1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Имеем: бь = (бп,бьз, ° °,бс«), где бп = 1 и б; = 0 при г ф 4' (б; есть уже известный нам символ Кронеяера). Формально б, есть то же самое, что и е;. Различие здесь лишь в контексте, в котором используются обозначения. Если ~а~ = 1, то ~а~ = б, для некоторого 4. Для х = (х1, хз,..., х„) имеем: х *' = х, — 4-я хомпонента веятоь, ра х. Для полинома Р: Ж" -+ К не выше первой степени каноническое представление имеет вид: Р(х) =Ао+Аь,хь'+Аь,хь'+ +Аь„хь" = = ао + а1х1+ азхз + + а„х„, где Ао = ао, Аьь = а,, г = 1, 2,..., и, — векторы в К™.
Будем говорить, что Р есть однородный полипом степени г, если Р имеет каноническое представление вида: А х". («)=г 326 Гл. 7. днфференцнальное исчисление функций многих переменных Коэффициенты А при ~а~ < г, таким образом, все равны нулю. Функцию, тождественно равную нулю, также будем считать однородным полиномом степени г при любом г ) О.
Однородный полипом нулевой степени есть постоянная. Однородный полипом первой степени с вещественными коэффициентами называется линейной фор ноя, однородный полипом второй степени с коэффипиентами в Ж называется квадратичной формой. В общем случае однородный полипом степени г с вещественными коэффигшентами называется полиномиальной формой степени г. Предположим, что коэффициент А в каноническом представлении полинома Р есть вектор (Аг, Аз,..., А ) Е Ж, где Аы Е Ж, г = 1,2,..., т, при всяком а, таком что ~а~ < г. Положим: Каждая из Функций Р; представляет собой полипом степени не выше т. Для любого х Е Ж" имеем: Р(х) = (Рг(х), Рз(х),..., Р (х)), так что полиномы Р;: Ж™ — Ж суть компоненты вектор-функции Р.
Обратно, если заданы вещественные функции Р;: Ж" — Ж, каждая из которых есть полипом степени не выше г, то функция Р: х Е Ж ~-~ (Р1(х), Рз(х),..., Рг,(х)) Е Ж™ есть полипом степени не выше г. Отметим некото ые и остые с в о й с т в а полиномов использ емые 1. Сумма любого конечного числа полиномов степени не выше г есть полипом, степень которого не превосходит г. Данное утверждение, очевидным образом, следует из определения полинома степени не выше г. 11. Пусть функпии Р;: Ж" -+ Ж, г = 1,2,...,к, суть полиномы, причем бек Р1 < гг,бек Рг < гг,,йея Рь < гю Тогда произведение Р = Р1Рз... Рь есть полином, степень которого не превосходит т1+ тг + + гю Действительно, пусть Р;(х) = ~ А~'~х *', 1=1,2,...,й.
! *!< '* 327 $ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных Перемножая почленно выражения для Р;, г' = 1,2,..., к, получим, что для всех х Е К" Р()= '~ '~ ... ~ А~Ц~Р~... Р~ '"". +" + (х) ~ l ''' 1 аг аг ''' аях (аП(г~ )аг)<тг (ак)(з е Функция Р, таким образом, есть сумма конечного числа мономов, степень каждого из которых не превосходит гг + гг + . + гы Следовательно, Р есть полипом степени, не большей тг + гг + + гь, что и требовалось доказать. П1.
Пусть ~р: Ке — + К" есть полипом, степень которого не превосходит т, Р: К" -+ К вЂ” полипом степени не выше з. Тогда суперпозиция Р о у представляет собой полипом степени не выше гз. Действительно, пусть Р(х) = ~ А„х (о)<~ есть каноническое представление полинома Р.
Тогда имеем: Р [у(г)] = ~ А [у(4)]~ . )а(<г Пусть ср(4) = (уд(4),<рг(Х),...,ср„(М)), где у,,4 = 1,2,...,и, суть полиномы степени не выше з со значениями в К. Для произвольного и-мерного мультииндекса а = (сгы аг,..., а„) имеем: [~Р(г)] = [Ф~(г)] '[~ог(г)] ' ..[у (г)] ".
П р а в а я часть этого равенства представляет собой произведение ]а] = аг + аг + + а„полиномов степени не большей з и, значит, в силу предложения П, является полиномом степени, не превосходяшей ]а]з. Отсюда видно, что функпия Р о у есть сумма конечного числа полиномов, степени которых не превосходят те и, следовательно, функция Р о у есть полином степени не выше гз, и предложение П1 доказано. Всякий полипом Р: К" — 2™,как следует из результатов, установленных ранее (см.
