1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В частности, из доказанного вытекает существование числа бо > 0 такого, что если 0 < 1 < бо), то ыу(Ф) < со. В качестве бо можно взять, например, значение б, отвечающее е = 10 зо Пусть хо и уо — две произвольные точки множества А. Положим: Ф = рг(хо, уо). Тогда (хо,уо) Е П~ и, следовательно, рз(У(хо),У(уо)) не превосходит точной верхней границы на множестве Пс функции (х, у) ~ рз®х),У(у)), то есть Р2(У(хо)~/(уо)) < Ы~(~) ы~[Р1(х~у)!. Из доказанного следует, что если отображение У: М вЂ” М равномерно непрерывно, то функция ыу является его модулем непрерывности.
Предположим, что ы: [О, б) — ~ К есть произвольный модуль непрерывности отображения /. Пусть $ Е [О,б). Тогда для любых х,у Е А таких, что рз(х, у) < 1, имеем: рз(Дх),Ду)) < и[р~(х,у)! < ю(1). (Мы воспользовались здесь тем, что модуль непрерывности, согласно определению, — неубывающая функция.) Отсюда юу(Ф) = зпр рвах),Ду)] < ю(Ф), о~(* и)<з что и требовалось доказать. То, что, в случае компактности А, шу(8) — конечно для всех 1 > О, было установлено при доказательстве теоремы 6.7. Лемма доказана. ° 272 Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств Задачи 6.1. Доказать, что аксиомы М2 и МЗ в определении метрического простран- ства можно заменить следующим утверждением: для любых л, у, з с М р(* у) + р( * з) > р(у з). 6.2. Множество Я С Ж" таково, что р(к, у) = (х — у! для любых и, у б Я есть рациональное число. Доказать,что Я вЂ” счетно.
6.3. Пусть Е С Кз есть множество всех точек (и, у, я) б мз таких, что х > О, у > О, я > О, и существует треугольник со сторонами х, у и з. Доказать, что множество Е открытое. 6.4. На плоскости задано произвольное ограниченное множество А, не лежащее на одной прямой. Пусть Е С мз есть множество точек (к,у) Е Кз таких, что на плоскости можно построить прямоугольник со сторонами и и у, содержащий множество А. Доказать, что Е является замкнутым подмножеством Кз. 6.5.
Множество А в метрическом пространстве (М, р) таково, что его пересечение с любым замкнутым шаром В(а, г) есть замкнутое множество. Доказать, что А само является замкнутым множеством. 6.6. Пусть Н~ есть совокупность всех конечных последовательностей а = = (ам аз,..., о„), таких, что при каждому = 1,2,..., и число ол равно либо О, либо 1. Возьмем произвольно Р = („Є..., Д,) е Н".
Пусть 4(а, В) равно числу номеров г, для которых пп ф Д. Доказать, что 4 есть метрика на множестве Н™. 6.7. Пусть А — замкнутое множество в метрическом пространстве (М, р), и Е М. Доказать, что если р(х, А) = 1п1 р(х, у) = О, то я Е А. кеА 6.8. Указать пример замкнутого множества, которое не было бы замыканием своего открытого ядра.
Пусть дано множество М. Характеристической функцией множества Е С М называется функция хн: М вЂ” ~ и, определенная условиями: зги(х) = О, если х и Е, з н(х) = 1 для всякого х Е Е. 6.9. Доказать, что если характеристическая функция множества Е в метрическом пространстве М непрерывна в каждой точке и 6 Е, то Š— открытое множество. 6.10. Пусть Š— множество в метрическом пространстве (М, р). Доказать, что если его характеристическая функция непрерывна в каждой точке х ф Е,то Е замкнуто. 6.11.
Доказать, что для любых множеств А и В в метрическом пространстве М справедливо А 0 В = А 0 В. 273 Задачи 6.12. Пусть (М, р) — метрическое пространство и А С М. Построить пример, когда А ф А. 6.13. Ланы метрические пространства М и Лг. Пусть А С М, В С Ф, А х В С М х М вЂ” их декартово произведение.
Показать, что если А и В замкнутые (открытые) в соответствующих пространствах, то множество А х В замкнуто (соответственно открыто) в М х М. 6.14. Пусть Мг х Мг — декартово произведение метрических пространств (Мырз); (Мг,рг); Р1 . '(х,у) Е Мз х Мг ~-~ х и Рг: (я,у) Е Мг х Мг ~ у — канонические проекции Мг х Мг на Мг и Мг, соответственно.
Пусть С С Мг х Мг — открытое множество в Мг х Мг. Что можно сказать о множествах Р1(С) С Мз и Рг(С) С Мг? Будут ли замкнутыми проекции Р1(А) и Рг(А) замкнутого множества АСМг хМг? 6.16. Пусть (Аз)зет есть произвольное бесконечное семейство замкнутых множеств метрического пространства М. Предположим, что для всякой точки х Е М существует Ь = Ь(л) > О такое, что шар В(х, Ь) пересекается лишь с конечным числом множеств данного семейства. Доказать, что тогда множество Д А~ является замкнутым.
