1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 74
Текст из файла (страница 74)
а (3.4) с [У Р ) = ~/ У. О Аналогично заключаем, что существует последовательность (7„)„ен це- почек, лежащих на отрезке [с, Ь], для которой Здесь точная верхняя граница, в соответствии с определением вариации функции на отрезке, берется по множеству всех цепочек, лежащих на отрезке [а, Ь]. Величина ~/ У, по определению, есть точная верхняя граница сумм п(У„З) на множестве всех цепочек, лежащих на отрезке [а,с].
В силу известных нам свойста точной верхней ераннны (см. главу 1), найдется последовательность ф„)„ен цепочек, лежащих на отрезке [а,с], такая, что 432 Гл. 8. Интегральное исчисление нв параметризованных кривых в 2~ Пусть а есть цепочка, получаемая объединением цепочек р"„и 7„. Пусть с есть самый п р а в ы й узел цепочки 6„, а с' — самый л е в ы й узел цепочки 7„. Тогда при каждом и Е Я имеем: п(~, а„) = п(У, р" ) + рЦ(с ), У(с'„)) + е(у, у„) > иЦ,)3„) + е(у, у„). Отсюда ~/ ~ > п(У сь ) > о(У Р ) + п(У, у.) а Переходя в этом неравенстве к пределу при и — + оо, получим: ь в ь ~/~>~/~+~/~ (3.5) Из (3.4) и (3.5) вытекает (3.1).
Неравенство (3.2) следует из того, что всякая цепочка а, лежащая в промежутке [ьг, Фз] С [а, Ь], лежит также и в промежутке [а, Ь] и, значит, для любой такой цепочки .У,а) <~/У. а Отсюда следует, что точная верхняя граница величины и(У, а) на множестве всех цепочек, лежащих в промежутке [г1, 1з], не превосходит ~/ ~. а Справедливость неравенства (3.2), таким образом, установлена. Теорема доказана.
° Следствие. Если (: [а, Ь] — М есть функция ограниченной вариации, то сужение функции ( на всяком промежутке [ьы Фз] С [а, Ь] также есть функция ограниченной вариации. 0 для 1=а; чИ) = ~/ у приа<$<Ь. (3.6) Данное утверждение следует из (3.2). ч Пусть У: [а, Ь] — + М есть функция ограниченной вариации. Определим функцию еу: [а, Ь] — + Ж, полагая З 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 433 Будем говорить, что иу, как функция переменной Ф, есть вариация г. Для любых Фы Фз Е [а, Ь] таких, что 4г < Фз, имеет место равенство: ~/ У = иу(~г) — иу(~1). (3.7) Для Ф = а справедливость равенства (3.7) следует из определения функции еу.
Бели а < Фг < 1з, то, согласно теореме 3.1, будем иметь: Фо о1 оо оо еу(оз) ЧУ ЧУ+Чу оу($1)+Ч У а $1 о1 откуда получаем (3.7). Левая часть равенства (3.7) неотрицательна, и, значит, функция оу является неубывающей на промежутке [а, Ь]. р[у( 1),у(~.)] < ~/ у (3.8) Действительно, левая часть неравенства (3.8), очевидно, есть величина е(у, а), вычисленная для цепочки, имеющей ровно д в а узла— точки 81 и 1з, и справедливость неравенства (3.8) следует из определения вариации функции на отрезке [Фы Фг]. Ф ° Творема 3.2 (о непрерывности вариации). Пусть |: [а, Ь] ~ М есть функция ограниченной вариапии. Тогда если функция У непрерывна в точке 1о Е [а, Ь], то вещественная функция оу, определенная равенством (3.6), также непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть у: [а, Ь] -+ М есть функция ограниченной вариации. Предположим, что г" непрерывна в точке Фо Е [а, Ь]. Пусть йо < Ь. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему цепочку а, лежащую на промежутке [Фо, Ь] и такую, что й Предложение 3.1. Пусть дана функция У: [а,Ь] -~ М. Для всякого отрезка [$ы $з] С [а, Ь] выполняется неравенство: 434 Гл.
