1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть а = (ьс,$1,...,1 ) — произвольная цепочка в промежутке [а,Ь]. Имеем: 1е < 11 « 1 . Лля данной цепочки а определена величина: и(х, а) = ~ р[х(11-1), х(11)]. Так как 1р отображает промежуток [с, д] на [а, Ь], то для каждого 1 = О, 1,..., т найдется значение и; Е [с, д] такое, что 1Р(иь) = $1. При каждом г' имеем: и, 1 < и;. Лействительно, если бы для некоторого 1 > 1 имело место неравен- ство и; 1>и,, то так как функция 1р — неубывающая, для этого 1 выполнялось бы неравенство: Ц 1 = 1р(иь 1) > 1р(иь) = Ц, но по условию 11 1 < Ц при каждом 1 = 1,2,...,т. При каждом з = = 0,1,...,т имеем: у(и;) = х[~р(иь)] = х(11).
и(у„9) = ,'ь р[у(и; 1),у(и;)] = Р[Х(11 1),Х(11)] = и(Х,СГ). Ьь 1 Лалее имеем: е(х, сг) = п(у,~3) < ~/у. Так как а есть произвольная цепочка на промежутке [а, Ь], отсюда вытекает, что ь н ~/ х = зпр п(х, а) < ~( у. а (4.4) Мы получаем, таким образом, некоторую цепочку,З = (ие, и1,..., и ) в промежутке [с, д], для которой выполняется равенство: 467 З 4. Общее понятие кривой 3 а д а д и м произвольно цепочку ~3 = (ие,и1,...,и ) на промежутке [с, 4]. Положим Ц = ф(иь).
Так как функция 1Ь вЂ” неубывающая, то при каждом ь' = 1, 2,..., пь получим 4ь 1 < 4ь. Имеем: е(у,р) = ~ )р[у(иь 1),у(иь)] = ~ )р[х($ь ь),х(Фь)]. Может оказаться, что для некоторых значений ь' будет еь 1 = еь. Точки Фе, ~1,..., 8 образуют некоторое конечное множество. П е р е н у м ер у е м элементы этого множества в порядке их расположения в промежутке [а, Ь]. Получим некоторую цепочку точек отрезка [а, Ь]. При этом г < т. Пусть е~ ь = Ф; 1, е~ = Фь Тогда у < Й и точки Ц, номера которых лежат между у — 1 и Й до некоторого значения г, с о в и ад аю т с Фй а затем с о в и а д а ю т с Фь.
Отсюда следует, что в сумме Р[х(4ь-1), х(1ь)] отлично от нуля единственное слагаемое, а именно то, для которого 4ь 1 = 11 1 = я~ 1, а Ц = Фй = еп и вся эта сумма равна р[х(е~ ь), х(я~)]. Следовательно, и(у,Я = ~р[у(иь 1),у(пь)] = ,') р[х(я~ 1),х(е~)] = п(х,а) < ~/х. Так как цепочка ~3 на отрезке [с,д] была взята произвольно, то, значит, е ь ~/у = зпре(у,Д) < ~/х.
(4.5) е а Из (4.4) и (4.5), очевидно, вытекает утверждение леммы. Лемма доказана. ° Заметим, что, как может видеть читатель из рассуждений, проделанных выше, в доказательстве леммы, то есть в установлении сохранения длины пути при замене параметра, существенно используется то, 468 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых что замена параметра осуществляется посредством монотонных функций. Если кривая является спрямляемой, то среди всех возможных ее параметризаций можно выделить естественным образом некоторую специальную параметризацию, как вытекает из следующей леммы. ° Лемма 4.5. Всякая спрямляемая параметризованная кривая К в метрическом пространстве М допускает параметризапню С: [О, д ] — ~ М, где д — длина кривой, такую, что для всякого з Е [О,д] выполняется равенство: 5 (4.6) Параметризация с кривой К, удовлетворяющая этому условию, — един- ственна.
