1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Предположим, что Х(У) С К Тогда функция Е = д о у определена на множестве У и принадлежит тому же классу С'. З 5. Вычисление частных производных 357 Пусть х означает произвольную точку 2, произвольную точку К будем обозначать символом у. Имеем: — (х) = ,'р — [дх)] — у(х) дГ дд дД (5.24) при каждом 1 = 1, 2,..., т.
Умножая обе части этого равенства на дху и суммируя по 1', получим: ада=~ — д[Ю]м,=~ — ' т ду,. дд, 1=1 1=1 Отсюда т РР( )=ЦЫ( Я=~~ Н~ — ~ УУУ1]. р ()=~у[З ° у]уус,~( з ° у]гус. дд, 1=1 Заменяя в равенстве (5.24) д на —, получим: дд дду ' шр( ) =~~( ~ ~ ° у)уууу;~~( 'д ° у)уу,, 1=1 1=1 У=1 Имеем: "УУ = Е а р "'1 = С О др 9 р=1 а=1 Окончательно получаем: ""()=ЕЕ ЕЕ (" " ~ дид 1д71 дЛ~ ~дд,дуу ~ дхрдхч [ р=1 ч=1 р=1 в=1 Применяя правило дифференцирования дифференциальных форм, получим: 358 гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных (5.25) Осталось отметить, что выражение ~-~"- д'д ОУ, аУ, ~~ ~— ~ дуйду; дтр дтэ симметрично относительно р и д. Правая часть равенства (5.25), таким образом, дает нам тензорное представление полинома о~г'(т). Коэффициенты тензорного представления однозначно определены.
Согласно равенству (5.16) заключаем, что 56. Экстремумы функций многих переменных Понятие точки локального экстремума для функций многих переменных определяется совершенно аналогично случаю функций одной переменной (см. главу 4) . Точка а из области определения некоторой функции ~ есть точка локального минимума функции, если для всех х, достаточно близких и а, Дт) > ~(о), и, аналогично, а есть точка локального максимума функпии ~, если До) > ~(т) для т, достаточно близких к а (точные формулировки см.
далее). Здесь устанавливаются некоторые необходимые и некоторые достаточные условия локального экстремума для вещественных функлий, определенных на открытых множествах пространства Е". Простоты ради, мы будем далее применять термин «точка максимума», вместо «точка локального максимума». Аналогичным образом понимаются термины: «точка минимума» и «точка экстремума».
6.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Пусть даны метрическое пространство (М, р), функция г': М вЂ” + и и точка а е М. Говорят, что а есгпь точка локального минимума функции ~, если существует е > 0 такое, что для всякого и Е М, для которого р(х, а) ( е, выполняется неравенство: г (х) > Г(а). 359 З 6. Экстремумы функций многих переменных Точка а Е М называется точкой локального максимума функции Р: М вЂ” К, если существует в > О такое, что для всякого х Е М, для которою р(х, а) < в, имеет место неравенство: Р(х) < Г(а).
Будем говорить, что а и М есть точка локальноео экстремума функции Р: М вЂ” ~ 2, если а есть или точка локальноео максимума, или точка локальноео минимума этой функции. Если а есть точка локального минимума функции Р: М вЂ” 2, то а будет точкой локального максимума функции Р1 = — Р, а если а есть точка локального максимума функции Р, то а есть точка локального минимума функции Р1 = — Р. Ланное замечание позволяет утверждения, касающиеся локальных максимумов функции, получать как следствия аналогичных утверждений относительно локальных минимумов, и наоборот. Палее, как указано в аннотации, термин «локальный»,как правило, опускается.
Следующее утверждение также будет использовано нами в дальнейшем. ° Лемма 6.1. Пусть даны метрические пространства (Мы рг) и (Мз, рз), отображение у: М1 — Мз и функция Р: Мз — К. Предположим, что функция у непрерывна в точке а Е М1 и Ь = р(а) есть точка максимума (минимума) функции Г. Тогда а является точкой максимума (соответственно, минимума) функции С = Р о у.
Доказательство. Предположим, что Ь есть точка минимума функции Р. Согласно определению, это означает, что найдется в > О такое, что если рз(у, Ь) < в, то Г(у) > Ь. Так как отображение х, согласно предположению, непрерывно в точке а, то найдется Ь > О такое, что если р.(х,а) < Ь, торэ(~р(х),Ь) < в, и, значит, в силу выбора в > О, Р[~в(х)] > Р(Ь).
По определению, это означает, что а есть точка минимума функции Р о у. Случай, когда Ь есть точка максимума функции Р, рассматривается аналогично. Следует только надлежащим образом изменить знаки неравенств в проделанных рассуждениях. Лемма доказана. м Напомним некото ые сведения относительно ква атичных о м. Вещественной квадратичной формой и переменных называется функция Я: 1к" — К, допускающая представление Я(х) = ~~ ~~~ а эх,хв, где а,з — вещественные числа такие, что а,й = ахч для любых г, э' = 1, 2,..., и. 360 Гл.
7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ю[ЦУ)) У1 + ' ' ' + у~ У~~-1 ' ' ' Уг+т~ (6.1) где г > О, т > О, т + т < и. Напомним, что линейное отображение Ь: И" — И" называется невырожденным, если оно взаимно однозначно отображает Е" на себя. Из алгебры известно, что для того чтобы линейное отображение было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этого отображения был отличен от нуля.
