, 1, 310 Брауэра теорема о неподвижной точке в двумерном случае, 421 вариапия функции на промежутке ~а, Ь], 427 Вейерштрасса теорема выбора, 1, 153 Вейерштрасса теорема о наибольшем и наименьшем значениях, общий случай, 262 Вейерштрасса теорема о наименьшем и наибольшем значениях, 1, 155 вектор главной нормали в точке кривой, 479 вектор на плоскости или в пространстве,1, 279 вектор-функции предел, 1, 283 векторное поле в области У С й", 396 векторное пространство над полем К, 174 вертикальная асимптота графика функции в направлении у — — со, 409 вертикальная асимптота графика функции в направлении у — ~ со, 1, 409 верхнее число последовательности (л 1 Е К)вел„,, 1, 163 верхний и нижний пределы— характеристика посредством понятия частичного предела, 1, 173 верхний предел последовательности (хв Е %)вел,„, 1, 165 верхняя граница вещественной функции, 1, 56 верхняя граница множества А С К, 1, 33 вещественная функция, определенная на произвольном множестве, 1, 52 вещественная часть комплексного числа, 1, 62 взаимно однозначное отображение, 1, 21 взвешенное среднее арифметическое чисел, 1, 389 взвешенное среднее геометрическое чисел, 1, 389 включение множеств, 1, 13 внутреннее произведение векторов на плоскости, 480 внутренняя точка множества в метрическом пространстве, 237 вогнутая функция,1, 379 возрастающая функция на множестве А С Й, 1, 53 вторая интегральная теорема о среднем значении, 101 вторая производная функции, 1, 304 вторая теорема Лопитзля, 1, 341 второй основной постулат аналитической геометрии, 1, 55 выпуклая сверху функция — см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
