1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

з 1 главы 4). Чтобы иметь полный набор правил для вычисления частных про- изводных, необходимо еще добавить формулы для нахождения частных производных суперпозиции. (Это будет сделано позднее (см. п. 2.4).) Если функция, определенная на некотором интервале множества й, имеет конечную производную, то она является, в определенном смысле, «хорошей» функцией. В частности, можно утверждать, что эта функ- ция н е п р е р ы в н а в данном интервале.

Для функций многих переменных ситуация сложнее. Существова- ние в каждой точке области определения функции частных производных и даже производных вдоль любого вектора Ь не обеспечивает даже не- прерывность функции, как показывают следующие п р и м е р ы. Пример 1. Пусть и = 2, У = К~. Определим функцию ~(х,у) пере- менных (х,у) Е К~, полагал У(0,0) = О, а при х +у ф 0 Пх у) =,,+„,.

288 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Данная функция у(х, у) имеет частные производные — и — для любых ду ду а ду (х, у) Е К . Действительно, при у ~ 0 функция 2ху х~ — ~ хе+ уз переменной х дифференцируема при любом у ф 0 и, значит, производная д~ — существует в каждой точке (х, у), у которой у ~ О.

дх Далее, У(х, 0) = 0 при всяком х и, значит, — (х, 0) = 0 при всех х. ау дх дУ Мы получаем, таким образом, что частная производная — (х,у) ах определена для любых (х, у). ду Аналогично устанавливается, что и производная — (х, у) опредеду лена в каждой точке (х, у) е 2 . Д о к а ж е м, что данная функция ~(х, у) не является непрерывной в точке (0,0). Действительно, положим х($) = $созр, у(г) = ~з1пу, где Ф > О.

Тогда получим: ~[х(г) У(Ф)] г — — в1п 2р (1.5) При 1 — 0 (х(з), у(1)) — + (О, 0). В то же время величина Дх(й), у(й)), как видно из равенства (1.5), может иметь пределом при $ -+ 0 любое число 1 такое, что -1 < 1 < 1.

Отсюда ясно, что данная функция у не является непрерывной в точке (О, 0). Пример 2. Будем рассматривать функции в 1к~. В качестве У снова возьмем всю плоскость К . Искомый и име обно описать геомет ически см. ис. 1 Пусть С есть множество всех точек (х, у) Е Й, для которых выполняется неравенство: х4 < у < х~. Если (х, у) Е С, то очевидно, что у > 0 и — 1 < х < 1, причем х ф О. 289 З 1. Понятия частной производной и дифференциала Рис l Область С состоит из двух лунок, симметричных относительно оси Оу и ограниченных сверху параболой у = хз, а снизу кривой у = х4. Точка (О, 0) не принадлежит С. Полагаем /(х, у) = 1 при (х, у) Е С и /(х, у) = О, если (х, у) ф С. функция / является разрывной в точке (О, 0). Действительно, пусть для п = 1, 2,...

1 1 х'* и+ 1' "" (и+ Цз ' При каждом п +ц4 ( +цз у" (и+цз и, значит, (х„,у„) Е С. При и -+ со будет х~ — + О,у„-+ О. Для всех п справедливо /(х„,у„) = 1 и, следовательно, /(х~, у„) — 1 ~ У(0,0) при и — оо. Отсюда следует, что функция / не является непрерывной в точке (О, 0). Д о к а ж е м, что в этой точке данная функция / имеет производную дь/ для любого вектора Ь = (р, д) ф (0.0).

Для этого покажем, что для всякого такого вектора Ь найдется б > 0 такое, что 1Ь ф С при ф < б. Действительно, если д = О, р ~ О, то И ф С для всех 1 Е К. Пусть д ф О. Отношение 1~)р)/Щ стремится к нулю при 1 — 0 и, значит, найдется значение б > 0 такое, что 1~(р )/Щ < 1 при )С! < б. Для таких значений 1 точка 1Ь не принадлежит области С. Действительно, пусть (1) < б.

Если д < О, Ф > О, то МЬ не принадлежит С, так как в этом случае вторая координата точки 1Ь отрицательна. Если же д < О, 1 < О, то Щ = 1д. В силу неравенства 1~р /~1д~ < 1, имеем: 1 р < 1д и, значит, и в этом случае 1Ь ф С. Аналогично рассматривается случай д > О. При ф < б имеем: /(И) — /(0) = О, откуда, очевидно, следует, что производны дь|(0) существует и равна нулю для любого вектора Ь Е Ж . 290 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функдяй многих переменных 1.3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕН ИРУЕМОЙ ФУНК ИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть ст есть произвольное открытое множество в пространстве К".