Доказательство. Пусть х: [а, Ь] — ~ И" есть произвольная параметризация кривой Х. Для Ф Е [а, Ь] положим: з(М) = и (й). И с к о м у ю параметризацию с: [О, д.] — М кривой К построим следующим образом. Пусть з Е [О,Х]. Так как функция з(Ф) непрерывна, з(а) = О и э(Ь) = д, то найдется значение Ф, для которого з(д) = з. Полагаем ~(з) = х(д). Точка х(д) не зависит от выбора значения г Е [а, Ь], удовлетворяющего условию э(д) = з. Пействительно, предположим, что для некоторого з существуют два различных значения дд и 8г таких, что з(дд) = з(дг).
Будем считать, что дд < дг. Имеем: дг Р[х(дд) х(дг)] < ~/х = з(Фг) — з(~д) = О. дд Отсюда заключаем, что х(йд) = х(дг). Видим, что величина с(э) не зависит от того, какое значение $, удовлетворяющее условию з(д) = з, будет выбрано. При всяком 1 Е [а,Ь], согласно данному здесь определению, имеем: х(д) = ~(з), где з = з(д).
Следовательно, мы получаем, что ддг Е [а,Ь] х(д) = ~[э(г)]. П о к а ж е м, что построенная таким образом функция с: [О, д'] — М вЂ” непрерывна. З 4. Общее понятие кривой 469 Зададим произвольно 81,82 Е [О,Х]. Пусть $1, Фг Е [а,Ь] таковы, что 81 = 8(11), 82 = 8(12). Согласно определению, Д81) = х(21), а Д82) = х(12) и, значит, РЯ81), С (82)] = Р[х(11), х(12)] ° В случае Ф1 < 12 имеем: 12 р[х(21), Х(12)] < Б = 8(12) — 8(21) = 82 — 81. и В случае Фг < 41 аналогичным образом приходим к неравенству: р[х(21), Х($2)] < 81 — 82.
Окончательно получаем, что для любых 81, зг Е [О, Х] имеет место неравенство: р[4(81), С(82)] = р[х(21), х($2)] < ]82 — 81[. (4.7) Тем самым непрерывность функции с у с т а н о в л е н а. П о к а ж е м, что для любого промежутка [а1, ог] С [О, Х] выполняется равенство: ег 12 иг ~/ х = ~/ с, 11 е1 и, следовательно, 1/ с = 8($2) — 8(Ф1) = а2 — о'1. Тем самым у с т а н о в л е н а справедливость равенства (4.7) рассматриваемой леммы. Воспользуемся результатом леммы 4.4. Пусть 21, $2 Е [а, б] таковы, что 8(11) = 81, а 8(12) = Ог. ,Пля всякого 2 Е [$1, $2] имеем: х(2) = с[8(М)].
Применяя лемму 4.4 к параметризованным кривым м е [11,$2] ~ х(1) и 8 е [аг,иг] ~ 68), получим,что 470 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Д о к а ж е м, что параметризованная кривая С является нормальной. Действительно, зададим произвольно промежуток [а,Д] С [О,Ц такой, что а < ~3. По доказанному, имеем: д ~/ с = ~3 — а ) О. а (4.8) Если бы функция С была постоянной на промежутке [а, Д], то выполнялось бы равенство ~/~ С = О, что и р о т и в о р е ч и т (4 8). Промежуток [а, Д] С [О, Ц был выбран произвольно.
Мы получаем, следовательно, что функция С не постоянна ни на каком невырожденном промежутке, содержащемся в [О, Ц, то есть параметризованная кривая С является нормальной. Имеем т(г) = с[в(Ф)] для всех $ Е [а, 6]. Отсюда следует, что параметризованные кривые т и С вЂ” эквивалентны и, значит, С есть параметризация данной кривой К.
В силу равенства (4.7), эта параметризация и есть требуемая. Д о к а ж е м е д и н с т в е н н о с т ь параметризадии с: [О,.Ц вЂ” М, удовлетворяющей требуемым условиям. Пусть ц: [О,Г] — + М есть произвольная другая параметризация кРивой Х такал, что ~/о О = з длЯ всех з Е [О, Ь]. Параметризованные кривые с и и — эквивалентны и, стало быть, С(в) = О[ф(в)].
