1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Экстремумы функций многих переменных точек экстремума для функций одной переменной, которое выражается теоремой Ферма (теорема 4.1 главы 4), д'(0) = О. Имеем: д'(0) = аГ(а; Ь). Вектор Ь Е К" был выбран произвольно. Следовательно, для всякого Ь Е К" выполняется равенство аГ(а; Ь) = О. Это и означает, что дифференциал функции Г в точке а равен нулю. Д о к а ж е м теперь утверждение, относящееся к случаю, когда функция Г принадлежит классу Сз. Зададим произвольно вектор Ь Е К" и положим, как и ранее, д(Ф) = Г(а + гЬ). Функция д принадлежит классу С~.
Если а есть точка минимума функции Г, то 0 есть точка минимума функции д, и, значит, д (0) = О, д (0) > О. Имеем: д (0) = а Г(а; Ь). Мы получаем, таким образом, что для всякого Ь Е К" значение второго дифференциала функции Г в точке а на этом векторе Ь— неотрицательно. Тем самым нами д о к а з а н о, что он представляет собой неотрицательную квадратичную форму. В случае, когда а есть точка максимума функции Г, рассуждения проводятся аналогично. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е.
Пусть дана функция Г: У вЂ” + К, где У есть открытое множество в пространстве К". Тогда условие — дифференциал функции Г в точке а тождественно равен нулю — равносильно следующему. Функция Г дифференцируема в точке а и все ее частные производ- дГ ные — (а) в точке а равны нулю.
Справедливость этого следует из дха представлению НГ(а) = ~~~ — (а)йх;, дГ дх; с=г Предположим, что функция Г, определенная на открытом множестве У пространства К", дифференцируема в точке а Е У. Точка а называется стационарной точкой функции Г, если дà — (а) =0 дх, для всех з = 1, 2,..., и. 364 Гп. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Теорема 6.1 утверждает, таким образом, что если точка а Е П, где П вЂ” открытое множество в К", есть точка экстремума функции Р, то а есть стационарная точка функции Р.
Об атное вооб е гово я н е в е н о как ви но из нижесл ю Пр ~о д. пр, п= о' р.. „ор„, о р, Г( ) 2 2 Точка О, очевидно, есть стационарная точка функции Р. В то же время в любой окрестности точки 0 она принимает как значения, большие 0 = Р(0), так и значения, меньшие Р(0) = О. пя оеар. и„...« ° рр р~ р р,,с=о~ =~о,о)=о. Положим Рд(хд,хг) = хд+хг, Гг(хд,хг) = х, +хг. Начало кооРдинат 2 3 2 4 0 является стационарной точкой для каждой из функций Гд и Гг. 1 д / 1д Имеем: Рд (О, — ) > 0 и Рд ~0, — — ) ( О. Отсюда ясно, что 0 не п) п~ является ни точкой минимума, ни точкой максимума функции Рд. Для любых хд,хг Рг(хд,хг) > 0 = Рг(0,0), откУда следУет, что 0 есть точка минимума функции Рг. Особенность данного примера, отличающая его от предыдущего, состоит в следующем. В примере 1 второй дифференциал функции Р в точке 0 есть квадратичная форма 2дхд — 2д1хг.
Эта квадратичная форма не является ни неотрицательной, ни неположительной. Поэтому тот факт, что 0 = (О, 0) не есть точка локального экстремума функции Р, непосредственно вытекает из теоремы 6.1. В данном случае, как для функции Гд, так и для функции Рг, второй дифференциал в точке 0 есть квадратичная форма 2дх~д. Эта квадратичная форма — неотрицательна. В то же время, как мы видим, 0 есть точка экстремума для функции Рг и не является точкой экстремума для функции Рд. 6.2. ОстАтОчные УслОВиЯ экстРемУмА Следующая теорема показывает, что если несколько усилить требования, налагаемые на второй дифференциал функции в данной ее стационарной точке, то мы получим достаточные условия экстремума, похожие на необходимые условия, устанавливаемые теоремой 6.1.
° Теорема 6.2 (достаточные условия экстремума). Пусть даны открытое множество сд в пространстве д4" и функция Р: др' — ри класса Сг. 365 'З 6. Экстремумы функций многих переменных Доказательство. Пусть Р: У вЂ” К есть функция класса С~. Предположим, что в точке а Е У первый дифференциал функции Г равен нулю, а второй представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Применяя форльулу Тейлора с остаточным членом в форме Пенно, получим: Р(х) = Р(а) + — й Р(а;х — а)+ а(х)!х — а~, (6.2) 2 где а(х) — О при х — а. По условию, квадратичная форма ь!~Р(а; с) — положительно определенная и, значит, согласно лемме 6.2, найдется Л > О такое, что для всякого вектора ( Е К" выполняется неравенство: д Г(а; ~) > Лф . Применим это неравенство к п р а в о й части неравенства (6.2), полагая в ней х — а = ~. В результате получим, что для всех х Е У выполняется неравенство Р(х) > Р(а) + ( — + а(х)) !х — а~~, (6.3) Л Л Предел выражения — + а(х) при х — + а равен — > О и, значит, в 2 2 силу известных нам свойств предела, найдется б > О такое, что для всякого х Е У, для которого !х — а~ < б, выполняется неравенство Л вЂ” +а(х) > О.