Наша цель — определить понятие функции, определенной на множестве У и дифференцируемой в точке а Е П. Для случая функпий одной переменной мы называем функцию диф4ерениируемой е ненотпорой тпочне ее области определения, если она имеет в этой точке конечную производную. Существование частных производных в точке, как видно из примеров, рассмотренных в предыдущем разделе, не гарантирует даже непрерывность функции.

В главе 4 было установлено, что для функции одной переменной свойство дифференцируемости в точке равносильно следующему: приращение функции с точностью до слагаемых, бесконечно малых в сравнении с приращением независимой переменной, пропорционально приращению независимой переменной, то есть имеет место равенство: у(х) — у(а) = Й (х — а) + о(~х — а~) при х — а. Определяя, чтб есть дифференпируемвя функпия многих переменных, мы возьмем за основу некоторый а н а л о г этого свойства дифференцируемых функций одной переменной.

Свойство дифференцируемых функций одной переменной, о котором идет речь, может быть сформулирован следующим образом. Функция т"(х) дифференцвруема в точке а Н К ее области определения, если существуют число Й Е К и функция а(х) такие, что о(а) = О, ет(х) — О при х — а и для всех х имеет место равенство: у (х) = 7(а) + Й(х — а) + а(х) ~х — а~. Функция х Е К ~ Йх является линейной. Таким образом, функция Г", определенная на некотором подмножестве к, дифференцируема в точке а, если ее приращение Г(а+ ь) — т'(а) вблизи точки а хорошо приближается линейной функцией ЙЬ переменной Ь вЂ” и тем лучше, чем ближе точка х = а + Ь к точке а.

Приведем теперь определение понятия, которое нас интересует. Пусть У есть произвольное открытое множество в К" и 7: У вЂ” К вЂ” произвольная вектор-функция, определенная на множестве с7. Будем говорить, что функция 7 дифференцируема в точке а Е О, если существуют линейное отображение Ь: К" — К и функция а: ст — ~ К™" такие, что а(а) = О, а(х) — О при х — а и для всех х Е У имеет место равенство: (1.6) у(х) = у(а) + Ь(х — а) + а(х) ~х — а~. З 1. Понятия частной производной и дифференциала Линейная функция Х, стоящая в этом равенстве, называется дифференциалои отображения Х в точке а и обозначается символом д1(а) либо символом дХ,.

Значение дифференциала на векторе Ь Е К" при этом обозначается одним из выражений: а1 (а; Ь) или ЩЬ). П иве ем и уме ы. ХХример 1. Если функпия Х постоянна на множестве У, то она дифференцируема в каждой точке х Е У. При этом ее дифференциал тождественно равен нулю.

Действительно, в этом случае равенство (1.6), очевидно, выполняется с Х— : О и о(х) = О. Пример 2. Отображение А: К" — К называется аффиннььн, если оно допускает представление: А(х) = а + Х (х), где а — вектор в К", а Х: К" — К есть линейное отображение. Линейное отображение Х называется линейной частью аффинного отобрахсения А. Для всякого вектора Ь Е К" имеет место равенство А(х+ Ь) — А(х) = Х(Ь), каково бы ни было х Е К", так что линейное отображение Х определяется по данному аффинному отображению единственным способом. Всякое аффинное отображение дифференцируемо в каждой точке р Е К".

Действительно, пусть А(х) = а+ Х(х), где а = сопзФ Е К", а Х,: К" — К есть линейное отображение. Для всякой точки р Е К" имеем: А(х) = А(р) + Х (х — р). Мы видим, что для функции 1(х) = А(х) равенство (1.6) выполняется с функцией а(х) = О. Таким образом, мы получаем, что всякое аффинное отображение дифференцируемо в каждой точке х Е К" и его дифференциал совпадает с линейной частью аффинного отображения. В частности, мы получаем, что всякое линейное отображение дифференцируемо и его дифференциал совпадает с ним самим. И Теорема 1.1.

Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Тогда если отображение Х: У вЂ” К дифференцируемо в точке а Е У, то оно непрерывно в этой точке и для всякого вектора Ь Е К" существует производная функции Х в точке а вдоль вектора Ь. При этом имеет место равенство: дь|(а) = 4(а; Ь). В частности, для всякого з = 1, 2,..., п имеет место равенство: — (а) = дУ(а;е;), дУ дх; где ез, ег,..., е„суть векторы канонического базиса пространства К". 292 Гл. 7. Лиффереяциальное исчисление функций многих переменных Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги