1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Предположим, что для некоторого г доказано, что если Г Е С', то также и у Е С'. Пусть Г есть функция класса С"+~. Тогда Г принадлежит также и классу С', откуда следует, что у б С". 374 Гл. 7. Днфференцнальное исчисление функций многих переменных дГ Производные — функции Р принадлежат классу С'. Из (7.1) подху ду этому следует, что функция — есть функция класса С'.
дх, Мы получаем, таким образом, что все производные первого порядка функции Ф являются функциями класса С". Отсюда следует, что сама функция Ф принадлежит классу С"+ . По индукции, таким образом, установлена справедливость утверждения теоремы о принадлежности функции Ф классу С". Теорема доказана. ° 7.2. ОБ АЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНК ИЯХ Пусть Х и з' суть произвольные конечномерные векторные пространства, Ь: Х вЂ” я" — линейное отображение. Множество Н = Х,(Х) представляет собой некоторое подпространство У. Размерность йтН подпространства Н = Ь(Х) называется рангом отображения Ь.
Размерность Н не превосходит размерность каждого из пространств 1к и У, то есть йшН < йш1к и одновременно ЙппН < йш "я'. Линейное отображение Ь называется нееырожденным, если его ранг равен наименьшему из чисел с1ппХ и йшЪ". Далее мы будем рассматривать функции, определенные в пространстве К"~~, где п > 1 и т > 1 — целые числа. Для произвольной точки я Е К"+ пусть хь(я) есть точка х = (хг,хз,...,х„) Е К", х; = я; при всяком з = 1, 2,..., п, и н„(я) есть точка у = (у1,..., у ) Е К™, у = я„+ . для любого у = 1, 2,... т. Пространство К" + будем рассматривать как прямое произведение К" х К, отождествляя произвольную точку я Е К"+ с парой (х,у), где х = хь(я), у = н„(я).
В соответствии с этим, если даны множества А С К" и В С К, то множество А х В мы отождествляем далее с совокупностью всех точек я Е К"~'", для которых яь(я) Е А и я„(я) Е В. Для произвольной фунхции (': А — К, где А С К"+, ее значение в точке я = (х,у), х Е К", у Е К обозначим символом 7"(х,у). (формально следовало бы применять обозначение Щх, у)).) Пусть Н вЂ” открытое множество в пространстве К"+, 7": 17 — + К™" — отображение класса С', т > 1.
Тогда в каждой точке я Е Н определено линейное отображение 4~, — дифференциал отображения 1" в точке я. 'З 7. Теорема о неявных функциях и ее приложении 375 М а т р и ц а линейного отображения б1, имеет вид: дь дь дь дг1 д~г а*, д*, ''' а „аю ''' ая аг, айаг, а~ дух а1~ дя~ дяг дг ' дуг дя~ (7.5) д~т д~т дбн дяг дяг дяя аг ау аю ''' ая где значения частных производных берутся в точке я. Данная матрица называется матрицей Якоби отображении г" в точке я и имеет т строк и гг + т столбцов.
Отображение ~ называется невырожденнмж в точке я Е У, если линейное отображение 4; является невырожденным, то есть его р а н г равен т — р а з м е р н о с т и пространства й . Это условие, как известно из алгебры, означает, что, по крайней мере, один из м и н о р о в порядка т матрицы линейного отображения сК, отличен от нуля. Далее мы будем предполагать, что отличен от н ля мино, образованный элементами последних т столбцов матрицы (7.5).
О б щ и й с л у ч а й, очевидно, сводится к этому изменением нумерации компонент вектора я = (х, у). ° Теорема Т.З (теорема о неявных функциях). Пусть У есть открытое множество в пространстве К"+™, Г: У вЂ” К вЂ” отображение класса С", где т > 1. Предположим, что точка с = (хв, ув) б У такова, что Г(с) = Г(хв, ув) = О, и минор, образованный последними т столбцами матрицы Якоби отображения Г, отличен от нуля.