сет 6.16. Доказать, что для того, чтобы множество У в метрическом пространстве М было открытым, необхоцимо и достаточно, чтобы для всякой сходящейся последовательности (я ) еи точек пространства М,предел которой принадлежит множеству у, существовал номер р такой, что если и > Р, то х„ является элементом множества У. 6.1?. Пусть Б — и-мерный сегмент. 1";  — ~ Ига — непрерывное отображение.
Локазать, что для любого а Е ЛГ' множество у ~(а) замкнуто. 6.18. Пусть (М, р) — метрическое пространство, ?: М вЂ” ~ К вЂ” непрерывнзл функция. Показать, что множество (я Е М: 1(я) < а) замкнуто в М. 6.19. функция 1: К вЂ” ~ К дифференцируема для всех х. Доказать, что если для всех у множество (х 6 Й ! у'(х) = у) замкнуто, то производная ?' непрерывна. 6.20. Указать границу, замыкание и открытое ядро следующих множеств в 11г Ц прямоугольника [ад, Ьг) х (аг, Ьг) С Ж~, 2) замкнутого круга с выброшенным радиусом Я = ((я,у): х + у < Ц ~ ((х,у)~у = О, О < х < Ц, 3) графика функции у = зш я/х, т?Ь О.
6.21. (М, р) — метрическое пространство, А и  — замкнутые подмножества М, А 0 В = Я. Верно ли, что 1п1 р(х,у) ~ О? яеА,зеВ 6.22. Пусть даны метрические пространства (М;,р;), 1 = 1,2,...,то. Показать, что если каждое из этих пространств полно, то их декартово произведение также является полным метрическим пространством. 274 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств 6.23. Пусть ?': [а,Ь] — ~ Ж есть ограниченная функция. На плоскости Ж~ построим график функции?. Доказать, что функция у будет непрерывной в том и только в том случае, если ее график есть замкнутое множество в метрическом пространстве й . 6.24. Пусть А С Ки есть непустое замкнутое множество, хо 6 Ни.
Доказать, что натщется точка уо Е А такая, что ]хо — уо] = 1п1 ~хо — у]. яеА 6.26. Пусть (М, р) — метрическое пространство. Будем говорить, что шар В(а,г) строго вложен в шар В(Ь, г), если замкнутый шар В(а, г) содержится в В(Ь, т). Доказать, что если М есть полное метрическое пространство, то для всякой последовательности шаров (Ви)иеи такой,что при каждом п шар Ва» 1 строго вложен в шар В„и радиус шара В„стремится к нулю при и — со, существует, и притом только одна, точка хо, принадлежащая всем шарам последовательности. 6.26.
Функция у: М вЂ” ~ Ж в метрическом пространстве М называется полу- непрерывной снизу (сверху) в точхе хо Е М, если для всякого е > О можно указать такое Ь > О, что для всех х Е М, для которых р(х, хо) < Ь, выполняется неравенство у(х) > у(хо) — е (соответственно, ~(х) < у(хо) + е). Функция у: М вЂ «К называется полунепрерывной снизу (сверху) на М, если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках множества М. Доказать, что для того, чтобы функция г":М вЂ” К была полунепрерывной снизу (сверху) в точке хо Е М, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности (х„) аи точек пространства М, сходящейся к хо, выполнялось неравенство г(хо) < 1цп 1(хи) (соответственно, У(хо) > 11п1,1(х„)).
и аа а аа 6.27. Доказать, что для того, чтобы функция г': М вЂ” ~ Н была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого Ь Е Н множество (х 6 М: г(х) < Ь) было замкнутым. 6.28. Доказать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полу- непрерывна снизу. 6.29. Доказать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полу- непрерывна сверху. 6.30.
Доказать, что если пространство М вЂ” компактно, то всякая полунепрерывная снизу функция принимает на М свое наименьшее значение. 6.31. Пусть 1: ]а, Ь] — ~ й — функция, удовлетворяющая условию Гельдера с показателем а на (а, Ь]. Положим: )]Да аа зпр ]у(х)]+ зпр ),1 (х1) — 1 (х2)] ХЕ1а,Ь1 а1,хзе(а,ь! !х1 — х2] Доказать, что у — ~ )]Да есть норма. Будет ли пространство Са((а, Ь]) функций, удовлетворяющих условию Гельдера, снабженное этой нормой, полным? 275 Задачи 6.32. Пусть А есть совокупность всех чисел отрезка [О, 1], разложения которых в десятичную дробь содержат только числа 0 и 5. Доказать, что А замкнуто.
6.33. Множество А С й" называется выпуклым, если всякий отрезок, копны которого принадлежат А, содержится в А, то есть для любых хы хз Е А и любого $ Е (0,1! точка (1 — $)хг+ Фхг Е А. Пусть А — замкнутое множество. Доказать, что если для любых х1 6 А, х1+ х1 хз Е А точка Е А, то множество А выпукло. 2 6.34. Пусть У С и" — открытое множество.
х1 + хз Доказать, что если Е У для любых хм хе Е У, то множество П 2 выпукло. 6.35. Пусть А и  — непересекающиеся замкнутые множества в метрическом пространстве М с метрикой р. Доказать,что если А — компактно,то найдется число 6 > 0 такое,что для всякого х Е А и любого у Е В выполняется неравенство р(х, у) > с. Доказать, что в этом случае существует точка хе 6 А такая, что р(хс, у) = = '1пГ р(х,у). яЕА 6.36. Пусть р > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
