1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Множество Г называется коническим, если оно удовлетворяет следующему условию: для всякой точки х Е Г и любого Л > 0 точка Лх принадлежит Г. Пусть Г есть открытое коническое множество в пространстве Й". Функция у: Г ~ (О) — К называется однородной степени г, где т есть вещественное число, если для всякой точки х Е Г и любого 1 > 0 выполняется равенство у(Фх) = Ф" У(х). ° Теорема 2.4 (теорема Эйлера об однородных функциях). Пусть Г есть открытое коническое множество в К". Предположим, что функ- дУ ция у: Г '1 (0) — 2 имеет в Г '1 (01 частные производные —, причем дх,' при каждом г = 1, 2,..., п эта производная есть функция, непрерывная ла множестве ГЦО) .
Для того чтобы функция 1" была однородной степени г, необходимо и достаточно, чтобы для всех х Е Г ~ (0) выполнялось равенство: г~(х) = ~ хь — (х). ду дхь и=1 З 2. Лостаточвые условии дифферевлируемости фувкпии в точке 309 Доказательство. Предположим, что У есть одиородиая степени дУ г функпия, причем производные — определены и непрерывны в каждой а*й точке множества У ~ (0). Возьмем произвольно точку х Е У. Тогда для любого Ф Е (О, 1] имеем: Ф ) =~'У( ) дифференцируя обе части этого равенства по $, получим: гМ' у(х) = ~ хй — ($х).
ду дхй ййп Полагая здесь | = 1, приходим к равенству: гу(х) = ~ хй — (х). дУ Охй Необходимость условия теоремы тем самым д о к а з а и а. Покажем д о с т а т о ч и о с т ь. Предположим, что функция у: У вЂ” К такова, что для всех х Е Уе = У'1 (0) выполняется равенство: гУ(х) = ~~~ хй — (х). ау й=1 (Предполагается, что все производные в правой части данного равенства всюду определены и непрерывны.) Возьмем произвольно точку х Е У такую, что х ~ О, и для 1 > 0 положим ~р($) = у(гх). Тогда для всех г > 0 имеем: ~р (1) = ,'й хй — (Фх) = — ,'й $хй — (гх) = -у(Фх) = — ~р(Ф). (2.12) д~ 1 д~ г г дхй Ф дхй 1 Ф ййп й=1 В случае, если г = О, отсюда следует, что у'(Ф) = 0 для всех Ф > О, и, значит, функция у постоянна на промежутке (О,оо).
В частности, получаем, что у(1х) = <р(Ф) = ~р(1) = у(х), то есть ~ есть однородная функция степени О. 310 Гл. 7. Лнфференцнальное исчисление функций многих переменных Пусть т ф О. Тогда из равенства (2.12) следует, что пр'($) = гу($). Отсюда получаем: Это позволяет заключить, что функция 1 ь — в промежутке р(~) гг (О, оо) — постоянна. В частности, получаем, что для всех $ > Π— = Ю(1), ю(г) то естыр(г) = ~(1х) = Ф"~р(1) = 1"~(х) для всех х > О. Теорема тем самым доказана. ° ~3. Производные высших порядков Предположим, что функция ~, определенная на открытом множестве 17 пространства Й", в каждой точке х Е с' имеет частную произ- дУ дУ водную — (х).
Тем самым на множестве П определена функция —. дх~ дх;' Частные производные этой функции, если они существуют, называются частными производными второго порядка исходной функции ~. Частные производные от производных второго порядка функции ~ называются ее производными третьего порядка и т. д. Для всякого целого г > 1 определено понятие производной порядка т функции. Исследование свойств частных производных высших порядков и есть основная задача настоюцего раздела.
Первое важное свойство заключается в следующем. Пусть даны произвольно номера з' и 7', лежащие между 1 и и. Функцию 7 можно попытаться продифференцнровать сначала по переменной х,, а затем по переменной хд. Можно попробовать проделать процесс дифференцирований в другом порядке: сначала найти производную по переменной хд, а затем по переменной х;. Оказывается, что при достаточно общих предположениях относительно данной функции в обоих случаях мы получим один и тот же результат.
Утверждение, устанавливающее условия, при выполнении которых это имеет место, будем именовать теоремой о симметричности вторых производных. Аналогичный результат об изменении порядка дифференцирований устанавливается здесь также и для производных вьппе второго порядка. 'З 3. Производные высших порядков В связи с понятием производной порядка т, где т Е М, естественно возникают классы функций С'. Исследование простейших свойств функций этого класса — последний вопрос, который рассматривается в этом параграфе.
3.1. Определение ДРОЯВВОдных Выше пеРВОГО пОРЯдкА Относительно всех рассматриваемых функций далее предполагается, что они определены на открытом множестве У пространства 1к" и принимают значения в пространстве 1к Пусть даны функция у: У вЂ” + 1к™ и точка хв Е У. Предположим, что во всех точках некоторой окрестности т' = В(хв,е) С У точки хв дУ существует частная производная — (х). дх; ду Если функция р; = —, определенная таким образом на множестве дх,. т', в свою очередь, имеет в точке хв частную производную по переменной хд, то эту новую производную обозначают символом: " (х.) дх;дхд и называют производной втврвео порядка функции У в точке хв по переменным х; и хд. Далее, если функция дз ~ дх,дх,.