п. 3.5 этой главы),представляет собой функпию класса С 328 Гл. 7. Пифферевцяальвое исчисление функций многих переменных Выве ем о м лы ля частных п оизво ных некото ых спе иальных полиномов. Пусть даны точка а = (а1, аг,..., а„) Е К" и и-мерный мультииндекс а = (а1, аг,..., а„). Функция х = (хг,хг,...,х„) ~-~ (х — а)" = (х1 — а1) '(хг — аг) г ...(х„ — а ) " есть полинам степени не выше т = !а~ как произведение т полиномов вида х ~-~ -а; + х, = -а; + х *, степени которых не превосходят 1. 6; Пусть а (о1 ~ иг ~,, 1 оч) и ~9 (Д 1 !3г ~ р Д~) два произволь ных и-мерных мультииндекса. Условие !3 < а означает, что !3; < ан при каждом г' = 1, 2,..., и. Если условие 13 < а не выполняется для данных мультииндексов о и !3, то !Зг > си хотя бы для одного значения г.
° Лемма 4.1. Пусть даны и-мерные мультииндексы а и !3. Тогда: если !3 < а, то имеет место равенство: если же условие ~3 < а не выполняется, то Р~(х — а) = О. Доказательство. Будем говорить, что функция у: !й" — ~ К является расщепленной, если она допускает представление (4.2) то есть ~(х) является произведением и множителей, первый из которых зависит только от х1, второй зависит только от хг и т. д. Предположим, что каждая из функций ~,, г = 1, 2,..., и, в представлении (4.2) принадлежит классу С', где т = ф~. Чтобы найти производную функции у по переменной х;, как очевидно, достаточно заменить множитель Ях;) в представлении (4.2) на 1,'(х;), так что производная д~/дх; также является расщепленной функцией.
Применяя зту процедуру повторно, найдем, что для и-мерного мультииндекса /3 = (31„3г,..., !3„) имеет место равенство: Пусть 1(х) = (х — а)". Панках функпия 1, очевидным образом, является расщепленной. При атом множитель 1; в представлении (4.2) есть функция х, ~ (х; — а;) '. 329 З 4. Формула Тейлора для функций многих переменных Если Д < а;, то а!!! Р~!(х! — а,) * =,(х; — а;) ' (а' — Д)! Отсюда заключаем, что если,б < а, то а. гг! Р'[(х-а) ]=П(. 'д)!П(х!-а!)" "=(,„~)!(х-а) ' Если соотношение В < с! не выполняется, то найдется г такое, что Д ) ол Для этого 4 Р,.!(х; — а,) * = О. Отсюда следует, что в этом случае производная Р~ [(х — а) ] является произведением п множителей, один из которых равен нулю и, значит, Р~[(х — а) ] = О.
Лемма доказана. ° Следствие 2. Пусть Р(х) = (х — а), где а = (аыаз,...,а„). Тогда (Р Р)(а) = а!. Если ~3 ф а, то (Р~Р) (а) = О. Действительно, если условие 8 < а не выполняется, то производная Р Р тождественно равна нулю, и, стало быть, в этом случае равенство е (Р~Р) (а) = О выполняется. Если !3 < а и !3 ~ а, то найдется значение 4 такое, что Д < оо В этом случае производная Р~(х — а) содержит множитель (х; — а;) *' который обрашается в нуль при х = а. Наконец, производная Р (х — а), как следует из леммы 4.1, тождественно равна постоянной гг), в частности, также и (Р Р) (а) = а! Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Ясли Р: !и" -+ !й есть полинам степени не выше т, то все производные порядка большего г функции Р равны нулю. Доказательство следствия 2 — очевидно. ° Лемма 4.2. Всякая функция Р: К" — !й~, определенная равенством Р(х) = ~! А (х — а) (4.3) !~~!<г 330 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных для всякого х Е К", где а — точка в К", А — векторы в К™, является полиномом степени не выше г.
При этом коэффициенты А в равенстве (4.3) определяются заданием функции Р однозначно, а именно, — имеют место равенства: (Р Р)(а) Я о) для всех а таких, что ~а~ < г. Перед доказательством отметим следующее. Замечание. В случае о = 0 считаем, что а! = 1 и Р Р = Р. Формула (4.3) называется 4ормулой Тейлора для полинома Р.
