1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Положим: ю,(й) = Р[~,(1)]. Д о к а ж е м, что для достаточно больших значений г имеет место равенство Яге,) = и ф О. Для таких значений г точка 0 принадлежит множеству Р(К,). В противном случае, согласно лемме 2.2, Яю,) = О. Если 0 Е Р(К,) для некоторого г, то, значит, 0 = Р(я) для некоторого я Е.К',. Это г и является к о р н е м уравнения Р(г) = О. 425 З 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой Положим в,(г) = — [~,(г)) .
Тогда выполняются равенства: Р(г) гн иг(0) = вг(2я) = ю,(0) = в,(2т) = Р(г). Д о к а ж е м, что если г достаточно велико, то параметризованные кривые я„и и, г о м о т о и н ы в области К~ ЦО). Для таких значений т выполняется равенство: Яю,) = Яг,). Имеем: где са сп р(3) =с1+ — + .+ Положим также [р[(г) = [с1[+ — + . + [се[ [с [ где т Е И, г > О.
Очевидно, [р(г)[ < [р[([г[) для всякого г е С. Пусть г Е С таково, что [г[ = г. Имеем: Отсюда получаем следующую оценку: Ь(я) 1 1 1 1 2 < — [р[([в[) + — [р[(г) = — [р[(г) г".а(я) и, значит, отношение стремится к нулю при т — оо. вп Р(т) 1 Теперь заметим, что отношение: = 1+ — р(г) при г — + оо стрет" т мится к пределу, равному 1. Отсюда, вытекает, что найдется значение В > 0 такое, что при всяком г > В выполняется неравенство: Ь(в) Р(г) — < яп г" Для всякого я такого, что [г[ = г > В имеем: 426 Гл. 8.
Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Жг' Полагая здесь г = ~,(Ф) = т(соз1+ зашя), получим, что для всех $ Е [0,2т] выполняется неравенство: [и>,(М) — яг(й)[ ( ]яг($)]. Величина ]яг(г)] не зависит от Ф. Круг радиуса б = ]яг(г)] с центром в точке хг(г) содержится в области У = К~ '1 (О). Из леммы 2.3 теперь непосредственно следует, что 1(га,) = Яхг). В ы ч и с л и м величину Яяг). Имеем: хг(г) = с(соя тИ+зашп8), где с, — комплексное число. Отсюда яг(1) = ]с„[(соа(п$+ у) + з аш(п$+ у)).
Пусть з,(г) = хг(Ф) + зхз(1). Тогда имеем: 1 / хг(Ф)хз(Ф) — хз(Ф)хг($) 2т / [х1(1)]з + [хг(Ф)]з о Подставляя сюда значения х1(Ф) = [с,[соа(пй+ у), хз(г) = [с„[аш(пй+ р), получим, после очевидных преобразований: 2х Г 1'(Яг) = — ~ и Ж = и. 2я / о Отсюда получаем, что для всякого г > В также и Яю,) = п. На основании леммы 2.2, из доказанного следует, что 0 Е Р(К,), то есть существует я Е К„такое, что Р(з) = О.
Теорема доказана. ° ~ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса В этом параграфе будет определено понятие длины параметризованной кривой в произвольном метрическом пространстве. Определяются понятия спрямляемой параметризованной кривой и понятие функции ограниченной вариации. Устанавливаются свойства таких функций, доказываются некоторые критерии спрямляемости параметризованной кривой.
З 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 427 Приводится понятие интеграла Стилтьеса и доказывается основная теорема о существовании такого интеграла. С помощью этой теоремы оказывается возможным определить понятие интеграла линейной дифференциальной формы вдоль произвольной спрямляемой параметризованной кривой. Для кусочно-гладких кривых, как будет показано далее, это определение эквивалентно определению, данному в З 1. 3.1.
Функ ии огряничкнной варна ии Зададим произвольно метрическое пространство М с метрикой р. Цепочкой на промежутке [а, Ь] С К будем называть всякую конечную последовательность чисел а = (ьо, Фз,..., 1ь) такую, что а < Фо < < ~ь < ° < $ь < Ь. Числа 1ь называются узлами цепочки ее. Пусть дано отображение У: [а, Ь] — М. Всякой цепочке ее = = (ьо,1д,...,1ь) на промежутке [а, Ь] сопоставим некоторое число е(у, ее), полагая ь Точная верхняя граница с у м м е(у,ее) на совокупности всех цепочек, лежащих в промежутке [а, Ь], называется вариацией функции у на промежутке [а, Ь] и обозначается символом: ~/ ь ь Определением допускается значение ~/ у = оо. Говорят, что г" есть функция ограниченной вариации, если величиь на ~/ у конечна.
Пусть х: [а, Ь] — М есть произвольная параметризованная кривая в пространстве М, то есть непрерывное отображение отрезка [а,Ь] в пространство М. Будем говорить, что указанная параметризованная кривая спрямляема, если х есть функция ограниченной вариации в смысле данного ь вьппе определения. Величину ~/ х в этом случае мы будем называть ь длиной кривой и обозначать также Бх. а в Для произвольного отрезка [а, В] с [а, Ь] величина Б х называется а длиной дуги пути х, отвечающей промежутку [ее, р] в множестве значений параметра е. Термины <длиназ и «вариация» обозначают, таким образом, одно и то же понятие.
Первый из этих терминов мы будем применять в связи с задачами геометрического характера. В задачах, относящихся к 428 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ математическому анализу, будет применяться второй термин, то есть слово «вариация» и связанные с ним обозначения.