определена во всех точках некоторой окрестности точки хв и имеет в этой точке производную по переменной хь, то последняя обозначается символом: (х.) дх 'дхудхь и называется производной таретпьеео порядка функции ~ в точке хв по переменным х;, хд и хю Продолжая данное построение, приходим к понятию производной порядка т функции Х по переменным х;„х,„..., х;„для любого т Е 1з. Формально оно определяется по индукции. Предположим, что для некоторого т Е 1ч' определено, что есть производная (х.) дх;,дх;,...дх;„ функции ~ в точке хв по переменным х;„х;„..., х,, 312 Гл.
7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Предположим, что точка хо имеет окрестность $' = В(хо, е) такую, что для всех х Е [' определена производная д'у Набору индексов в этом выражении слева предшествует запятэя— для того чтобы избежать смешения с индексами, означающими номера компонент вектор-функции у. Производная функции ~...,, в точке хо по переменной я;„... (') если таковая существует, называется производной порядка с+1 Яункции у" по переменным х;,,..., х;„, х, Производную (*) дх;,дх;,...дх,„ будем обозначать также одним из следующих выражений: Р;„...
Р Р;, у(х) или ~~,.",),,, (и). Обозначим конечную последовательность (гы зз,..., з',) символом 1. Тогда вместо Р,,... Р;, Р;, г" будем также писать: Ргу или ~ (') Для обозначения производных дзУ дт;дх, ' дт дхудхь используются также выражения вида: у, з, у... и т. п. Если компоненты точки я обозначаются не одной буквой с индексами, а разными буквами (как это обычно делается в случае, когда и мало), то в обозначениях для производных обычно вместо ич пишут символ, которым обозначается в-я компонента вектора я.
Для производнь|х применяются также и другие обозначения, о которых целесообразно говорить лишь после того, как будут установлены некоторые дальнейшие свойства частных производных порядка г. Наибольшее число различных частных производных порядка г, которые может иметь произвольная функция и переменных, как очевидно, равно и'. Однако, как будет показано далее, при определенных достаточно общих предположениях относительно функции оказывается, что среди этих производных некоторые тождественно совпадают, так что практически число производных порядка т в случае г ) 1 значительно меньше и". З 3. Производные высших порядков Будем говорить, что функция ~: У вЂ” ~ К™, где У вЂ” открытое множество в К", принадлежит классу С'(У, К™) или, короче, классу С" (У), или, наконец, просто классу С", если у имеет в каждой точке х е У все частные производные порядка г, причем эти производные являются функциями, непрерывными в У.
Будем говорить, что функция Х: У вЂ” К™ принадлежит классу С (У,К™) или, короче, что у есть функция класса С, если У е С'(У, К™) для любого т ) 1. Под производной нулевого порядка функдин 1 понимается сама функция. В связи с этим условимся, что если т = О, то С" (У, К™) означает просто множество всех непрерывных функций У: У вЂ” К . В этом случае вместо С пишут просто С. Пусть 1: У вЂ” ~ К™ — функция класса С" и пусть у есть какая-либо из производных порядка г — 1 функции у. Тогда, согласно определению дф класса С", функция ~р имеет частные производные —, з = 1,2,..., и, дх; причем каждая из них непрерывна в У. Как было доказано в З 2 этой главы, отсюда следует, что функция ~р дифференцируема в каждой точке множества У и, следовательно, непрерывна в У.
В частности, полагая г = 1, получаем, что если у есть функция класса С', то у — непрерывна. Таким образом, мы видим, что если функция у принадлежит классу С", то любая ее производная порядка г — 1 в У непрерывна и, значит, у принадлежит классу С" 1. Мы получаем, что имеет место включение С'(У,К ) с С' (У,К™). По индукции, отсюда заключаем, что для всякого целого й такого, что О < и < т, С'(У,К ) С С"(У,К ). Пусть дана функция у: У вЂ” К и пусть |зэк = 1,2,...,т, суть ее компоненты, так что для произвольного х б У имеем: Дх) = (~з(х), )з(х),...,1„,(х)). Тогда из утверждений, дохазанных ранее для производных первого порядка, с очевидностью следует, что функция у имеет производную Рг~ в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций ~з имеет производную Р~Д.
При этом для всякого х е У. Вектор-функция у принадлежит классу С в том и только в том случае, если каждая из ее компонент — вещественных функций Д, .з = 1,2,...,т, принадлежит классу С". 314 Гп. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 3.2.
СВОЙСТВО СИММЕТРИЧНОСТИ ПРОИЗВО НЫХ ВТОРОГО ПОРЯ КА Как было сказано выше, общее число производных порядка т произвольной функции класса С" на самом деле существенно меньше, чем можно было бы предположить, исходя из определения. Этот факт следует из теоремы, касающейся производных второго порядка, доказательство которой есть пель этого раздела. ° Тедзрндмн 3.1. Пусть У есть открытое множество в К . Предположим, что дпя некоторых д, у, где д ф д, функция д имеет в У частные производные Р;у, Рйу, .0 Рду".
Тогда если производная Р РД в точке хо Е У непрерывна, то в точке хо существует производная РдР.д (хо), причем имеет место равенство: Р;Р И ) =Р Рж ). Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда У есть функция со значениями в К. Предположим, что функция у имеет производные Р,~, Р у, Р Рду, причем производная 030;~ непрерывна в точке хо. Зададим произвольно е > О и найдем по нему бд > О такое, что всякая точка х Е И", для которой ]х — хо] < бд, принадлежит множеству У, причем выполняется неравенство: (3.1) бд Положим б = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