Доказательство леммы. То, что Р есть полинам степени не выше г, следует из предложений 1 и 11, доказанных выше. Запишем Р следуюшим образом: Р(х) = ~~~ Ал(х — а)л. Зададим произвольно н-мерный мультииндекс а = (аг,аз,...,а„). Имеем: Р Р(х) = ~~~ АоР" [(х — а) ] . Щ(г Положим в обеих частях етого равенства х = а. На основании следствия 1 леммы 4.1, все слагаемые справа, для которых,З вЂ”,Е а, тогда обратятся в нуль, и мы получим в результате (Р Р)(а) = А а1. Лемма тем самым доказана. ° Следствие. Ясли полиномы Р: К" — К и Я: К" — + К™ таковы, что Р(х) = Я(х) для всех х Е К, то канонические представления поливомов Р и СХ совпадают.
Лействительно,пусть Р(х) = ~ А х, Я(х) = ~~~В х" З 4. Формула Тейлора для функций многих переменных суть каыоыические представления данных полиномов Р и Я. Из условия следствия, очевидно вытекает, что Р Р(х) = Р Я(х) для всех х Е 2". В частности, получаем, что Р Р(О) Р ЯО) сг! о! для всякого мультииндекса гг, что и требовалось доказать.
4.2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ООТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ПЕАНО Условимся относительыо обозначений. Пусть дана функция ~: П вЂ” 2, где П вЂ” открытое мыожество в К". Если и-мерный мультииндекс а равен О, то есть все его компоыенты равны О, то мы полагаем Р" !".
= у". Под производной нулевого порядка функции, таким образом, подразумевается сама зта функция. Напомним, что для нулевого мультииыдекса о = О мы полагаем также О! = 1 и х = 1 для любого вектора х Е 2". и Лемма 4.3. Пусть П вЂ” открытое множество в 2 и 1: П вЂ” К вЂ” функция класса С", где т ) О. Предположим, что точка а Е П такова, что 1(а) = О н (Р 1)(а) = О для всякого а такого, что (о~ < т.
Тогда справедливо соотношение: ,!" (х) = о(!х — а!') при х — ! а. Яоказательство. Лемма доказывается индукцией по т. Пусть т = О. Предположим, что функция т приыадлежит классу С, причем у'(а) = О. В силу непрерывности, У(х) — у(а) при х — а, то есть т"(х) = о(1) при х — ~ а. Для т = О лемма, таким образом, верна. Предположим теперь, что для некоторого целого т > О лемма доказана и т есть функция класса С"+~, причем У(а) = О и Р ~(а) = О для любого а такого, что !с!! < т + 1.
Положим р, = —. Каждая из д,!' дх функций р!, 4 = 1,2,...,и, принадлежит классу С", причем р,(а) = О. Для любого о такого, что !а~ < т, имеем: Р р, = Р +~! у. Так как )о+ б!) = (о~ + (б!! < т+ 1, то, значит, Р р;(а) = О для всякого и-мерного мультииндекса а, удовлетворяющего условию !о~ < т. В силу индукционного допущения, отсюда вытекает, что р,(х) = о(!х — а!") при х — а для любого 4 = 1, 2,..., и.
332 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных На основании леммы об интегрировании асимитотиинесних соотношений (см. лемму 2.3), из доказанного следует, что 1(х) = о(!х — а! "~ ) при х — ~ а. В силу принципа математической индукции, лемма доказана. ° Пусть 7": У вЂ” !к есть функция класса С" (У вЂ” открытое множество в !к"). Возьмем произвольно точку а Е У и положим: Р(х) = ~~)~, (х — а)". Р~1(а) (4.4) !а)йт (Как обычно, при а = О полагаем а! = 1, Р т = т.) Функция Р есть полинам степени не выше т, называемый полиномом Тейлора порядка т функции У в точке а Е У.
Согласно лемме 4.2, коэффициент при (х — а) в правой части (4.4) Р Р(а) равен Следовательно, для любого о, для которого !а! < т, мы получаем: Р"Р(а) Р У(а) о! и! то есть Р Р(а) = Р 1(а) для любого а такого, что !а~ < т. Х(х) — Р(х) = о(!х — а!') при х — ~ а. Доказательство. Положим р =,1 — Р. Функция р, очевидно, принадлежит классу С". Для всякого мультииндекса о, для которого (а! < т, имеем: Р"р(а) = Р ~(а) — Р Р(а) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
