1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 69
Текст из файла (страница 69)
° Теорема 1.1. Пусть У есть открытое множество и пространстве К", звездное относительно точки р Е У. Тогда для того, чтобы линейная дифференциальная форма Г(х) = ~ Г;(х) ох; класса С~, определене=з ная на множестве У, была точной, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х Е У для любых з, у = 1, 2,..., гз выполнялись равенства: дГ, дà — (х) = — ~(х). дх, дх; (1.6) ДоказательствО. Покажем н е о б х о д и м о с т ь.
Предположим, что дифференциальная форма Г(х) = 1 Г,(х)ох; первой степени, определенная на множестве У, является точной. Тогда найдется функция г' класса С~, определенная на множестве У и такая, что Г(х) = 4~(х) для всех х Е У. Тогда при каждом з = 1, 2,..., и для дУ всех х е У выполняется равенство: Г;(х) = — (х). дх; Предположим, что форма Г(х) принадлежит классу С . Из последнего равенства вытекает, что производные функции ~ суть функции класса С, то есть 1 есть функция класса Сг. При этом для функций Г;, как очевидно, выполняются соотношению дГ; д~У дГ, дгУ дГ; дГ,.
— '( ') = — '( '). дх, дх; В силу свойства симметричности вторых производных, доказандг~ ному в 83 этой главы (см. теорему 3.1), производные (х) и дх,дх; дгу (х) совпадают. дх;дх, Мы получаем, таким образом, что для каждого х Е У для любых з, у = 1, 2,..., п имеют место равенства: 4ОЗ З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена. Теперь докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия теоремы. Пусть У есть область в пространстве К", звездная относительно точки р Е У. Предположим, что г' есть линейная дифференциальная форма класса С1, принадлежащая классу С и такая, что для ее коэффициентов выполняются равенства (1.6).
Возьмем произвольно точку х Е У и положим: 1 Л )=) КгЬ-:-я*-ИК -ь)е. о (1 7) Тем самым на множестве У определена некоторая вещественная функ- ция 1. Л о к а ж е м, что эта функция и есть искомая. Положим: Ф(х,г) = ~1 Г,[р+ 1(х — р)](х; — р;). 1=1 Тогда равенство (1.7) может быть представлено в следующей форме: 1 1(х) = Ф(х,Ф)1М. о (1.8) в — — [р+ 1(х — р)]М(ха — р;) + гз([р+ 1(х — р)]). (1.9) дх, дх,. 1=1 аг, д.Р; По условию, — '(х) = — ~(х) для всех х Е У. Преобразуя выра' дх; дх; жение, стоящее в правой части равенства (1.7), в соответствии с этим равенством получим: — ' [Р+ ~(*-Р)%*1 -Ра)+ ~.([Р+ ~(*-Р)]).
дх, дх; 1=1 Функция Ф определена для любых х Е У и любого 1 Е [О, Ц. При этом, как нетрудно видеть, функция Ф на множестве У х [О, 1] непрерывдф на и имеет все частные производные — (х,г), у = 1, 2,..., п, в каждой дх~ точке (х,~) Е У х [0,1]. Имеем: 404 Гл. 8.
Интегральное исчисление на параметризованных кривых в й~ Дифференцируя выражение Ез [р+ $(х — р)] по переменной Ф, найдем, что ф М + ~( — р)]) =,~, —,' Ь + ~(х — р) Их*- — рд, а=1 и, следовательно, М ] р + ~ ( х р ) ] ) Согласно лемме 1.2, из равенства (1.8) следует, что функция У в ка- дУ ждой точке х Е У имеет частную производную —. Эта производная, дх~ ' согласно лемме 1.2, равна интегралу: 1 1 | '~~,, ~в= /',(ыв~~( -е|)в.
о е з=1 Последний интеграл равен 1РДр+ г(х — р)]], = Р (х). Таким образом, мы получаем, что †(х) = Е,(х) дУ дхз для всякого х Е У. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть У вЂ” открытое множество в пространстве Р." и Р(х) = ,'~ Р;(х)дх; есть линейная дифференциальная форма класса С на множестве У. 1 Для того чтобы форма Г была замкнутой на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х области У для любых г', з = 1, 2,..., и выполнялись равенства: дР, дР, — '(') = — '('). дхз дх; З 1.
Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 405 действительно, если форма Р Е С является замкнутой, то у всякой точки р Е У существует окрестность В(р,6) С У такая, что в этой окрестности форма Г является дифференциалом некоторой функции у класса С2. В силу теоремы 1.1, отсюда следует, что в каждой точке шара В(р,6) выполняются равенства (1.6). В частности, эти равенства выполняются и в точке х = р.
Так как точка р Е У была выбрана произвольно, то тем самым необходимость условия доказана. Обратно, предположим, что форма Р(х) такова, что для всех х Е У выполняются равенства (1.6). Возьмем произвольно точку р Е У. Так как множество У вЂ” открытое, то найдется 6 > 0 такое, что шар В(р, 6) содержится в множестве У. Шар В(р, 6) представляет собой множество, звездное относительно точки р, и, значит, согласно теореме 1.1, найдется функция У класса С такая, что Г(х) = ф(х) в каждой точке х шара В(р, 6).
Так как точка р Е У была выбрана произвольно, то, согласно определению, это и означает, что форма Р является замкнутой. Следствие доказано. 1.3.2. Тепе ь мы можем и цвести п и м е замки той линейной и е ен иальной о мы оп е еленной на некото ом отк ытом множестве кото ая не является точной. Пример. Пусть п > 2 и У С К" есть множество всех таких точек х = (хг,хз,...,х„) Е К", что хз+ Х22 > О. Множество У получается исключением из К" точек подпространства №, определенного системой уравнений: хг = О, хз = О, У = аь'" '1 №.
В случае и = 2 имеем: У = К~ '1 (0). Множество М2 замкнутое и, значит, множество У вЂ” открытое. Зададим на множестве У дифференциальную форму ы(х), полагая: (Х) — 2 2 ~Х1 + 2 ~~2 ° Х1+Х2 Х1+ 2 П о к а ж е м, что форма ю(х), заданная таким образом, является замкнутой на множестве У. Коэффициенты формы ы суть функции Рг(х) = — 2 2, Р2(х) = 2 Х22+ хз ХГ+Х2 406 Гл. 8. Интегральное исчисление нв параметризованных кривых в И~ доз дЯ2 достаточно показать, что — (х) = —.
Простые вычисления пока- дхг дх1 ' зывают, что доз д ( хг — (х) —— дхг дХ2 ~ х +хгг — (Х2 + Х2) + 2Х2 Хг — Х1 2 2 2 2 2 ( г+хг)г ( 2+ 2)г' Аналогично дгг д Х1 хг — Х1 2 2 дх1 дхз х', + Х2 (х,'+ хг)2 ' | 2в и[хЯ, дх(2)] = У[х(2х)] — ~[х(0)] = О, в так как точки х(0) и х(2х) совпадают.
Подставляя явные выражения для компонент вектор-функции х(з) в и[х(Ф), х'($)], получим: — тешг( — тз1пг) тсов$(тсозФ) 2 + 2 тг(сонг 2+ ашг Ф) тг(созг 2+ зшг 2) Отсюда ю[х(2), х'(2)] = 1 и, значит, гв гл | ы[х(2), Их(Ф)] = ~й = 2я. о о Таким образом, один и тот же интеграл, с одной стороны, равен О, а с другой — равен 2х. Коэффициенты Р;(х), соответствующие значениям 2' > 2, равны нулю. заметим еще, что коэффициенты г'г (х) и гг(х) в рассматриваемом случае зависят только от переменных Х1 и хг. Отсюда следует, что равенства (1.6) для дифференциальной формы ы выполняются. Предположим, что существует функция ~: У вЂ” И такая, что ы(х) = ф(х) всюду на множестве У. Р а с с м о т р и м параметризованную кривую х: [0,2х] — К", для которой Х1(г) = т соз Ф, хг($) = т зш $ и х;(2) = 0 при 2 > 2 для всех Ф.
