1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для любых чисел 8 и и таких, что]Ф] < б и [и] < б, 2 точки хо+Фе;, хо+ией и хо+1ед+ие принадлежат шару В(хо, бд) и, следовательно, принадлежат множеству У. Для произвольных Ф, и Е ( — б, б) пусть у(М, и) = т" (хо + Мед + ие,) — У(хо+ 1ед) — У(хо+ ие,) + У(хо) фиксируем произвольно значение и б ( — б, б). Имеем, очевидно: ~р(~,и) = [У(хо+Фед+ие ) — У(хо+1ед)] — [У(хо+ ие,) — У(хо)]. (3.2) Положим Г(Ф) = у(хо+1ед+иеб) — у(хо+1ед).
Из равенства (3.2) следует, что имеет место равенство: ~р(М, и) = г'(д) — Г(0). 315 З 3. Производные высших порядков Величина Р(1) определена для всех 1 Е ( — б, б). Так как функция 1, по условию, имеет частную производную — (х) = Р;у(х) дУ дх; в каждой точке х Е У, то функция 4: Ф вЂ” 1(х+ 1е;) дифференцируема по 1 для любых х, $, удовлетворяющих условию: х + Фе, Е У. При этом справедливо равенство: 4'($) = Р 1(х + Фе;).
Отсюда следует, что функция Р дифференцируема в каждой точке $ Е ( — б,б). При этом Р'(Ф) = Роу(хо + Фе; + ие ) — РД(хо + 1е,). Применяя теорему Лагранжа о среднем значении, отсюда получаем, что ~р(1,и) = Р($) — Р(0) = 1Р (а1) = = ~[Р;Яхо + аде; + иеу) — Р11 (хо + аде;)[, (3.3) где 0 < а < 1. Для и Е ( — б, б) положим С(и) = Р 1(хо + аде, + иеу).
Используя это обозначение, равенство (3.3) можно записать в виде: у($, и) = 1[С(и) — С(0)). Так как, согласно условию теоремы, функция 1 имеет вторую производную Р1Р;У(х) в каждой точке х Е У, то функция С дифференцируема при всяком и Е ( — б, б). При этом С'(и) = Р,РД(хо+ а8ез+ иеб). Применяя теорему Лагранжа о среднем значении еще раз, получим: р(Ф,и) = 1иС'(13и) = 1иР1Р11(хо + аде; + ~3иеу), (3.4) где 0 < ~3 < 1.
Если 1, и Е ( — б,б), то каждое из чисел оФ и,би также принадлежит интервалу ( — б, б) и, значит, для точки х = хо+а1е;+)1иеб выполняется неравенство: [х — хо[ < бы В силу неравенства (3.1), это позволяет заключить, что (3 5) [Р1РД(хо + о$е; + )1иеб) — Р1РД(хо) [ < —. 316 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Предположим, что ~М) < б и (и! < 6, причем 1 ф О и и ф О. Тогда имеют место равенство (3.4) и неравенство (3.5), из которых следует, что для любых таких 1 и и имеет место неравенство: у(~, и) — РуР;~(хе) < —. $и 2 (3.6) Фиксируя значение Ф, найдем предел отношения ' при и — О. иИ, и) Си Имеем: 1 г" (хо + Фе; + ие,) — У(хо + Мез) У(хо + ие,) — 1(хо) и и и При и — О правая часть этого равенства стремится к пределу, равному Р~У(хо + ~е;) — Р,1(хо)- Переходя в неравенстве (3.6) к пределу при и — О, мы, следовательно, получим, что для любого Ф Е ( — б,б), отлич- ного от нуля, выполняется неравенство: Р Р ~(хе) < — < е.
(3.7) Так как е > О было задано произвольно и для выполнения неравенства (3.7) потребовалось лишь, чтобы выполнялись условия: ~Ф~ < б и ~ ф. О, то из доказанного следует, что Р,Х(хе + ась) — Р,Х(хе) Р1Р;У(хе) = аппп з о Теорема доказана. ° Слндстнин. Пусть У есть открытое множество в К". Предположим, что для некоторых з, з, где з ~ у, функция 1 имеет в У частные производные РД', Р~.~, Р,Р 7", Р Р; г.
Тогда если производные Р;Р ~ и РйР;~ в точке хе Е У непрерывны, то их значения в этой точке совпадают. Данное утверждение вытекает из теоремы 3.1 очевидным образом. Последний предел, согласно определению частной производной, равен Р;Р41'(хе). Мы получаем, таким образом, что частная производная Р;Р,у(хе) существует, причем имеет место равенство: 3 3. Производные высших порядков 317 3.3.
ТЕОРЕМА О СИММЕТРИЧНОСТИ ПРОИЗВО НЫХ ВЫСШИХ ПОРЯЛКОВ П ва ительно вве ем некого ые обозначения. Пусть т Е Я. Символом 1, обозначим отрезок (1,2,...,т) множества всех натуральных чисел И. Набором индексов длины т мы будем здесь называть всякую конечную последовательность 1 = (зз, зз,..., з,), где зз,зз,...,з, — целые числа, лежащие между 1 и и, зь Е 1 при каждом й = 1, 2,..., т. Набор индексов длины т есть отображение 1: 1„-» 1„.
