1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 77
Текст из файла (страница 77)
а (3.32) Будем называть данный интеграл интегралом дифференииальной формы Е(х) вдоль пути х: [а, б] — 2". Лля его обозначения далее будет применяться также запись: ь Р [х(4), дх(4)]. а Из теоремы 3.7 вытекает, что если параметризованная кривая х(4) является кусочно-гладкой,то ь | лме, а.йя = | г.' еьете.гол. ып а а Отсюда следует, что в этом случае введенное понятие интеграла дифференциальной формы вдоль снрямляемой кривой эквивалентно понятию, определенному в З 1 этой главы.
34. Общее понятие кривой Кривая на плоскости или в пространстве есть объект, который задается указанием некоторой параметризованной хривой. Чтобы определить его, необходимо условиться, хакие параметризованные хривые определяют одну и ту же хривую. Для этой лели введем отношение эквивалентности на множестве параметризованных хривых. Предварительно здесь будет рассмотрено общее понятие отношения эквивалентности на произвольном множестве. 454 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Пусть дана некоторая совокупность математических объектов. Часто возникает ситуация, когда два формально различных объекта, принадлежащих этой совокупности, удобно рассматривать как одинаковые или равные друг другу.
С ситуацией такого рода мы встречаемся даже в 1 2 12 самыхначальных разделах математики. Например дроби — — — 0 5 2' 4' 24' формально различны — у них разные знаменатели и разные числители, но они представляют собой одно и то же рациональное число и в этом отношении должны рассматриваться «ак одинаковые. В этом параграфе приводится абстрактная схема, которая служит логической основой для описания подобного рода ситуаций. 4.1.
ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Зададим произвольно множество А. Говорят, что на множестве А задано отношение гг, если указано некоторое множество В„С А х А. Если элементы х и у множества А таковы, что пара (х, у) принадлежит множеству В, то будем говорить, что х находится в отношении а к у, и писать: хау. Если пара (х, у) не принадлежит В„, то считаем, что х не находится в отношении а к элементу у множества А. Высказывание хггу, таким образом, равносильно высказыванию: (х,у) е В . Символически данное утверждение выражается следующей формулой: хпу с ° (х, у) Е Вн. Отношение гг на множестве А называется ре4ленсивным, если оно удовлетворяет следующему условию: К. Ч (х Е А) хсгх, Отношение, согласно определению, задается указанием некоторого множества В С А х А.
Пусть Рл есть совокупность всех пар элементов множества А вида (х,х). Множество Рд называется диагональю прямого произведения А х А. Условие К означает, что всякая пара вида (х, х) принадлежит множеству В, то есть В„Э Рл. Говорят, что отношение а, заданное на множестве А, симметрично, если оно удовлетворяет следующему условию. Б. Ч х Е А 1~ у Е А(хсгу =~ уггх). Отношение а на множестве А называется транзитивным, если для него выполняется следующее условие. Т, Чх Е АЧу Е АЧ з Е А(((х ггу) й(у ггг)) =в хая). З 4. Общее понятие кривой 455 Отношение а на множестве А.называется отнотиением порядка, если оно рефлексивно и транзитивно. Если а — отношение порядка, то в формулах типа хау вместо символа а, обозначающего отношение, обычно используют какие-либо значки, напоминающие символы < или >, например, -С, ~ или -С.
Отношение а называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если на множестве А задано отношение эквивалентности, то вместо выражения хад обычно применяется запись, в которой символ а заменен каким-либо значком, напоминающим обычный знак равенства, например,, = и т. п. П иве ем п уме ы.
Пусть А есть множество всех вещественных чисел Ж. Для всякой пары (х,у) элементов множества К соотношение х < у либо выполняется, либо нет. Отношение а, определенное условием: хау «ь х < у,— рефлексивно н транзитивно. В соответствии с определением, данное отношение есть отношение порядка. Пусть ь".э есть множество всех прямых на плоскости. 1 Напомним, что прямые на плоскости называются параллельчымв, если они не имеют общих точек. Отношение параллельности, очевидно, симметпрично. Оно, однако, не является рефлексивным, поскольку, по определению, прямые параллельны в том и только в том случае, если они не имеют общих точек.
В соответствии с этим определением прямая не может быть параллельна самой себе. Если прямая Й параллельна прямой 1, а прямая 1 параллельна р, то мы можем утверждать, что р параллельна Й лишь в том случае, если р ~ Й. Условие травэитпиености для отношения параллельности, таким образом, также не выполняется. Таким образом, отношение «прямая Й параллельна прямой Ъ, заданное на множестве всех прямых, из перечисленных выше условий В,, 3 и Т удовлетворяет только условию Я. Определим на множестве прямых на плоскости некоторое другое отношение, которое уже является эквивалентностью.
Прямые Й Е я".гз и 1 Е Сэ~ называются коллинеарными, если они либо параллельны, либо совпадают. Тот факт, что прямая Й холлинеарна прямой 1, сокращенно записывается так: Й ~~ Й Всякая прямая коллинеарна самой себе, так что отношение коллинеарности рефлексивно. Если прямая Й коллинеарна прямой 1, то и 1 коллинеарна Й, то есть отношение коллинеарности симметрично. Гл. 8.
Интегральное исчисление на параметризованных кривых Наконец, заметим, что если й 'О'1, а 1()р, то также и й ((р, то есть отношение коллинеарности удовлетворяет также условию транэитивности. Таким образом, отношение коллинеарности на множестве всех прямых пространства является отношением эквивалентности. Его естественно рассматривать как небольшое видоизменение отношения параллельности.
Оп елим некото ое отношение на множестве ве ественных чисел К Зададим произвольно число р > О. Говорят, что х Е К и у Е К сравнимы по модулю р, и пишут: х = у(шосс р), если х — у = тр, где т — целое число, т Е,'Е. П о к а ж е м, что отношение, определенное таким образом, является отношением эквивалентности на множестве К. Действительно, для всякого х Е К имеем: х — х = О = О р. Так как О е Ж, то мы, следовательно, получаем, что х = х(шос1 р), так что условие рефлексивности К для данного отношения в ы п о л н е н о. Пусть х = у(шос1 р).
Тогда, по определению, х — у = тр, где т Е У,. Отсюда следует, что у — х = — тр. Так как — т Е К, то тем самым д о к а з а н о, что у = х(шос1 р), так что рассматриваемое отношение удовлетворяет также и условию симметричности Я. Пусть даны произвольные числа х, у, в Е К. Предположим, что х = у(шос1 р) и у = я(шоб р).
Тогда имеем: х — у = тр, у — в = ир, где т и и — целые числа. Отсюда получаем: х — г = (х — у)+(у — х) = (т+и)р. Число т + и — целое и, значит, х = г(шос1 р). Таким образом, введенное отношение также и транзитивно. Отношение «х сравнимо с у» по модулю т — широко используется в теории чисел. При этом обычно рассматривается случай, когда р есть произвольное натуральное число, большее 1. В этом случае данное отношение часто применяется при изучении вопросов, связанных с задачами делимости чисел.
Пусть А — произвольное множество, на котором задано некоторое отношение эквивалентности сс. Выражение хсгу будем записывать символом х у. Для произвольного х е А пусть С1~(х) = (у Е А ~ х у). Множество Сс (х) называется классом эквивалентности элемента х множества А по отношению эквивалентности . В силу свой- а ства рефлексивности отношения эквивалентности (см. выше условие К), имеем: х ° х и, стало быть, х Е С1 (х). а З 4. Общее понятие кривой 457 ° Лемма 4.1.
Пусть а есть отношение эквивалентности на множе- стае А. Если х Е А ну Е А таковы, что С1 (х) ПС1„(у) ~ И, тох у и а множества С1 (х) и С1 (у) совпадают. Доказательство. Пусть х Е А и у Е А таковы, что существует я Е А, которое принадлежит каждому из множеств С1 (х) и С1 (у). По определению, С1 (х) = (Ф Е А ~ х Ф).
Так как я Е С1 (х), то, а значит, х ж о Точно так же заключаем, что д ю В силу симметричности ота ношения эквивалентности, выражаемого условием 8, отсюда следует, что я у. Таким образом, имеем: х ° я и я д. Так как отношение 2 а о эквивалентности транзитивно (см. выше условие Т), то, значит, х р.
а Возьмем произвольно Ф Е С1 (у). Согласно определению, р 4. По а доказанному, х у, и, значит, в силу свойства транзитивности отношения эквивалентности, имеем: х ° 4. Итак, мы получаем, что 1 8 ($ Е С1,„(у) =~ 8 Е С1,„(х)). Отсюда вытекает, что С1„(у) С С1 (х). Меняя в рассуждениях х и у местами, получим, что С1 (х) С С1 (у), и, следовательно, С1 (х) = С1 (у). Лемма доказана. ° Предположим, что на множестве А задано отношение эквивалентности а. Тогда определено множество классов эквивалентности элементов множества А по отношению а.
Всякий элемент множества А принадлежит хотя бы одному из этих классов и, как следует из леммы 4.1, если классы С1 (х1) и С1„(хз)— различны, то они не имеют общих элементов. Мы получаем, таким образом, что если на некотором множестве А введено отношение эквивалентности, то множество распадается на попарно непересекающиеся «слои» вЂ” классы эквивалентности элементов множества А. 458 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