Отметим, что разделение задач на «геометрическиез и «аналитические» в данном случае весьма условно. функции ограниченной вариации существуют. Н а п р и м е р, всякая функция, постоянная на промежутке [а, Ь], является фрннциеб ограь ниченноб вариации. В этом случае, как нетрудно видеть, ~/ у = О. Пусть пространство М есть множество й, наделенное его естественной метрикой. Для всякой функции у: [а, Ь] -+ К имеем: для произвольных точек 4; 1 и Ц из промежутка [а, Ь]. В этом случае имеем: Всякэл монотонная функция у: [а, Ь] -+ 1й является а/рннциеб ограниченной вариации.
Действительно, пусть у:[а,Ь] — + й есть монотонная функция. Зададим произвольно цепочку а = (гв,Ф1,...,Фь) на промежутке [а,Ь] и рассмотрим сумму Так как функция / монотонна, то все разности у(гз) — у(г, г) имеют один и тот же знак. Отсюда вытекает, что Таким образом, для всякой цепочки а, лежащей в промежутке [а, Ь], выполняется неравенство: Знак равенства здесь имеет место, в частности, для цепочки а, состоящей из двух узлов — точек $в = а,Фг = Ь. Отсюда следует, что у з 3. Длина параметризованной кривой.
Понятие интеграла Стилтьеса 429 есть функция аераниченной вариации. При этом вариация функции ~ на промежутке [а, Ь] равна ]Д(Ь) — у(а)]. Пусть М = К". В этом случае с у м м а о(у,ся) имеет простой геометрический смысл (см. рис. 3). Рис. 3 х: Ф Е [а, Ь] ~ (г, у(ь')) Е 2 . Величина ~/,У, таким образом, н е р а в н а длине графика ь функции о = у($). Установим некото ые с в о й с т в а понятия ва иа ии Палее М есть метрическое пространство с метрикой р. ° Теорема 3.1 (об аддитивности вариации). Пусть дана функция 1: [а, Ь] — ~ М.
Тогда для всякого числа с такого, что а < с < Ь, имеет место равенство: ь а ь (3.1) Для всякого отрезка [ьг,Фз] С [а, Ь] выполняется неравенство: ья ь ~/~<~/~. ьь О (3 2) При каждом ь' = 1, 2,..., и величина ]Д$ь) — У(Фь г)] есть длина прямолинейного отрезка, соединяющего точки Х; ь = 1(ьь ь) и Х; = 1(ьь). Эти отрезки вместе составляют некоторую л о м а н у ю и о(1,а) есть д л и н а этой ломаной.
О т м е т и м специально следующий частный случай. Пусть дана функция ~: [а, Ь] — К. Ее г р а ф и к есть некоторая кривая. Длина этой кривой, в смысле того определения, которое было дано в п. 8.3 главы 5, как будет показано позднее, есть вариация вектор-функции 430 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Доказательство. Сначала сделаем несколько простых замечаний относительно величины п(У, а), где а есть произвольнал цепочка на промежутке [а, б].
Будем говорить, что цепочка б содержит цепочку а, если всякий узел цепочки а является узлом цепочки ф. Если цепочка ф содержит пепочку а, то имеет место неравенство: п(У;а) < п(У;Р). (3.3) п(У, а; г) < п(У, а;). Таким образом, для доказательства (3.3) достаточно рассмотреть случай, когда цепочка р' получается из а д о б а в л е н и е м одного нового узла. Итак, пусть а = (го,$ы...,1ь), где 1о < Фг « Фь, и цепочка Р получается из а добавлением в качестве нового узла — точки и Е [а, Ь~. Если и < ~о, то п(У,Р) = п(У,а)+ р[У(и),У(~о)] > п(У,а). Если и > 1ь, то (У,Р) =п(У,а)+ р[УМ,У(п)] > п(У,а).
Предположим, что го < и < гь. Тогда для некоторого з будем иметь: Ц г<и<Ц. Величина п(У, Я получается заменой слагаемого р[У(гз), У(ц г)] в сумме, представляющей п(У, а), выражением: р[УИ*- ),У(н)]+р[У(п) У(~*)] > р[У(~з- ) У(~з)] откуда следует, что и в этом случае п(У,Р) > п(У,а). Действительно, если )3 содержит а, то )3 можно получить из а в конечное число шагов, добавляя на каждом шаге к уже построенной цепочке еще один узел.
Иначе говоря, можно построить последовательность цепочек ао = = а,аг,...,а = ~3 такую, что при каждом з = 1,2,...,т цепочка а; получается из а; г добавлением одного узла. Неравенство (3.3) будет доказано, если мы установим, что при каждом г' = 1,2,...,пз имеет место неравенство: З 3. Алина параметризоваииой кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 431 Таким образом, (3.3), в силу сказанного вьппе, д о к а з а н о.
Пусть а есть произвольная цепочка на промежутке [а, Ь] и а'— цепочка, получаемая из а присоединением в качестве новых узлов точек а, с, и Ь. Пусть |3 есть цепочка, образованная теми узлами цепочки а', которые лежат на отрезке [а, с], у — цепочка, образованная узлами цепочки, лежащими в промежутке [с, Ь].
Точка с является узлом каждой из цепочек Д и у и, мы, очевидно, имеем: Ю а') = п(У Р) + [У 7). Применяя неравенство (3.3) к цепочкам а и а', получаем, что .(У,а) <.[У,а). Отсюда вытекает, что с ь Ю, а) < Ю, Р) + с[У,7) < ~/ У+ ~/ У Так как цепочка а точек отрезка [а, Ь] была взята произвольно, из полученного неравенства следует, что ь ~/ У = пр [У, а) < ~/ У+ ~/ У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