Правая часть равенства (6.1) есть квадратичная форма и переменных ум уз,..., у . Обозначим ее символом Р„(у). Имеем, очевидно: Форма Р, в равенстве (6.1) называется диааональным представлением Формы Я. Если квадратичная форма Я вЂ” н е о т р и ц а т е л ь н а, то в ее диагональном представлении отсутствуют слагаемые со знаком а — з, то есть диагональное представление Я в этом случае есть форма Р,,о. Пействительно, если г = и, то доказывать нечего. Если Я есть квадратичная форма и переменных, то для всякого числа Л 6 К и любого х Е И" имеет место равенство: Я(Лх) = Л~Я(х).
Квадратичная форма называется неотрицательной (неположительной), если Я(х) > О (ь)(х) < 0) для любого вектора х. Говорят, что Я вЂ” положительно определенная Форма, если Я(х) > О для всякого ненулевого вектора х Е и' Если для любого х ф 0 имеет место неравенство Я(х) < О, то говорят, что Я есть отрицательно определенная квадратичная Форма и переменных. Ясно, что если квадратичная форма Я неотрицательна, то форма — Я неположительна, и обратно, из неположительности формы -Я следует неотрицательность формы Я. Аналогичным образом, если форма Я вЂ” положительно определенная, то форма — Я является отрицательно определенной, а если форма Я вЂ” отрицательно определенная, то форма — Я является положительно определенной. В курсе алгебры устанавливаются критерии неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы.
Известно, что для всякой квадратичной формы Я от и переменных супгествует невы- рожденное линейное отображение Ь: 2" -+ 2" такое, что имеет место равенство: З61 З б. Экстремумы функций многих переменных Предположим, что г < и и т > О. Пусть Р есть множество всех тех у Е К", у которых первые г координат равны нулю, Р есть подпространство К". Так как, по предположению, г < в, то Р содержит векторы, отличные от нуля. ПустьуЕРиу+1фО. ЕслитфО,тоР„, (у) <О. Положим х = Х (у). Имеем: Я(х) = Рптп(Х (х)] = Ртпъ(у) < О. Мы приходит к п р о т и в о р е ч и ю с тем,что квадратичная форма Я неотрицательна. Если квадратичная форма Я вЂ” п о л о ж и т е л ь н о определенная, то ее диагональное представление есть форма Р„о(у) = ~у~~. Действительно, в силу неотрицательности формы Я, ее каноническое представление есть форма Р„,о.
Предположим, что т < и. Тогда для вектора у, у которого у,+г = 1 и у; = 0 при з ф г + 1, выполняется равенство: Р,о(у) = О. Пусть х = Цу). Так как Х есть невырожденное линейное отображение, то х ф- О. В тоже время имеем: Я(х) = Р„д(у) = О, что и р о т и в о р е ч и т тому, что форма Я вЂ” положительно определенная. ° Лемма 6.2. Если квадратичная форма Я: К" — К является положительно определенной, то существует постоянны Л > 0 такал, что для всякого вектора х Е К вылолляется неравенство Я(х) > Л~х~ Доказательство.
Пусть Я вЂ” положительно определенная квадратичная форма. функция Я непрерывна в К". Сфера Я(0, 1) есть ограниченное замкнутое множество в пространстве К" и, значит, как было показано в з 6 главы 6 (следствие теоремы 6.4), Я(0, 1) является компактным множеством. В силу теоремы Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях (теорема 6.5 главы 6), найдется точка хо Е Я(0, 1) такая, что 9(х) > Я(хо) для любого х Е Я(0, 1).
Положим Л = Я(хо). Так как квадратичная форма Я вЂ” положительно определенная и )хо~ = 1, то хо Ф 0 и, стало быть, Л > О. 362 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Возьмем произвольно х Е К". Л о к а ж е м, что имеет место неравенство Я(х) > Л(х)~. Если х = О, то это в е р н о. Пусть х ф О. Положим Имеем: )Ь( = 1 и, значит, Ь Е 5(0, 1) и Я(Ь) > Л.
Пля всякого Ф Е Ж, каково бы ни было х Е И", имеет место равенство фФх) = Ф Я(х). Отсюда получаем: Я(х) = Я(!х!Ь) = !х!~Я(Ь) > Л~х/~. Лемма доказана. ° Установим некото ые необхо имые и некого ые остаточные словца локального экст ем ма ля нк ий оп еленных на отк ытых по- множествах п ост анства К". Справедливо следующее предложение. ° Теорема 6.1 (необходимые условия экстремума). Пусть П есть открытое множество пространства и'" н Г есть ветцественная функция, определенная на множестве П.
Предположим, что а Е П есть точка экстремума функции Г. Тогда: если функция Г дифференцируема в точке а, то ее дифференциал в этой точке тождественно равен нулю; если функция Г принадлежит классу С~, то ее второй дифференциал в точке а есть квадратичная форма: н е о тр и ц а тель на я, если а есть точка минимума Г, и н ел о ложи т ель и а я, если а есть точка максимума Г.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Зададим произвольно вектор Ь Е И" и рассмотрим вектор-функцию р: $ Е К ~ ~-+ а+И. Вектор-функпия у — непрерывна, множество П вЂ” открытое. Так как ~р(0) = а, то найдется 6 > 0 такое, что если (Ф( ( 6, то д(1) Е П. В силу леммы 6.1, 0 есть точка экстремума функпии Из условий теоремы следует, что функпия д в точке 0 дифференцируема. Так как 0 есть точка эксгиремдма функции д, то в силу свойства 363 з 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