Предположим, что каждому номеру з е 1„сопоставлено некоторое значение а; Е 1„причем разным значениям з отвечают различные значения а;. При з, меняющемся от 1 до т, а;, как очевидно, пробегает все множество 1„. Будем говорить, что тем самым з а д а н а некоторая перестановка а = (аз, аг,..., а,) ранга т. Формально перестановка ранга т есть просто биекпзнвное опзображение а: з Е 1„» а, Е 1„множества 1„в себм.
Пусть даны наборы индексов Х = (зз, зз,..., зс) и .7 = Оз, уз,... » у,.) длины т. Будем говорить, что 1 есть перестановка набора индексов Х, если существуетперестановкаа = (аз,аг,...,а„) ранга т такам, что Зь = з при каждом и = 1, 2,..., т. На языке отображений это условие можно сформулировать таким образом. Набор индексов У является перестпановкой набора индексов 1, если существует перестановка а ранга т такая, что имеет место равенство: ,Т = 1 о а.
° Теорема 3.2. Пусть У есть открытое множество в пространстве К" иУ: У - К™ естьфункпияклассаС"(У,К ) ипустьзз,зз,...,з б 1 . Тогда для всякой перестановки а: П, — 1, справедлива формула Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по т. Ллм случая т = 2 требуемый результат вытекает из теоремы 3.1. Предположим, что для некоторого т теорема доказана, и пусть 1: У вЂ” К™ есть функция класса С'+~. Пусть 2 < в < т + 1. Все частные производные порядка в функпии ~ определены и непрерывны на множестве У. Определим функцию в, полагая д = у в случае в — 2 = О, и в = Р;, з... Р,,У, если в — 2 ) О.
318 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Функция й непрерывна и производные Р;,Р;,,д и Р;,,Р;,О непрерывны. В силу теоремы 3.1, отсюда следует, что эти производные совпадают. Следовательно, мы получаем, что производные тождественно совпадают на множестве 11. Отсюда ясно, что в последовательности дифференцирований Р,„... Р,, Р,,1 любые два соседних дифференцирования можно поменять местами, сохраняя окончательный результат. Пусть 1 и 1 — два набора индексов длины з < т + 1 такие, что один из них является перестановкой другого. Требуется доказать, что Рг1 = — Рю~. В случае з < т справедливость этого следует из индукционного допущения. Наша задача сводится к тому, чтобы установить, что доказываемое предложение верно также для з = т + 1.
Предположим, что г,.ег = у,+1 = й Обозначим через 1' и У наборы индексов длины т, получаемые из 1 и 1, соответственно, зачеркиванием последнего члена. Так как,1 получено перестановкой 1, то также и набор индексов У есть результат перестановки набора индексов 1'. Имеем: Рг1 = ЩРл1) Р.г1(х) = Рс(Рл'Я В силу предположения индукции, Рл~ = Ря 1, откуда получаем, что в данном случае также и Рг1 = Рю~. Р а с с м о т р и м случай, когда уг+г ф г',+м Пусть у,+1 = гю где к<т+1.
Переставляя элемент зь в последовательности (зм...,гю...,г„+1) с его соседями справа, мы получим через конечное (не более т) число шагов набор индексов Н = (Ьм лз,..., Ь,+1) такой, что 1з, ч 1 = у'„+1. Каждой такой перестановке соответствует изменение порядка дифференцирований, при котором, как мы показали, значение производной остается неизменным. Отсюда следует, что Рн1" = РД. Очевидно, Н есть перестановка набора индексов Х.
Последние члены этих наборов индексов совпадают и, значит, по доказанному, Рн1" = Р~~. Следовательно, Рр~ = Рг1, что и требовалось доказать. ° 3.4. МУЛЬТИИНЛЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Опишем здесь некоторую систему обозначений, удобную для вычислений с частными производными высших порядков. З 3. Производные высших порядков 319 Набор индексов 1 = (гы гг,..., г,), где 1 < гг < п, 1 < гг < и,..., 1 < < г, < и, назовем возрастаюгаим, если г1 < гг « ° ° ° г,.
Всякий набор индексов 1, как очевидно, допускает перестановку ,1, которая представляет собой возрастающий набор индексов. Эту перестановку мы будем именовать возрастающей перестановкой набора индексов 1. Вв ем понятие п-ме ного м льтиин енса. формально п-мерный мультииндекс есть вектор в пространстве К, координаты которого суть неотрицательные целые числа. Термин «мультииндекс» к таким векторам применяется лишь в определенном контексте, описание которого и есть наша ближайшая задача.
Пусть дан набор индексов 1 = (гыгг,...,г',), где 1 < г1 < и, 1 < гг < п,...,1 < г, < и. Обозначим через о„в < п, число членов набора 1, равных ю Этим определен некоторый и-мерный мультииндекс о = (амог,...,а ). Будем обозначать его символом а(1) и называть индикатрисой набора индексов 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