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К" Будем считать, что точка 8о является узлом цепочки сь. Этого всегда можно добиться, добавляя к а точку 1о в качестве нового узла. Величина е(У, а) при этом н е у м е н ь ш а е т с я. Пусть Ф1 > йо есть следующий по порядку узел цепочки а. Так как функция ~, по условию, непрерывна, то найдется б > О такое, что Фо + 6 < Фг, и для всякого Ф Е [ьо, 8о + 6) выполняется неравенство: 2 Возьмем произвольно точку Ф такую, что Фо < 1 < 1о + 6.
Пусть аь есть цепочка, получаемая из гь заменой точки ~о на точку 1. Имеем: в[1,о ) — еУ,а) р[УИо) Ж)]+ р[УИ) У[~ )! > 2 2 Е Е ьо ьо Согласно определению вариации функции на отрезке, в е р н о неравенство: ь ~ У > е(Лаь). ь Следовательно, для всякого Ф Е (ьо, йо + б) оо ь ь ьо со Отсюда вытекает, что О < его) ег [го) = ~/ < е ьо длЯ всех Ф С (Ео, йо + 6). Так как е > О было выбРано пРоизвольно, то тем самым дон аз ан о, что функция иу непрерывна справа в точке Фо. Аналогичным рассуждением устанавливается, что если а < Фо, то функция иу непрерывна слева в точке 1о.
Теорема доказана. ° 3.2. Функции ОгРАничкнной НАРВА ии со знАчкниями В ВАНАХОВОМ ЦРОСТРАНОТВЕ Зададим произвольно банахово пространство Х. Пусть [[х[[ есть норма векторах Е Х. Р асс то ание между произвольными точками х, у Е Х определяется по формуле: р(х, у) = [[д — х[[. з 3. Ппива параметризованной кривой.
Понятие интеграла Стилтьеса 435 Пля функций, определенных на произвольном отрезке [а, Ь] и со значениями в пространстве Х, определено понятие функции ограниченной вариации. ь ь ь ~/ ь < [л[~/ У+ [р[ ~/ д. (3.9) Доказательство. Пусть У: [а,Ь] ~ Х и д: [а,Ь] -~ Х суть функции ограниченной вариации, Л,,ы Е Й. Пля всякой цепочки а = (1е, ьь, йз,..., ьь), лежащей в промежутке [а, Ь], имеем: При каждом ь [[Ь(Фь) — Ь(гь ь)[[ = [[ЛУ(гь) — У(гь ь)]+ р[д(йь) — д(йь ь)][[ < < [Л[у(гь) — у(гь,) [[+ [п[[[д(гь) — д(гь,) [[.
Суммируя по ь эти неравенства, получаем неравенство: о(о,о) < [Л[о(~,а) + [р[и(д,а) < [Л[~/ у + [р[~/ д, из которого следует, что ~/ Ь вЂ” зпр о(Ь, о) < [Л[ ~/ ~ + [и[ ~/ д. а Теорема доказана. ° и Следствие 1. Множество всех функций ограниченной вариации, определенных ва отрезке [а, Ь] и принимающих значения в пространстве Х, представляет собой векторное пространство. ° Теорема 3.3. Ясли у: [а, Ь] -+ Х и д: [а, Ь] -+ Х суть функции ограниченной вариации, то для любых вещественных чисел Л и,и отображение Ь = Л~ + пд: [а, Ь] — + К также есть функция ограниченной вариации.
При этом 436 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К" Справедливость следствия 1 вытекает из теоремы З.З и следствия теоремы 2.1 главы 6. У Следствие 2. Если 1: [а, Ь] — + К есть функция ограниченной вариации, то для всякого Л е К выполняется равенство: ь ь ~/ ЛУ = [Л] ~/ У. а а (3.10) Доказательство.
Пусть У есть множество всех отображений у: [а,Ь] — + К, являющихся функциями ограниченной вариации. Согласно следствию 1, У есть векторное пространство. Каждому элементу 1 пространства У отвечает некоторое вещественное число Ъ'(1), равное Ч'. ~ Полагая в условиях теоремы 3.3 д = О, получим, что для всякого Л выполняется неравенство: Ъ"(Л1) < ]ЛЩУ). В силу леммы 3.1 главы 6, отсюда следует, что для всякой функции 1 Е У и любого Л имеет место равенство: Ъ"(Л1) = [Л]Ъ'(у). Следствие 2 доказано.