Тогда найдутся открытое множество У пространства гг" и открытое множество И' в пространстве К такие, что И х И' С У, а Е Ъ', 6 Е И; и для всякого х Е У существует и притом только одна точка у = у(х) Е И" такая, что точка я = (х,у) принадлежит множеству У, причем выполняется равенство Г(х, ~р(х)) = О. Определенная таким образом функция гг: Ъ' — К принадлежит тому же классу гладкости С, что и исходное отображение Г. ~оиазателъстно. В случае т = 1 условие, касающееся матрицы дГ Якоби отображения Г, сводится к условию: — (с) ф О.
Из теорем 7.1 и ду 7.2 поэтому следует, что при т = 1 теорема в е р н а, каково бы ни было п. Предположим, что для некоторого т > 1 справедливость теоремы установлена при любом и. Д о к а ж е м, что в этом случае теорема остается верной, если заменить т на т + 1. Произвольную точку я пространства К"+ + 376 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных будем представлять как тройку (х, $, и), где х = (х1, хз,..., х ) Е К"— вектор в К", образованный первыми п компонентами вектора г, Ф есть (п+ 1)-я компонента вектора я, и = (иыиз,...,и ) Е К™ — вектор, образованный последними т хомпонентами вектора ю Имеем: х; = х; при каждом г' = 1,2,...,и, $ = я еы ну — — ял~.у~.г при любом ~ = 1, 2,..., т.
Пусть У есть открытое множество в пространстве й"+ +~ и пусть Р: У вЂ” ~ К +' — отображение класса С', Р(я) = (Рг( ),...,Р ( ),Р + ( )). Предположим, что в точке с = (хе, 1с, ие) Е У минор порядка т+ 1, образованный последними столбцами матрицы Якоби отображения Р, отличен от нуля. Отсюда, в силу известных из алгебры свойств определителей, следует, что среди миноров порядка т этой матрицы, образованных элементами последних т столбцов, по крайней мере, один отличен от нуля. Будем считать, что отличен от нуля минор, образованный элементами первых т строк и последних гл столбцов.
Этого, очевидно, всегда можно добиться, изменяя нумерацию компонент вектор-функции Р. Положим: Р(х,$,и) = (Р1(х,Ф,и),Рз(х,Ф,и),...,Р (х,~,и)). Минор т-го порядка матрицы Якоби отображения Р, образованный элементами ее последних т столбцов, с о в и а д а е т с тем минором порядка гл матрицы Якоби отображения Р, который стоит на пересечении первых т строк и последних гл столбцов этой матрицы и, следовательно, отличен от нуля. В силу предположения индукции, найдутся открытое множество С в пространстве 2"~~ и открытое множество Н в К™ такие, что (хо, $е) Е С, ио Е Н, С х Н С У и для всякой точки (х, Ф) Е С существует и притом только одна точка и = у(х, Ф) е Ъ' такая, что Р[х, Ф, у(х, $)[ = О.
Функция Х, определенная таким обуазом, принадлежит тому же классу гладкости С',что и отображение Р. Положим Ф(х, ~) = Р +г[х,1, Х(х, $)[. дФ Д о к а ж е м, что производная — (хе, 1е) отлична от нуля. дй Дифференцируя соотношение Ф(х, $) = Р +1[х,1, З<(х, $)] по 1, полу- чим (7.6) З 7. Теорема о неявных функннях н ее приложения 377 Из условия Г]х, Ф, Х(х,1)] = 0 следует, что при каждом 1= 1, 2,..., т имеет место равенство: Г,[х, Х(х, 1), 1] = 0 для любой точки (х,1) Е С. Дифференпируя это равенство по переменной 1, получим: — '(я) + ~ — '(г) — ~(х, 1) = О, дг; "аг; ах, д1 ди д1 1=1 (7.7) где, как и выше, г = (х,1, Х(х, $)).