2 Для таких х будем иметь: Р(х) = Г(а) + ( — + а(х)) !х — о~ > Р(о). Тем самым д о к а з а н о, что а есть точка минимума функции Г на множестве У. Заметим, что если !х — а~ < б и х ф а, то Р(х) > Р(а) (неравенство строгое!). Предположим, что точка а Е У является стационарной точкой функции Р. Тогда: если второй дифференциал функции Р в точке а есть положительно определенная квадратичная форма, то а является точкой минимума функции Г; если второй дифференциал функции Р в точке а есть отрицательно определенная квадратичная форма, то а есть точка максимума функции Р. 366 Гл. 7.
дифференциальное исчисление функций многих переменных Предположим, что а есть стационарная точка функции Р и ее второй дифференциал в этой точке есть отрицательно определенная квадратичная форма. Положим Рг(х) г— н — Г(т). Функция Рг принадлежит классу С~, точка а является ее стационарной точкой, а ее второй дифференциал есть квадратичная форма д Рг(а;с) = — Н Г(а;~) и, следовательно, представляет собой положительно определенную квадратичную форму. В силу доказанного, отсюда вытекает, что а есть точка локального минимума функции Ры и, значит, а есть точка локального максимума функции Р = — Ры Теорема доказана полностью.
° Читатель может заметить что межд н е о б х о и м ы м и словиями тео емы 6.1 и о с т а т о ч н ы м и словиями тес емы 6.2 имеется некого ое «асхож ение». Если а 6 У есть стационарная точка фунхции Р Е С и второй дифференциал функции Г в точке а есть неотрицательная квадратичная форма, то примеры, приведенные выше, показывают, что в этом случае точка а может не быть точкой экстремума функции Г. Единственное, что мы можем утверждать в этом случае, — если второй дифференциал функции Р в точке а не равен тождественно нулю, то а не является точкой максимума функции Р. Если, однако, несколько усилить требования, налагаемые на второй дифференциал функции Р в точке а, а именно, — потребовать, чтобы второй дифференциал функции Р в этой точке был положительно определенной квадратичной формой, то а будет точкой минимума функции у.
Для функций одной переменной в случае, когда в некоторой точке первая и вторая производные функции обращаются в нуль, ответ на вопрос — будет ли эта точка точкой экстремума функции — можно найти, привлекая производные более высоких порядков. Для функций многих переменных имеются лишь отдельные результаты, полезные при исследовании функции на экстремум в случаях, когда ответ не удается получить, используя производные первого и второго порядка (см.
далее задачу 7.26). Необходимость в нахождении точек экстремума фушсдии возникает при решении задачи об отысхании наибольшего и наименьшего значений функции. Для функций многих переменных эта задача оказывается значительно сложнее, чем для функций одной переменной. Ее решение требует весьма кропотливого исследования, рассказать о котором даже в самых общих чертах здесь не представляется возможным.
Теоремы, доказанные в этом параграфе, представляют собой лишь один из этапов такого исследования. 367 ~ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения ~ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения Для фунхций одной переменной в главе 4 была доказана теорема о дифференциальных свойствах обратной функции. Для функций многих переменных мы пока не имеем теоремы такою рода. Более того, в нашем распоряжении нет подходящих общих теорем о существовании обратной функции.
Цель настоящего параграфа — восполнить хотя бы частично этот пробел в изложении дифференпиального исчисления для функций многих переменных. Следует сказать, что для функций многих переменных ситуация оказывается существенно сложнее, чем для функций одной переменной. Рассмотрим следующую задачу. Дано открытое множество с1 в пространстве К", где >з' = п + т, и функция Р: Ц вЂ” > К™. Изучим уравнение Р(х1, хг,... х„, У1,...
у ) = О. Данное уравнение равносильно следующей системе из т уравнений, левые части которых есть вещественные функции: т >х1> х2> ° ° ° ха> У1> ° ° ° Ут) = О, Р(Х1р Х2> ° ° ° Ха > У1> ° ° ° Ут) = О, Р(х1,хг,. х,уы у ) = О. Пустьс= (а1,аг,...,а„,Ь1,...Ь ) есть решение этойсистемы, то есть К;(а1, аг,..., аа, Ь1, . Ь, ) = О при каждом 1' = 1, 2,..., гп. В этом параграфе устанавливаются условия, когда данная система в выбранной надлежыцим образом окрестности точки с Е и" может быть разрешена относительно переменных у1, уг,..., у, то есть заменена эквивалентной ей системой вида: у1 = у1(х1,хг,...,Х„), У2 = >рг(Х1> Х2,...
> Ха)р У = >>зт(Х1,хг, °,х ). Исследование вопросов, рассматриваемых здесь, будет продолжено во второй части этой книги — в главе 10. Там же приводятся доказательства основных результатов этою раздела, основанные на других соображениях. 368 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 7.1. ПРОСТЕЙШАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНК ИЯХ Здесь мы докажем простейший частный случай теоремы о неявных функциях, получаемый, когда система уравнений состоит из одного уравнения. Доказательство общего результата, который будет приведен в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
