1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В современных руководствах по математическому анализу дифферендиал порядка т > 1 определяется как некоторая симметрическая полилинейная форма. Такой подход требует достаточно пространного алгебраического введения. Определение понятия дифференциала порядка т, принятое здесь„не требует привлечения какой-либо алгебраической техники, кроме той, которая нам уже известна. 5.1. ПРименение еОРмулы ТейлОРА к Вычислению чАстных НРОИЗВОПНЫХ Предположим, что функция 1: У -+ К™ определена на некотором открытом множестве У пространства 11" некоторой аналитической формулой.
Мы понимаем под этим то, что отыскание значений функции у сводится к выполнению конечного числа алгебраических действий и вычислению значений элементарных функций. Предположим, что для функции у: У вЂ” + 2, принадлежащей классу С', построен полинам Р степени не выше т, такой что ~(х) = Р(х) + о(~х — а~') при х — ~ а.
Тогда, согласно теореме 4.3, Р есть полинам Тейлора поркдка т функции Г в точке а и, значит, его производные в данной точке равны соответствующим производным функции г. Задача вычисления производных функции тем самым сведена к задаче определения производных полинома, то есть к задаче, в првзщипе, более простой. Если с самого начала полинам Р дан в форме разложения по степеням х — а, то отыскание его производных в точке а, вообще, не вызывает трудностей. А именно, пусть Р(х) = ~) Аа(х — а) )а(<г 340 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Тогда, как мы знаем, Р Р(а) = а!А П ив ем сотые сорб ажения кото ые мог т быть полезными п и вменении сказанного выше. Пусть ~1: У вЂ” + И, 1' = 1,2,..., к, — произвольная конечная система функций, определенных на открытом множестве У пространства 2", Р есть их сумма.
Тогда: если Ях) = о(!х — о!") при х -+ а при каждом !', то также и Р(х) = о(!х — о!") при х — + а; если и(х) = о((х — а(~), а о(х) = 0((х — о(~) при х — ! о, причем Й+ 1 > т, то и(х)о(х) = о(!х — а!') при х — + о; наконец, если и есть функция вида и(х) = А(х — а), причем ~а~ > т, то и(х) = о(!х — а!") при х — + о. Справедливость данных предложений, очевидным образом, следует из свойств пределов и бесконечно малых функций, установленных ранее. Рассмот им некото ые п и м е ы на и уложение тео ем 4.1 и 42 относительно о м лы Тейло а с остаточным членом в о ме Пеано. 1.
Построим а н а л о г формулы Лейбница для частных производных функций мноеих переменных. Пусть 71: У вЂ” )к, 1 = 1,2,...,т, — функции класса С', т > 1, определенные на открытом множестве У пространства К и 1 = угу... у — их произведение. Возьмем произвольно точку р Е У. Наша ближайшая цель — построить полипом Р степени не выше т такой, что Дх) = Р(х) + о(!х — р!') при х -+ р. Пля этого мы напишем сначала формулы Тейлора порядка т в точке р для каждой из функций Д, г = 1,2,...,т. Имеем: 1!(х) = ,'! ! (х — р) ' + о!(х)!х — р~', Е~" У!(р) а!! )сс!(йг где о;(х) -+ 0 при х — ! р.
Перемножим почленно равенства, получаемые, если последовательно положить здесь 1 = 1, 2,..., т. Раскрывая скобки, получим некоторую конечную сумму. Те слагаемые этой суммы, которые содержат в себе множители вида: <т;(х) !х — р~" (эти слагаемые, очевидно, возникают из остаточных членов перемножаемых формул Тейлора), суть величины порядка о(!х — р!") при х — ! р.
Сумма будет содержать в себе также слагаемые вида: Л(Р)О Ь(Р) О ~У(Р) ( )а1+аг+" +е„, (б 1) а1!аэ!... а ! 341 З 5. Вычисление частных производных Каждое такое слагаемое в случае, если для него (од(+(аз!+ . +(а ( > т, есть величина порядка о(!х — р!") при х — р. Принимая сказанное во внимание, получим: у(х) = Р(х) + о(!х — р!'), где Р есть сумма всех возможных мономан вида (5.1), удовлетворяющих условию: )ад(+ )аг)+ .. + )а ! < т. Очевидно, Р есть полипом степени не выше т и, значит, в силу теоремы 4.2, Р есть валином Тейлора порядка т функции ~ = тг~з...
!" в точке р. Производная Р Др) равна умноженному на а! коэффициенту при (х — р) в разложении полинома Р по степеням х — р. Слагаемое В (х — р) этого разложения полинома Р является суммой всех тех выражений вида (5.1), для которых аг+ аз+ . + а = а. Имеем: Р Др) = а!В . Окончательно заключаем, что производная Р ~(р) равна следующей сумме: где суммирование производится по множеству всех наборов п-мерных мультииндексов а1, аз,..., а таких, что ог + аз + . + а = а. Это и есть искомое обобщение формулы Лейбница. 2. Пусть У есть множество всех точек х = (хм ха,..., х„) таких, что х, < 1 при каждом 1 = 1,2,...,и, и пусть функпия й: У вЂ” !й определена равенством: 1 й(хыхз,...,х )— (1 — хг)(1 — хз)...(1 — х„) При каждом г' = 1, 2,..., и имеем: = 1 + хв + х1 + ''' + хв + хф 1 — х, Полагая здесь 1 = 1,2,...,п, перемножая полученные равенства почленно и раскрывая скобки, получим некоторую конечную сумму, которую обозначим Е,.