Имеем: ф(0) = 0 и, значит, С(0) = О(0). Пусть з Е (О,Х]. Положим о. = О(в). Применяя лемму 4.4 к параметризованным кривым й: [О,з] ~-+ С(г) и и: [О,о"] ту(и), получим, что Имеем: откуда вытекает, что в = л, то есть ф(з) = з для всех в Е (О,.Ц. Для в = 0 это равенство, очевидно, также выполняется. Мы получаем, что ч(з) = О[ф(в)] = ч(в) для всех з й [О,.Ц, и совпадение параметризованных кривых С и л, таким образом, установлено. Этим доказана единственность параметризации кривой К, удовлетворяющей условию леммы.
Лемма доказана. И 471 З 4. Общее понятие кривой Параметризация ~: [О,Х] — ~ М спрямляемой кривой К, существование которой утверждается в лемме 4.5, называется натуральной параметризацией кривой К или, иначе, параметризацией, получаемой, если в качестве параметра берется лина и к ивой Х отсчитываемая от яиие.явив 4.4. Ркгулярнык кривык в прострАнствк К Из определения условия регулярности пути, очевидным образом, следует, что если х: [а, Ь] -+ Ж" есть регулярный путь класса С", то он является безостановочным.
Регулярный путь класса С" является спрямляемым, как следует из теоремы 3.5 этой главы. Следующая теорема характеризует дифференциальные свойства натуральной параметризации кривой класса С". ° Теорема 4.2. Если кривая Х в пространстве 1я" является регулярной класса С", то ее натурзльнал параметризация с: [О, 5] — Й" (я. — длина кривой К) есть регулярнал параметризованная кривая класса С . Для всякой регулярной параметризацнн х: [а, Ь] — ~ 1я" кривой К имеем: х = с о з, где функция з принадлежит классу С' и такова, что з (М) ~ О для всех г Е [а, Ь]. Локазательстно. Пусть кривая К удовлетворяет условию теоремы. Предположим, что параметризация х: [а,Ь] — + Ж" кривой К является регулярной параметризованной кривой класса С".
Положим: з(М) = ~/о х. Согласно теореме 3.5, имеет место равенство: ь ь з($) = ]х (и)[аи. а (4.9) Выше рассматривались кривые в произвольном метрическом пространстве. Для параметризованных кривых в пространстве К" может быть определено понятие производной. В связи с этим рассмотрим случай кривых в К", у которых существует параметризация, являющаяся дифференцируемой функцией. 4.4.1, Параметризованная кривая х: [а, Ь] — + Ж" называется регулярной класса С', где г > 1, если вектор-функция х принадлежит классу С' и для всякого Ф Е [а, Ь] производная х (Ф) отлична от нуля.
Кривая К называется рееулярной класса С', если хотя бы одна из ее параметризаций представляет собой регулярный путь класса С". 472 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Функция х'(Ф) принадлежит классу С' ~. Отсюда следует, что функция [х'(з)[ = ,~ [Ф)]' з=1 принадлежит классу С" ' и, значит, в силу равенства (4.9), функция з(1) принадлежит классу С". Имеем: з (з) = ]х (з) ] > 0 для всех г Е [О, Ь].
Отсюда следует, что функция з является строго возрастающей на промежутке [а, Ь]. Имеем: з(а) = 0 и з(Ь) = Х = з(К). Функция з отображает промежуток [а, Ь] на промежуток [О,Т]. Так как з'(з) > 0 для всех г Е [а, Ь], то, как было показано в теореме 3.3 главы 4, обратная функция з принадлежит тому же классу С", что и функция з. Лля п ощения записи положим: = з ~. Функция у( отображает промежуток [О, Ь] на [а, Ь]. Положим: ((з) = х[у((з)]. Очевидно, имеем: х(г) = Я[з(з)] для всех $ е [а, Ь]. Вектор-функция с принадлежит классу С .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