Согласно предложению 1.1, 'З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 4О7 Итак, допущение, что существует функция у: Н вЂ” 2 такая, что ы = о1, приводит к п р о т и в о р е ч и ю, и, значит, такая функция у не может быть построена. Для того чтобы всякая замкнутая линейная дифференциальная форма Г, определенная в области У пространства 2, была точной, область должна удовлетворять некоторым геометрическим условиям, которые будут описаны далее (см. теорему 1.5). 1.4.
ОнщАя ТЕОРЕМА О ПРЕЛСТАВИМОСТИ ЛИФФЕРЕН ИАЛЬНОЙ ФОРМЫ КАК ДИФФЕРЕН ИАЛА ФУНК ИИ ° Лемма 1.4. Пусть У есть открытое множество в метрическом пространстве М. Предположим, что множество Н С В компактно. Тогда найдется 6 ) О такое, что для всякого х Е Н замкнутый шар В(х, б) содержится в множестве У. 3 а м е ч а н и е. Данное предложение может быть получено как следствие некоторого общего результата о компактных множествах в метрическом пространстве (доказательство которого будет приведено в главе 9 части 2 книги), называемого теоремой Лебега. Доказательство леммы. Пусть выполнены все условия леммы. Предположим, что требуемое число б ) О не существует.
Тогда, каково бы ни было 6 > О, найдется точка х Е Н такая, что шар В(х, б) не содержится в множестве Н. 1 Положим б = —, где и Е 1ч. В силу сделанного предположения, най- 1~ дется точка х„Е Н такая, что шар В ~х, — ) не содержится в множестве и Н. Отсюда следует, что при каждом и Е М найдется точка «„Е М та- 1 кая, что р(я„, х ) < —, и в то же время: я Е СУ.
Полагая и = 1, 2,..., получим такие последовательности (х ) „ен и 1 (яе) ~ем точек пространства М, что хи Е Н, а„Е А = СУ и р(х„, а„) <— при каждом и Е М. В силу компактности Н, из последовательности (х ) ен можно извлечь подпоследовательность (х „)ьен, сходящуюся к некоторой точке хе множества Н. Имеем: хе Е Н.
При и — ~ оо величина р(х„г ) стремится к нулю. Получим: р(хи~ р ХО) < Р(хнь ~ хи~ ) + Р(хи~ > хо) ° Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при и — со, откуда следует, что также и р(я,,хе) стремится к нулю прн Й вЂ” + оо. 408 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ При каждом Й Е М, по построению, точка г „принадлежит замкнутому множеству А = СУ = М ~ У. Отсюда следует, что предел последовательности (я„,)лен принадлежит множеству А, то есть хе е А. Это, однако, противоречит тому,чтохеЕН,амножествоН,по условию, содержится в У. Итак, допущение, что утверждение леммы не верно, приводит к противоречию.
Лемма доказана. ° Ч Следствие. Пусть У вЂ” открытое множество в пространстве К", х: [а, Ь] -+ К" — параметризованная кривая, лежащая в множестве У. Тогда найдется б > О такое, что для всякого $ Е [а,Ь] шар В[хЯ,б] содержится в множестве У. Дохазательство. Так как промежуток [а, Ь] есть компактное множество в пространстве К, а отображение х — непрерывно, то множество Н = х([а, д]) С У вЂ” компактно и, значит, согласно лемме 1.4, найдется б > О такое, что для всякого х Е Н замкнутый шар В(х, б) содержится в области У. Для всякого М Е [а, Ь] шар В[х(1), 6] содержится в области У.
Это значение б, очевидно, и есть требуемое. Следствие доказано. Доказательства некоторых утверждений, которые приводятся далее, опираются на следующее предложение. ° Лемма 1.5 (о континуальном принципе индукции). Пусть дан промежуток [а, Ь] С К. Предположим, что множество Е С [а, Ь] таково, что выполнены следующие условия: 1) точка а принадлежит Е; 2) предел х Е (а, Ь] всякой возрастающей последовательности точек множества Е является элементом множества Е; 3) если х Е Е, причем х < Ь, то для всякого б > О найдется х' Е Е такое, что х < х < х + 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
