1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Предположим, что отображение Т дифференцируемо в точке хе, причем бес Т(хе) ф О. Локазать, что тогда отображение Я 1 х ~-~ Т 1(х) (Т 1(х) обозначает матрицу, обратную к Т(х)) определено в некоторой окрестности точки хс и дифференцируемо в точке хо. При этом для всякого вектора Ь справедливо равенство дьд(хо) = — Т 1(х )[д Т(х )]Т (х ). Т.35.
Пусть Я = [а1,Ь1] х [аз,ЬО] х . х [О„,Ьч] — и-мерный сегмент. Предду ду положим, что функция 1: Я -+ Ж имеет в Я частные производные —, —, дх1' дхэ' ду [ ду ..., — и существует постоянная М такая, что ~ — (х) ~ < М для всех х Е Я ' дх„ ] дх; и для всех 1 = 1,2,...,п. Доказать, что функция у равномерно непрерывна на Я. Т.36. Пусть у: [а, Ь] — ~ Н есть неотрицательная выпуклы функдия класса С1.
Зададим в отрезке [а, Ь] произвольным образом точки хо = а < х1 < хз « < хт = Ь, и ПУсть МО = (хо, У(хо))1 М1 = (х1, ~(х1))1 ° ..; Мез = (хна,,[(хтп))~ А = (О, 0); В = (Ь, 0). Соединим последовательно точки МО, М1,..., Мэ, 1, Ме, отрезками, и пусть ЯΠ— площадь сегмента, ограниченного отрезком М; 1М, и дугой М; 1М; графика функции 1. Показать, что сумма Я = ~, о1 будет достигать своего наименьшего значения 1=1 в том и только том случае, если при каждом з = 1,2,...,т — 1 касательная графика функции у в точке М;параллельна прямой М; 1М1+1. Т.ЗТ.
Пусть у:[О,Ь] — + й есть положительная выпуклая функдия класса С . Зададим в отрезке [а, Ь] произвольным образом точки хе = а < х1 < хз « - .. < хл, = Ь. Пусть М, = (х;, у(х1)), з = О, 1,..., пз — 1. В каждой точке М1 проведем касательную графика функции 1. Пусть У; есть точка пересечения касательных графика в точках М; 1 и М;. Обозначим через ЯО площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой М; 1М, графика у и отрезками М, 111 и УОМ1.
Пусть Я = ~, Яз. Локазать, что величина Я будет 1=1 достигать минимума в том и только в том случае, если точка М; является серединой отрезка Ъ; 111 при з = 1, 2,..., та — 1. Т.З8. Лана функдия пз переменных хиб з = 1, 2,..., п, у' = 1, 2,..., и, ь/3 .г'(Х) = ~ ~ Х; — иьУ ЙЕ1 []Х14[]. 1=1 4=1 385 Задачи Найти минимум функции Г. Вывести из результата нераеенстпео Адамара: а / а ; 1/2 (бей)(х11)(! < П ~~1 хг ) 1=1 1=1 7.39.
Пусть У С Ка — открытое множество, хо Е У. Функция 1р: У вЂ” ~ К" (т — 1)-кратно дифференцируема в У. Доказать, что функция /: х ~-~ (х — хо)~ог(х) (а = (аз,ог,...,о„)— мультииндекс такой, что )о( = т) т-кратно дифференцируема в точке хо. Т.40. Даны: а-мерный куб Я С Жа и функпия у 1 Ц вЂ” ~ 1й™, принадлежащая классу С'(Я). Оценить остаток 41орльулы Тейлора, хо Е Я, Ра/(хо) о<)а)«. через модули непрерывности производных порядка т+ 1 функции /.
7.41. Дана вещественнол функция /, определеннол и т-кратно дифференцируемая на шаре В(хо,л) пространства П". Предположим, что /(хо) = О и айУ~ = 0 при Ь = 1,2,...,т — 1. Доказать, что если ~Р'*/(х)~ < М, где М = сопз1 < оо для всех х Е В(хо, В) и всех о таких, что (о! = т, то для всех Х ч В(ХО, 1С) Мне~о ~~(-)~<, ~х-*о~" г'. 7.42. Пусть /: У вЂ” ~ П (У С й" — открытое множество) функция класса С~(У), Ь > 1, хо Е У. Зададим произвольно векторы Ь1,Ь2,...,Ьй Е П" и положим: ~1 У(хо, ЬП11г,,Ьй) = у(хо+ Ь1„+Ь1~+ +Ь;1). Е 'ь/'( 1)й-1 1<11« "1.<й Доказать, что У(хо~ 2Ь1 ~ 2Ь2,...,Ицс) 1щ й ай„... дй, а„у(*,).
