1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 44
Текст из файла (страница 44)
261 'З 6. Компактные множества в метрических пространствах Пусть хс есть предел этой подпоследовательности. В силу непрерывности функции у, имеем: У(хо) = 1пп у(х „). Это означает, что последовательность (у„„)вен является сходящейся в пространстве Ф, причем ее предел принадлежит В. Последовательность (у ) „ен точек множества В взята произвольно.
Мы доказали тем самым, что из любой последовательности точек множества В можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит В, и, значит, согласно определению, множество  — компактно. Лемма доказана. ° Следствие. Пусть М и Ф вЂ” произвольные метрические пространства, г": М вЂ” Х вЂ” непрерывное отображение. Тогда для всякого компактного множества А пространства М множество у(А) компактно в пространстве М. Для доказательства данного предложения достаточно заметить, что если у: М -+ И есть непрерывное отображение, то для любого множества А с М ограничение У на А также является непрерывным отображением.
3 а м е ч а н и е. Пусть М и М вЂ” метрические пространства и У: М -+ Ю вЂ” непрерывное отображение. Предположим, что А есть произвольное замкнутое подмножество пространства М. Тогда, вообще говоря, нельзя утверждать, что множество у (А) также является замкнутым. Пример. Пусть М = М = К и У(х) = е*. Пусть А = ( — оо, 0]. Множество А — замкнуто.
Действительно, пусть (х„)„ен есть произвольная сходящаяся последовательность, все члены которой принадлежат множеству А. Это означает, что х„< 0 при каждом и. Отсюда вытекает, что а= 1ппх <О, и, значит, а Е А. Так как последовательность (х„)„ен точек множества А была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что А есть замкнутое множество. Имеем, очевидно, у(А) = (О, Ц и, стало быть, множество у(А), в данном случае, не является замкнутым. 262 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств ° Лемма 6.3.
Всякое нелустое компактное множество вещественных чисел ограничено и имеет наименьший и наибольший элементы. Доказательство. Пусть А С К, А ф Ы, есть компактное множество. Тогда А — предкомпактно и, значит, в силу того частного случая следствия теоремы 6А, когда и = 1, множество А — ограничено. Пусть р = 1пХА, и = зпрА. Тогда для любого и Е 11 найдутся точки хи 6 А и "я~ Е А такие, что 1 р<х <р+ —, Р 1 д <ри<Ч. Р При и — оо будет х — р, а у„- д.
В силу теоремы 6.1, множество А замкнуто и, следовательно, ему принадлежит предел любой сходящейся последовательности точек множества А. Отсюда р Е А и д Е А, что и требовалось доказать. ° Используя результаты лемм 6.2 и 6.3, мы можем теперь доказать аналог теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной вещественной функции для случая, когда область определения функции есть произвольное компактное множество в метрическом пространстве. ° Теорема 6.5 (теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях).
Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве М. Тогда всякая непрерывная функция у': А — К является ограниченной и принимает на множестве А свои наименьшее и наибольшее значения. у(и) = р < у(х) < д = У(и). Отсюда видно, что функция у является ограниченной и в точке и принимает свое наименьшее, а в точке и — свое наибольшее значение на множестве А. Теорема доказана. ° Доказательство. Пусть множество А и функция у удовлетворяют всем условиям следствия.
Тогда, согласно лемме 6.2, множество у(А) — компактно. В силу леммы 6.3, отсюда следует, что у(А) имеет наименьший и наибольший элементы. Пусть р = пппУ(А), д = шах Х(А) и пусть и Е А и п Е А таковы, что 1(и) = р, У(п) = д. Пля всех х Е А имеем: у (х) Е у(А) и, значит, 263 З 6. Компактные множества в метрических пространствах 6.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВЕйЕРШТРАСОА Напомним, что функция Х: Х вЂ” К в векторном пространстве Х называется нормой, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) для любых двух векторов х,у Е Х выполняется неравенство: Х(х + у) < И(х) + г1(у); 2) для всякого х Е Х и любого Л Е Х справедливо 1ч'(Лх) = )Л)И(х); 3) если для вектора х Е Х имеет место равенство Ф(х) = О, то х есть нулевой вектор пространства Х.
Н о р м ы № и № в пространстве Х называются эквивалентными, если существует число Ь такое, что О < Ь < оо, и для всякого вектора х Е Х выполняются неравенства: Мг(х) < 1№(х), №(х) < ЬХг(х) (б 1) Пусть (х ) „еи — произвольная последовательность точек пространства Х. Говорят, что эта последовательность сходится относительно нормы М к вектору а Е Х, если Х(х, — а) — ~ О при и — ~ оо.
Если две нормы эквивалентны, то, как очевидно, последовательность, сходящаяся относительно одной из данных норм, будет сходящейся, и притом к т о м у же пределу, также и относительно д р у г о й нормы. Иначе говоря, пределы, определяемые с помощью двух эквивалентныхнорм, совпадают. Справедливо следующее утверждение. ° Теорема 6.6.
Если векторное пространство конечномерно, то любые две нормы в этом пространстве эквивалентны. Дохазательстио. Сначала рассмотрим случай норм в пространстве К". 0 б щ и й с л у ч а й легко сводится к этому (это будет показано в конце доказательства). Пусть Л~ есть произвольная норма в К".