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть )': [а, Ь] — ~ К есть функция ограниченной вариации. Для $ Е [а, Ь] положим ° ()=Ч~ при а < Ф < Ь, е(а) = О. Пусть у(Ф) = — [еу(Ф) + Д1)] и ф(М) = — [иу(1) — Я)]. 1 1 Следствие 3 (критерий Жордана ограниченности вариации вещественной функции). Для того чтобы функпия У: [о, Ь] — К была функцией ограниченной вариации, необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена как разность двух неубывающих фунхций, определенных на промежутке [а, Ь]. з 3.
Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 437 зададим произвольно точки 12, $2 б [а, б] такие, что Фз < Фг тогда, применяя неравенство (3.8), получим: е5(~2) ю5(~1) ~ 5 ~ [У(~2) У(~1)! 22 Поэтому п5(22) е5(~1) ~ У(~2) ~(~1) и одновременно п5(~2) г5(~1) ~ [У(~2) ~(~1)] ° Отсюда следует, что р(~ ) — р(~ ) > о и ~(~ ) — чз(2 ) > б. Так как точки г2 и 12 из промежутка [а, Ц такие, что $2 < 12, были выбраны произвольно, то мы получаем, что функции у и 4 неубывающие. Имеем, очевидно: 5(1) = у(1) — ф(4) для всех Ф Е [а,Ь~ и, таким образом, функция 5 является р а з н о с т ь ю двух неубывающих функций. Необходимость условия следствия 3, таким образом, доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает из того, что, как было показано выше, всякая монотонная функция есть функция ограниченной вариации, и, значит, согласно теореме 3.3, р а з н о с т ь двух монотонных функций есть функция ограниченной вариации.
Следствие 3 доказано полностью. Пусть даны нормированные векторные пространства Х и Ъ'. Н о р м у вектора и в том, и в другом пространстве будем обозначать символом [! . [!. Пусть Д: Х вЂ” Ъ' есть линейное отображение. Напомним, что нормой оглображения Ь называется величина [[Ц, равная зпр [[ЦЬ)[!. В !М<2 о б щ е м с л у ч а е допускается значение [[я[! = оо. Линейное отображение Ь называется ограниченным, если его норма конечна. Пусть Х: Х вЂ” ~ Ъ' есть ограниченное линейное отображение.
Тогда для всякого Ь Е Х выполняется неравенство (см. и. 3.4 главы б): 438 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ ° Теорема 3.4. Пусть Уь и к' — произвольные нормированные векторные пространства и г. есть ограниченное линейное отображение Х в Ъ'. Тогда если У: «а,6] — + Х есть функция ограниченной вариации, то 9: 1 ~ г.[У(ь)] Е 'к' есть функция ограниченной вариации.
При этом выполняется неравенство: ь ь ~/ 9 < [«ь!! ~/ У. Доказательство. Зададим произвольно цепочку а = (го,~ы .,Ьь), лежащую в промежутке [а, Ь]. Имеем: е(~ о У,о) = ~',[[А[У(йь)] — А[У( ь-.)][! = = ',~ [[Т [У(~ь) — У(~ь-.)]«! < ~ [[Ь[««[У(~ь) — У(~ь- И = [! Ь[! (У~). Отсюда следует, что для всякой цепочки а, лежащей в промежутке [а,Ь], выполняются неравенства: п(У- 'У о) < «%[о(У о) < [[Т [! ~ У В силу произвольности цепочки а, лежащей в промежутке [а,Ь], получаем,что ~!/ Т о У = зпр е(Ь о У, о) < «[Ц ~/ У. а Теорема доказана. ° Следствие (критерий Жордана ограниченности вариации вектор-функции). Пусть дана функция У: ~ Е [а, Ь] ° (У, (6), Уз(~),..., У (Ф)) Е Ж™. з 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