дФ Предположим, что производная — (хе, 1е) равна нулю. Положим — (хо,$е) = Лу. Полагая в (7.7) х = хо и Ф = 1е и дху д1 г = с = (хо, Х(хо,1о),1о), выпишем равенства, получаемые при изменении индекса г в пределах от 1 до им 0 0 (7.8) дГ дг дГ (с) + — ™(с)Л + ... + — (с)Л = О ди +1 диг ди~ дФ Предположим, что производная — (хе,1е) равна нулю. Тогда, в силу (7.6), имеет место равенство: Р а с с м о т р и м систему линейных уравнений: дгг дг1 дг1 (с)4+ — (с)(г+ .
+ — (с)(,„= О, диеь+г ди1 ди дгг дгг дгг (с)4+ — (с)6 + + — (с)~ = О, ди„,+г ди1 ди (7.10) дГ дг дг (с)4 + (с)~1 + ''' + (с)4 = 0 ди диг аи (с) ди +1 дгг ди + — (с)Лг + ... + аг ди1 дгг + — (с)Лд + ... + ди1 — (с) Л аг, ди — (с) Л аг, дит 378 Гл.
7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Определитель этой системы в точности с о в и а д а е т со значением в точке с = (хо, Фо, ио) минора матрицы Якоби отображения Р, образованным элементами последних гп+ 1 столбцов и, по условию, отличен от нуля. Отсюда, в силу известных из алгебры теорем о решении системы линейных уравнений, вытекает, что С = 6 = ~з = . = с = О.
Из равенств (7.8) и (7.9) вытекает, однако, что система чисел 1, Лы Лз,... Л является решением системы уравнений (7.10). Но поскольку 1 ~ О, то тем самым получено п р о т и в о р е ч и е. дФ Итак, допущение, что производная — (хо, ~о) обращается в нуль, приводит к противоречию и, следовательно, эта производная отлична от нуля. Применим теперь теоремы 7.1 и 7.2 к уравнению Ф(х,Ю) =О. (7. 11) г [х, ~р(х)] = Р[х, $, ~(х, 1)], где Ф = 4(х). П о к а ж е м, что Р[х,у(х)] = 0 для всякого х Е В(х,б). При 1 = 1,2,...,т имеем: Р[х,1, Л(х, 8)] = 0 на множестве С С К"+~. Полагая в выражении Е;[х, 1„"~(х, 1)] Ф = 4 (х), мы, очевидно, получим выражение Г;[х, у(х)], так что все компоненты вектора Г[х, ~о(х)], номера которых не превосходят т, тождественно равны нулю.
Согласно теореме 7.1, найдутся числа б > 0 и и > 0 такие, что если ]х — хо~ < о, а [г — Мо~ < и, то (х,1) Е С, и для каждой точки х Е К", удовлетворяющей условию ~х — хо[ < Б, существует и притом только одно значение Ф б (го — и, Фо + и) такое, что Ф(х, г) = О. Это значение Ф обозначим через ф(х). Определенная таким образом вещественная функция 4 принадлежит тому же классу гладкости, что и функция Ф, то есть 4 Е С'. Для всякого х Е В(хо,б) имеем: Ф[х, ф(х)] = О. Положим И~ = В(хо,о) и У = (1о — п,Фо + О) х Н, И' есть открытое множество в пространстве 2", Ъ' является открытым множеством в пространстве К Для всякого х Е И' = В(хо, 6) точка 1 = ф(х) принадлежит интервалу (го — п,1о + О) и, значит, (х,4(х)) Е С.
Отсюда следует, что для этого х определена точка к[х, ф(х)] = й(х). Положим р(х) = (а(х),д(х)). Имеем: 379 Задачи Имеем: Р +г[х,г, г(х,1)] = Ф(х,1). Функция «б была выбрана так, что равенство Ф[х,1б(х)] = О выполняется для всех х Е В(хо,б). Полагал г = 1б(х) в Р +г[х,1, г(х,г)], мы, очевидно, полУчим выРажение Р +д [х, «б(х), д(х)]. Отсюда следует, что для всякого х б В(хо, б) также и компонента с номером т + 1 вектора Г[х, 4 (х), 0(х)] равна нулю. Функция х «-+ («б(х), д(х)) Е К + принадлежит классу С', как следует из доказанных ранее теорем о свойствах функций классов С" (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
