1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть функция 7": У -+ К™ дифференцируема в точке а Е У. Тогда, согласно определению дифференцируемой в точке функции (см. выше), найдутся линейное отображение 7: К" -+ К и функция а: У -~ К™ такие, что а(0) = 0 и а(х) — 0 при х — а и для всех х Е У имеет место равенство: 7" (х) = 7" (а) + Ь(х — а) + о(х) ~х — а ~. (1.7) е 1+ )Ь)' Если )М! ( б, то х = а+И Е У. Полагая в равенстве (1.7) х = а+МЬ, получим: ((а + И) = Х(о) + 7 (1Ь) + а(а + ФЬ) ~ФЬ~.
В силу линейности Т,, Ь(1Ь) = Ы(Ь). В результате мы получаем: 7" (а + МЬ) — 7" (а) ф (1.8) При $ — 0 величина о(о+ йЬ) стремится к нулю, — )Ь) = ~1 )Ь) есть ве- И! личина ограниченнал и, значит, правая часть равенства (1.8) при Ф вЂ” ~ 0 стремится к пределу, равному 7 (Ь) = 41" (а; Ь). Мы получаем, таким образом, что для всякого вектора Ь Е К" существует предел 7" (о + М) — У" (а) о Отсюда заключаем, что для всякого вектора Ь Е К существует производнал дав(а). При этом имеет место равенство: дав(а) = ф(а; Ь). Линейное отображение Ь, согласно данному выше определению, есть дифференциал отображения 1 в точке а, Ь = д7'(а).
функция а, как следует из ее определения, непрерывна в точке а. Всякое линейное отображение пространства 2" в К, как было установлено в З 3 главы 6, является непрерывным. Равенство (1.7) показывает, что если функция 1(х) дифференцируема при х = а, то она может быть представлена как сумма трех функций, непрерывных в точке а и, следовательно, является непрерывной в этой точке.
Зададим произвольно вектор Ь Е К". Пусть е ) 0 таково, что шар В(а, е) содержится в множестве У. Положим 293 З 1. Понятия частной производной и дифференциала Полагая Ь = е;, получим д,. Х(о) = — (а) = йХ(а; Ь). дХ Теорема доказана. И Применим результаты З 2 главы 6 о предстпаелении линейных оглображений к интересующему нас случаю, когда линейное отображение есть дифференциал. Пусть Х: К" — К™. Тогда (с учетом указанного результата) для всякого вектора х = (хг, хз,..., х„) будет выполняться равенство Х(х) = ~ Ь;х;, где Хг, Хз,..., Х суть векторы в пространстве К™ — коэф4ициенты линейноео отобрахсения Х. Векторы Хн определяются по отображению Х однозначно, — как следует из равенства Ь,=Х(е), для всякого г = 1,2,...,и. Пусть Х, есть дифференциал отображения Х: У вЂ” К в точке а Е У.
(Здесь У есть открытое множество пространства К".) Для произвольного вектора Ь = (Ьг, Ьз,..., Ь„): и Х,(Ь) = ф(а;Ь) = ,'~ пХ(а;ез)Ь;. з=1 Справедливо равенство ф(о;е;) = — (а), дХ дх; и мы получаем, таким образом, следующее представление для диффе- ренциала функции У в точке о: йХ(а; Ь) = ~~) — (а)Ь;. дХ Символ ох, далее означает линейную форму в К", определенную условием: Их;(Ь) есты-я компонента вектора Ь е К", охз(Ь) = Ь;.
294 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Используя это обозначение, представим дифференциал функции у в точке а в следующей форме: ау(а) = ~~~ — (а)сЬ;. ду (1.9) Фактически ах; есть то же самое, что и линейная форма е', определенная в п. 2.3 главы 6. гну (а; Ь) = (41 (а; а), гв'з(а; Ь),..., 4 (а; Ь)). Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что 1 дифференцируема в точке а Е У. Тогда имеем: 1(х) = У(а) + Ь(х — а) + а(х) ~х — а~, (1.10) где Ь = ф(а) — линейное отображение, а функция гг: У вЂ” К непрерывна в точке а, причем гг(а) = О. Приравнивая компоненты левой и правой частей равенства (1.10), получим, что при каждом г' = 1, 2,..., т имеет место равенство: Х;(х) = Х;(а) + Ь'(х — а) + ан(х) |х — а~.
Здесь Е* суть линейные функции, а функции а; — непрерывны в точке а, причем ок(а) = 0 при каждом г' = 1,2,...,т. Это означает, что для каждой из вещественных функций у; выполнены все условия определения функции, дифференцируемой в точке а. Необходимость условия леммы установлена. Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что при каждом г = 1, 2,..., т функция у; дифференцируема в точке а.
Тогда ~;(х) = ~;(а) + Й'(х — а) + еп(х) ~х — а~, где Ь' суть линейные формы в К", а функции ал таковы, что для каждой из них ал(а) = 0 и ол(х) — 0 при х — а. ° Лемма я.З. Для того чтобы функция У: У вЂ” 11™ была дифференцнруема в точке а Е У, необходимо и достаточно, чтобы каждая нз вещественных функций уг, г = 1, 2,..., т, — компонент вектор-функции у, была дифференцируема в этой точке. При этом для всякого Ь Е И" имеет место равенство: з 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 295 Положим Ь = (Ьь,Ьз,...,Ь ) и ьз = (ььь,сьг,...,сь ). Определенное таким образом отображение Ь вЂ” линейно. Имеем также: о(а) = О и сь(х) — О при х — а.
Для всех х Е сь' выполняется равенство: уьх) = уьа) + Ь(х — а) + ьь(х)~х — а~, и тем самым нами установлено, что отображение У вЂ” дифференцируемо в точке а Е сь. Лемма доказана. И ~ 2. Общие свойства дифференцируемых функций В этом параграфе устанавливается, прежде всего, некоторый критерий дифференцируемости функции в точке.
Оказывается, что существование частных производных вместе с их непрерывностью влечет дифференцируемость функции. Доказательство этого факта опирается на некоторые оценки приращения функции через ее частные производыые. Эти оценки найдут применение и в дальнейшем. Поэтому основ ное утверждение об оценке приращения функции через ее производыые (оно называется леммой об интеерировании асимнтотичесних соотношений) доказывается в форме, более общей, чем это необходимо для доказательства критерия дифференцируемости функции в точке. Здесь также рассматривается правило дифференцирования супер- позиции.
Этот факт следует добавить к правилам дифференцирования функций одной переменной для того, чтобы получить полный набор правил дифференцироваыия функций многих переменных, позволяющий найти все частные производные любой функции. В заключение этого параграфа приводятся некоторые простые приложения дифференциального исчислеыия функций многих переменных. Если функция постоянна на некотором открытом множестве пространства вь", то все ее производные равны нулю. При некоторых предположениях относительно областй определения функции верно и обратное утверждение: если частные производные функции тождественно равны нулю, то функция постоянна во всех точках своей области определения.
Условие, при котором это имеет место, наглядно означает, что область не должна распадаться на ыесвязанные между собой куски. Другое приложение дифференциального исчисления, которое приводится здесь, — характеристика так называемых однородных функций. Соответствующий результат носит наименование теоремья Эйлера. 296 Гл.
7. днфференцнальное исчисление функций многих переменных 2.1. ЛЕММА ОБ О ЕНКЕ НРИРА ЕНИЯ ФУНК ИИ Множество Н С )И" называется и-мерным интервалом, если оно допускает представление Н = (аы Ь|) х (аг, Ьг) х х (а„, Ь„), где (а,, Ь;) суть открытые промежутки в К. Это означает, что Н есть совокупность всех точек х = (хы хг,..., х„) таких, что аг<хг<Ьы аг<хг<Ьг, ..., а„<х„<Ь„. ° Лемма 2.1. Пусть Н есть п-мерный интервал. Предположим, что фувкдия ~: Н вЂ” К имеет частные производные д~/дх;(х) в каждой точке х Е Н для любого г = 1, 2,..., п и существует конечная постоянная М такая, что для всех х Е Н ~ — (х)~ < М при каждом х Е Н.
Тогда для любых точек р,а Е Н выполняется неравенство ~УИ) — У(Р)~ < М ЯД-Ф Доказательство. Пусть Н = (аг, Ь1) х (аг, Ьг) х х (а„, Ь„), где а; < Ь, при каждом г = 1, 2,..., а. Пусть Р = (Рг Рг, ° °,Рн) и Ч = (аюдаг,..., д~) — две произвольные точки Н. Тогда при каждом г' = 1, 2,..., в а;<р;<Ь,, а;<щ<Ь;. От точки р к точке а можно перейти в конечное число шагов, меняя на каждом шаге только одну координату точки: сначала первую координату, затем вторую и т. д. В результате получим конечную последовательность точек (О) (1) (тв) Р ~Р гдер =р,р = (о1,рг,...,р„) и,вообще,р" = (о1,...,щ,рь+ы...,р„) (О) О) (ь) при 1 < й < и, В частности, р~") = о. З 2.
достаточные условия дифференцируемости функции в точке 297 Все точки р~'~, очевидно, принадлежат п-мерному интервалу Н. Имеем Отсюда (2.1) Л о к а ж е м, что при каждом 1 = 1, 2,..., п ~у(р<*'>) — у(рб-'>) ~ < М~д; — р;(. (2.2) Лля1 Е (а;,Ь;) положим р,(г) = у(ды...,д; ыг,р+ы...,р„). Тогда у;(р;) = 1(р~' Ц), у,(д,) = Др~б) и, значит, Мд*) -Мр*) = У(р') -У(р" ") Функция у;(1) дифференцируема в каждой точке отрезка (а,,Ь;).
При этом ду 'Р1(т) = (ды ° ° °, «В-ы г,р~+ы ° ° °,рв) дяч Из условий леммы следует, что для всех т Е (а,,Ь;) имеет место неравенство ~~р';(1)~ < М. Следствие леммы 1.1 позволяет заключить, что ~Мд*) — Мр*-П < М~д* - И, то есть )Х(р<'>) — Х(р~* '~)! < М~д; — р;~ для любого 1 = 1,2,...,и, и неравенство (2.2) тем самым д о к а з а н о. Подставляя оценку (2.2) в правую часть неравенства (2.1), полу- ~У(д) — У(р)~ < М~~ 1д* — р'~ Применяя неравенство Котин — Буняковского к векторам и = (1, 1,..., 1), о = ((д1 — р1(, )дз — рг(,..., ~д„— р )), 298 Гл.
7. Лнфференцнальное исчисление функций многих переменных найдем,что и, следовательно, !У(ч) — У(р)! < М Н!ч — р!, что и требовалось доказать. ° 2.2. ЛЕММА ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ АСИМНТОТИКЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ Я(а,т) = (аг — т,а1 +т) х (аз — т,аз+ т) х .. х (а„— т,а„+т). Множество Я(а, т) есть л-мерный интервал, который мы называем кубом с центром а и длиной ребра 2т. Ранее (лемма 3.2 главы 6) было доказано, что для вовкой точки а Е К" и любого числа т > О имеют место включении В(а, т) С Я(а, т) С В(а, т Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