Имеем: г+1 = о()х!") 342 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных при х — + 0 при каждом г' = 1, 2,..., и, откуда следует, что те слагаег+г мые, входящие в сумму Е„, которые содержат множитель *, суть 1 — х, величины порядка о(!х!') при х — О. Все остальные слагаемые, входящие в Е„имеют вид: а1 аэ а„а х хз ...х„=х, где числа а, — пелые, 0 < оп < т при каждом з. При этом слагаемое х в сумме Е„появляется в точности о ин аз как результат перемножения члена с номером ее1 первого множителя произведения (нумерацию мы начинаем с нуля), которому равна Е„, члена с номером аз второго множителя и т.
д. Те слагаемые, входящие в Е„, для которых !ег! > т, суть величины поряцка о((х!") при х — О. Окончательно получаем: д(х) = ~~~ х + о()х)") (5.2) !а!Кс при х — + О. Сумма с и р а в а есть полипом степени не выше т. В силу теоремы 4.2 о характеристическом свойстве полинома Тейлора, отсюда следует, что ~~~ х есть полипом Тейлора порядка т функции д (а)<т в точке О. В частности, с у м м а тех членов этого полинома, для которых (а! = т, равна д'д(0; х) т.' Мы получаем, таким образом, что имеет место равенство: И"д(0;х) = т! '~ х".
(5.3) )а)=т Равенство 5.3 именим ля ешения о ной комбинато ной за ачи ставляю ей оп еленный инте ес с точки з ения обс ж аемых ~ф~ магид, Пусть т > 0 и и > 1 — целые числа. Обозначим через М(т, и) множество всех и-мерных мультииндексов, порядок которых не превосходит т, И!т, и) — множество всех п-мерных мультииндексов сг, для которых !а! = т. Число элементов множества М(т, и) обозначим через п(т, п). З 5. Вычисление частных производных 343 (5.4) п(т,п) = и(т,п+ 1). Покажем, как спомоппюравенства (5.3) найтичисла д(т,п) и и(т, и). В равенстве (5.3) в качестве х возьмем вектор, все компоненты которого равны 1.
Тогда каждое слагаемое в правой части (5.3) будет равно 1 и мы, следовательно, получаем: д й(0; х) = тЪ(т, п). Найдем величину и"д(0; х), применяя для этого формулу: д д(0;х) = — ~д(Мх)~ ~ В данном случае й($х) = 1 Пля всякого Л имеем: И 1 Л щ (1 цл (1 ~)л+л ' Применяя это равенство, найдем, что <Г 1 п(п+ 1)... (и+ т — 1) Ят (1 ~)о (1 ~)ть+г Отсюда И" — [д(Фх))~ =п(п+1)...(п+т — 1) пс' 1з=о и, значит, тЪ(т,п) = й"9(0;х) = п(п+ 1)...
(и+ т — 1), Пусть и(т,п) означает число элементов множества И(т,п). Пусть дан и-мерный мультииндекс а Е М(т, п). Через з(а) обозначим и + 1-мерный мультииндекс 4 такой, что Д = ол при 1 < 1 < и, а 13„+1 = т — ~а~. Тем самым определено отображение у: М(т, и) -+ Ж(т, п + 1). Нетрудно видеть, что это отображение биективно.
Отсюда вытекает равенство 344 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных откуда п(п + 1)... (п + т — 1) п(т, п)— т.' — а+т-ы где Сь суть обычные биномиальные коэффициенты. Применяя равенство (5.4), получаем: юю(три) = Са+т. Значения чисел р(т, п) и и(т, п) можно найти также и без помощи той аналитической техники, которая была нами использована. к „° ° м[ю,) кр,) элемента — м льт екса О, так что р(О,п) = 1, 1(О,п) = 1. Очевидно, "( ") =0 "(" п) ь=о Так как множества Х(Й, п) попарно не пересекаются, отсюда вытекает равенство: г ,и(т,п) = ~~~ и(к,и). ь=о (5.5) Заметим, чтодлялюбогот (5.6) н(т,1) = 1. Соотношения (5.4), (5.5) и (5.6) достаточны для того, чтобы найти значения чисел р(т, п) и и(т, и) для любых т и п.
5.2. Исчисление полиномиАльных ФОРМ т! л Е К" ю-ю сГ"У(х; Ь) = ,'~ —,Ю Ях)Ь". 1а)=т Вве ем некото ый о б и й к л а с с объектов кото ый включает в себя понятие и е е цала по ка т нк ии о еленной на множестве У. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Предположим, что дана функция у: У вЂ” ю К, принадлежащая классу С'. Тогда для всякой точки х Е У определен однородный полипом степени т— дифференциал порядка т функции Г" в точке х: З 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