1. Д о к а ж е м сначала, что эта норма эквивалентна обычной евклидовой норме х ~-+ ~х~. Для этого мы должны показать, что выполняются неравенства: (6.2) Ь|)х! > Ф(х) и )х) < ЬгЖ(х), где Ь1 и Ьг — положительные постоянные, О < Ь1 < со и О < Ьг < оо. Доказательство существования числа Ь1 < оо, такого что 1ч'(х) < < Ь1~х~, не требует ничего, кроме известных нам свойств нормы (см. и.
3.1). Чтобы доказать, что существует число Хг > О, такое что 264 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств ~х~ < БзМ(х), мы воспользуемся теоремой Вейерштрасса (см. выше теорему 6.5). Для всякого вектора х = (хы хз,..., х„) имеем: Ф(х) = М(х1е + хзез + .. + х„е„) < < ~хг(Л(е1) + (хз)М(ез) + . + (х (М(е ) = ~ Аь(хь ~, и=1 где Аь = М(еь). Пусть А есть вектор (Аы Аз,..., А„). Применяя нераеенстео Коими — Буняиоесиоео, получим: Ф(х) < Б1~х~, где Б1 = )А(. Пусть х и у — две произвольные точки пространства К .
Тогда, в силу известных нам свойств нормы (см. и. 3.1 этой главы), ~И(х) — Ж(р)~ < М(х — у) < йг~х — у~. Ж(х) > ~~~(хе) = ~е. Д о к а ж е м, что для всякого х Е К" выполняется неравенство: Ф(х) > шеф. (6.3) Если х = О, то это верно. Пусть х ф О. Положим: х Ь= —. Ф' Тогда )Ь) = 1 и Ф(х) = )х(И(Ь). Отсюда получаем: М(х) > !х!М(хе) = Юе!х1, Отсюда, очевидно, следует, что функция Х вЂ” непрерывна. Сфера Я(0, 1) есть ограниченное замкнутое и, следовательно, компактное множество пространства 2". Значит, согласно теореме Вейерпппрасса (см. теорему 6.5),Х принимает на Я(0,1) свое н а и м е н ь ш е е значение в некоторой точке хе.
Так как )хе) = 1, то хе ~ О, и, стало быть, Х(хе) > О. Положим: Х(хе) = 1е. Для всех х Е Я(0,1) имеем: 265 З 6. Компактные множества в метрических пространствах и неравенство (6.3) тем самым доказано. Положим: 1 .~2 = 1о Из доказанного следует, что для всякого вектора х Е 1с" имеют место неравенства: М(х) < Х1(х( и )х) < Х2М(х). Пусть Х есть н а и б о л ь ш е е из чисел Х 1 и Х 2.
Тогда, очевидно, М(х) < Х )х! и (х! < Х.о1(х) для любого вектора х. Таким образом, доказана э к в и в а л е н т н о с т ь нормы Х и евклидовой нормы х ~ 1х~. П. Пусть № и Х2 — две произвольные нормы в К". Тогда, по доказанному, найдутся такие конечные постоянные Х ' > О и Х" > О, что для всякого вектора х Е Й" выполняются неравенства: №(х) < Ь (х(, )х! < Х №(х) и №(х) < Х ~Х1 )х~ < й М2(х). Положим: Х = Х'Х,". Тогда, как очевидно, для любого вектора х Е 2" выполняются неравенства: №(Х) < ЙМ2(х)) Ф2(Х) < Й№(Х)~ и тем самым эквивалентность норм № и № в пространстве И" устано- влена.
П1. Пусть Х вЂ” произвольное конечномерное пространство, д — размерность Х. Тогда, в силу известных результатов алгебры, существует биективное линейное отображение х пространства К" на Х. Предположим, что № и № — две произвольные нормы в пространстве Х. Полагая для х Е К №(х) №(9>(х))~ 1~12(х) й~2(~Р(х))~ мы получим некоторые нормы в К~. Несложную проверку этого факта мы предоставляем читателю. Как было доказано, существует число Х, О < Х < оо, такое, что для всякого вектора х Е 2 выполняются неравенства: №(х) < ХЯ2(х) и №(х) < Х№(х). 266 Гл. 6.
Непрерывные отображения метрических пространств Зададим произвольно вектор у Е Х. Имеем: № (у) — № [<р (у)] ~ ~уз(у) — ~уз ор (у)] ~ откуда получаем, что №(У) < ~'~Уз(У) и ~Уз(У) < ~'№(У) и тем самым эквивалентность норм № и Хз установлена. Теорема доказана. ° Пусть дано множество А в метрическом пространстве М. Точнаи верхняя граница расстояний между точками множества А называется диаметаром А и обозначается символом: 61аш А. Пусть, например, А есть шар В(а, т) в пространстве М. Для любых х, у Е В(а, т) имеем: р(х,у) < р(х,а) + р(а,у) < 2т, откуда, очевидно, следует, что йаш В(а, т) < 2т. Предоставляем читателю убедиться, что в случае пространства К" диаметр шара В(а, т) равен 2т. Если метрическое пространство (М, р) произвольно, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что йаш В(а, т) = 2т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
