1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для произвольного вектора х = (хыхз,...,хэ) Е К" положим: Доказать, что )х)р есть норма в Й". 6.3з. Пусть Х есть нормированное конечномерное векторное пространство над полем Ж,Х* есть множество всех линейных форм на пространстве Х. Доказать, что Х* есть векторное пространство той же размерности, что н пространство Х. Пусть ф означает норму вектора х Е Х. Для и Е Х* полагаем Йи)! = зцр )и(х)(. /э!<1 Доказать, что функция //иЦ есть норма в Х*. В случае Х = 1й" указать явное выражение для нормы линейной формы и через ее коэффициенты в предположении, что норма в равенстве (*) есть евклидова норма.
Найти явное выражение для ()и(~ через коэффициенты линейной функции ьс а) в случае, когда под ~х) в равенстве (э) понимается чебышевскэя норма; б) для случал, когда (х! = )х)р (см. задачу 6.36). 6.38. Пусть М есть произвольное метрическое пространство и (Аэ)„ен есть последовательность непустых подмножеств М. Предположим, что каждое из множеств А„компактно и последовательность А„является убывающей, то есть при каждом и выполняется включение: А„Э А„.ьы 276 Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств Доказать, что существует точка хо Е М, принадлежащая всем множествам Ап. 6.39. Пусть (М1, р1), (Мг, рг) — компактные пространства„(М, р) — их декартово произведение. Пусть Г: М вЂ” ~ К вЂ” непрерывное отображение. Для всякого х Е М1 положим: Е(х) = шХ 1'(х„у). рема Доказать, что функция х ~-~ г (х) непрерывна. 6.40. Пусть Š— компактное множество на плоскости.
Доказать, что среди всех содержащих его треугольников есть треугольник наименьшей плошади. 6.41. А С К" — компактное множество. Доказать, что среди всех замкнутых шаров в К", содержащих А, есть шар наименьшего радиуса. 6.42. Пусть (М,р) — компактно и у: М вЂ” ~ М вЂ” отображение такое, что р(у(х), у(у)) > р(х, у) для любых х, у Е М. Доказать, что у есть изометрическое отображение М на себя.
6.43. Даны метрические пространства М1 и Мг и отображение у: М1 — ~ Мг. Рассмотрим прямое произведение М1 х Мг, и пусть Гу есть график отображения (, то есть множество всех точек (х, у) Е М1 х Мг таких,что у = у(х). Доказать, что если пространство М1 компактно, то для того, чтобы отображение у было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы множество Гу было компактным поцмножеством М1 х Мг.
6.44. Пусть (АЕ) — произвольное семейство компактных подмножеств метрического пространства (М,р). Предположим, что для всякого конечного подсемейства (АЕ, АЕз,..., АЕ„) семейства (АЕ) существует точка, принадлежащая всем множествам АЕ1, АЕг,..., АЕ„одновременно. Доказать, что тогда существует, по крайней мере, одна точка то, которая принадлежит всем множествам семейства (АЕ) одновременно. 6.45.
Пусть (М,р) — метрическое пространство. Для произвольных множеств А С М и В С М положим: р(А,В) = шГ р(х,у). (Наглядно: зЕА,рЕБ р(А, В) — длина самого короткого моста, соединяющего А и В.) Доказать, что если для любых двух непересекающихся замкнутых множеств А и В р(А, В) > О, то пространство (М, р) компактно. 6.46. Пусть дана конечная последовательность аг,аг,...а~а векторов в пространстве К . Для вектора х Е К положим: Ф(х) = ') 1(а1,в))г 1е 1 Доказать, что Х(х) есть полунорма в К~. Каким условиям должна удовлетворять система векторов а;, 1 = 1, 2,..., т, для того, чтобы функция 1р'(х) была нормой в Кву 6.47.
Пусть даны метрические пространства (М1, р1) и (Мг, рг) и пусть (М, р) есть их декартово произведение. Доказать, что если множества А1 С М1 и Аг С Мг — компактны, то А1 х Аг есть компактное множество пространства (М, р). 277 Задачи 6.48. Пусть 1: [а,Ь] — К и д: [а,Ь] — ~ К вЂ” две непрерывные функции. ь Положим р(1, д) = / ]1(х) — д(х)[дх. Показать, что р есть метрика в С([о, Ь]). а Будет ли пространство (С([а, Ь]), р) полным? 6.49. Пусть Н есть множество всех точек х = (х1, хг,...,хв) Б ж" таких, что для любого 1 Е [0,1] выполняется неравенство: ~х1+х2$+.
+Х„1" ~+1" [ < 1. Показать, что множество Н вЂ” компактно. 6.50. Пусть М вЂ” компактно. Локазать, что для того, чтобы функция ?' 1 М вЂ” ~ — ~ Ж была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (?„: М вЂ” + 1<) ен непрерывных функций такал, что числовая последовательность (1„(х)) он является возрастающей при каждом х Е М и 1„(х) -+ у(х) для всех х 6 М. 6.51. Локззать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полу- непрерывна снизу. 6.52.