е о 2 Доказать, что существует 1~ |(хо, 11 Ь1, 12 Ьг,, 2 й Ьй ) 1пп 111лз,..лй)- о з1 'зг ° ° ° ей (предел берется по множеству всех (11, 12,, гй) е кй, для которых е1 ° 12 °.... гй ~О). 7.43. Пусть В = В(хо,т) — замкнутый шар в пространстве К". Функция /:  — ~ 1к непрерывна в В и дважды дифференцируема в шаре Во = В(хо, т). 386 Гл. 7. Пифференциальное исчисление функций многих переменных Предположим, что функция ?' обращается в нуль на границе шара В(хо, г), а ее вторые производные ограничены.
Оценить величину зпр (Дх)( через величину хеВ(хо,г) 1/2 ЛХ1 = зпР х б.во Оценить величину зпр Щх)! через величину: хЕВ(хог) 1/2 ~(й) ] Мз = зпР хЕВо 7.44. Пусть ЯИ' есть множество всех точек (х1,хз,хз) Е )ко, для которых имеет решение следующая система уравнений: 1~ + х11~ + хэви + хз = О, 4$ + 2х11+ хг = О. Найти все точки (х1, хз, хз) б ЯИг, в которых ранг данной системы уравнений равен 1, а также точки,в которых этот ранг равен О. (П р и м е ч а н и е. Множество, определяемое данной системой уравнений, встречается в теории особенностей дифференцируемых отображений, в кото- рой оно имеет название «ласгпочиин хвосщ» ("зшайош1абх или "Йоие1аП").) Исследовать кривую, получаемую в пересечении множества Яхх' плоскостью *з =Ь.
При каких значениях Ь это сечение есть кривая, имеющая точки возврата? Лля каких Ь можно утверждать, что эта кривая не имеет точек возврата? Глава 8 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ КРИВЫХ В И" ° Свойства функций, представленных интегралами, зависящими от параметра ° Интеграл линейной дифференциальной формы вдоль кривой ° Понятие замкнутой дифференциальной формы ° Общая теорема о представимости дифферендиальной формы как дифференциала функпии ° Лемма о континуальвом принципе индукдии ° Понятие индекса точки на плоскости относительно замкнутой кривой ° Показательство теоремы о неподвижных точках с использованием понятия индекса точки ° Показательство основной теоремы алгебры с использованием понятия индекса точки ° Функции ограниченной вариации со значениями в балахоном пространстве ° Свойство аддитивности вариапии функции ° Теорема о непрерывности вариации как функции параметра ° Плина кривой ° Представление длины кривом в виде интеграла ° Интеграл Стилтьеса ° Свойство аддитивности интеграла Стилтьеса ° Основная теорема о существовании интеграла Стилтьеса ° Определение интеграла дифференциальной формы первой степени по спрямляемой кривой ° Интегральная кривизна кривой ° Теоремы о приближении интегральной кривизны кривой кривизнами вписанных ломаных ° Теорема Александрова ° Неравенство Фенхеля ° 388 Гл.
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ки ~ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой Здесь будет определено и исследовано понятие интеграла дифференциальной формы первой степени вдоль параметризованной кривой. При этом рассматриваются только те дифференциальные формы, коэффициенты которых суть непрерывные функции, и параметризованные кривые, удовлетворяюпэие условию кусочной гладкости.
Произвольная вещественная функция У класса С, заданная на открытом множестве У пространства К", определяет на множестве У некоторую линейную дифференциальную форму й? — дифференциал функции ?. Возникает, естественно, следующий вопрос. Предположим, что на множестве У определена линейная дифференциальная форма Г(х). Существует ли функция 1 (х) класса С~, дифференциалом которой является эта форма? Это равносильно следующему.
Пусть даны вещественные функции Гы Гз,..., Г„, определенные на множестве У С К . Существует ли функция ? такая, что Г;(х) = — (х), г =1,2,...,п, ду дх; для всех х Е У? Н е о б х о д и м о е условие для этою вытекает из тпеоремы о симметаричности вторых производных (глава 7, теорема 3.1). Если функция,?', для которой выполняются данные равенства, принадлежит классу С~, то имеют место равенства: д'У д'У дх;дх, дх,дх; Отсюда следует, что для любых з', з' = 1, 2,..., п имеют место равенства дГ, дГ; — '()= — '(). дх; дх, Здесь доказывается, что при некоторых предположениях относительно строения области определения формы Г условие выполнения последних равенств является также и д о с т а т о ч н ы м для того, чтобы дифференциальная форма Г была дифференциалом некоторой функции.
В этом и последующих параграфах используются свойства функций, представленных интегралами. В полном объеме эта тема будет исследоваться во второй части книги. Простейшие результаты, которые понадобятся здесь, приводятся в начале данного параграфа. З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 389 1.1. Свойствл функ ий пРндстлвлннных интнгРлллми ЗАВИСЯ ИМИ ОТ ПАРАМЕТРА Зададим произвольно открытое множество У в пространстве К" и отрезок [а,Ь] С Й. Предположим, что для всякой точки х е У и любого числа 1 Е [а, Ь] определено некоторое вещественное число у(х, 1), причем для всякого х Е У функция 1(х, г), как функция переменной Ф, интегрируема по промежутку [а, Ь]. Положим: (1.1) Согласно предположению, величина Г(х) определена для всех х Е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