Показать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полу- непрерывна сверху. 6.53. Пусть (М, р) есть компактное метрическое пространство, (хо) ен есть последовательность точек этого пространства. Показать, что если для всякого х Е М существует предел 1пп р(х„,х), и оо то последовательность х„ является сходящейся. 6.54. Пусть дано метрическое пространство М с метрикой р.
Показать, что если всякая непрерывная вещественная функция, определенная на М, принимает свое наибольшее значение, то М вЂ” компактно. 6.55. Для х = (х1, хг,..., Х„) 6 Но пусть [х[Р = з1цэ [х1 + х21+ хам + ' ' '+хвз ] о<151 Доказать, что [х]р есть норма в пространстве 1ко. 6.56. Пусть Р(х) есть полипом степени не выше и. Положим .Ьг(Р) = Локазать, что существует число М„< оо такое, что для всех х Е [О, 1] выполняется неравенство: [Р(х)] < М„1 г(Р) 6.5Т. Множество К в пространстве %" называется выпуклым конусом, если для всякого х Е Т и любого числа Л > О точка Лх принадлежит К и х+ у Е К для любых х Б К и у 6 К.
Вектор Ь 6 Ж" называется нормалью конуса К, если для всякого х Е К выполняется неравенство: (Ь, х) > О. а) Пусть К* есть множество всех нормалей конуса К. 278 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Доказать, что множество К' замкнуто и представляет собой выпуклый конус в пространстве Ж". Доказать, что если выпуклый конус К является замкнутым множеством, то К является множеством нормалей конуса К".
б) Пусть Кг есть множество тех точек х = (лг,хз,...,х„), у которых кч > 0 для всех х, Кз — множество всех точек я = (хы тз,..., х„) пространства и" таких, что < Ха, и, наконец, Кз — множество всех точек х пространства Ж~, для которых М1! + ~Ф2! + '+ ~хп-1! < хп ° Доказать, что множества Кы Кз, Кз являются выпуклыми конусами в пространстве и".
Найти конус нормалей для каждого из этих конусов. 6.58. Пусть Л есть произвольная норма в пространстве и". Для произвольного вектора и Е Й" положим: *М(и) = впр (и, я). Ж(э) <1 Доказать, что функция и ~-+ *Ф(и) есть норма в и". Доказать, что для всякого т Е К" Ф(х) = впр (и,х).
и(*1 <з Глава Т ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ° .Дифференцирование и интегрирование вектор-функций одной переменной е Понятие производной функции вдоль данного вектора ° Частные производные ° Дифференциальная характеристика постоянных функций ° Понятие линеино связного множества ° Производные высших порядков ° Классы С т функций многих переменных ° Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функций многих переменных ° Асимптотическая характеристика поли- нома Тейлора функции ° Условия экстремума для функций многих переменных ° Условные экстремумы ° Лемма об оценке приращения функции ° Лемма об интегрировании асимптотических соотношений ° Достаточное условие дифференцируемости функции в точке ° Теорема о дифференцируемости сложной функции ° Теорема Эйлера об однородной функпии ° Теорема о симметричности производных высших порядков ° Формула для производнои порядка т функции: Да + Й) ° Применение формулы Тейлора к вычислению частных производных ° Исчисление полиномиальных форм ° Простейшая и общи теоремы о неявных функциях ° 280 Гл.
7. дифференциальное исчисление функций многих переменных ~1. Понятия частной производной и дифференциала В этом параграфе рассматриваются функции, определенные на открытых подмножествах пространства 11", где и ) 1. Именно, такие функции мы имеем в виду, говоря о функциях и переменных. Такое ограничение на выбор области определения рассматриваемых функций связано с тем, что открытое множество в К" устроено, в некотором отношении, одинаково во всех своих точках. Ко всякой точке открытого множества в К" можно приближаться с любой стороны.
В главе 15 будет показано, как распространить, хотя бы частично, дифференциальное исчисление функций многих переменных на случай функций, имеющих областью определения произвольное подмножество 1с". При этом, однако, существенно используются результаты, относящиеся к случаю функций, определенных на открытых подмножествах Ж". Здесь приводятся определения основных объектов, исследование которых составляет главную цель данной главы, а именно, — понятие частной производной функции многих переменных и понятия дифференцируемой в точке функции и ее дифференциала.
Пусть 11хы хе,..., х„) есть функция и переменных, определенная для всеххыхе,..., х„таких, что точках = (хм хе,...,х„) принадлежит открытому множеству У пространства К". Выберем произвольно номер к такой, что 1 < к < и. Фиксируя в выражении 1(хыхз,...,х„) значения переменных х;, где г ф к, мы получим функцию одной переменной — переменной хю Производная этой функции, если таковая существует, и есть частная производная функции 1 относительно переменной хю Здесь также вводится понятие функции, дифференцируемой в точке. Функция 1(х) дифференцируема в точке а области ее определения, если в малой окрестности точки а приближенно можно считать, что разность |(х) — 1(а) является линейной функцией х — а с ошибкой, бесконечно малой относительно ~х — а~ при х — ~ а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
