1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 52
Текст из файла (страница 52)
° Теорема 2.2. Пусть даны открытое множество П в пространстве 2", открытое множество Р в И™ и отображения ~: П вЂ” + К н 304 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных д: У -+ ж~, причем ~(У) С У. Тогда если 7 дифференцируемо в точке а Е У, а д — дифференцируемо в точке Ь = Да) Е У, то функция Ф = д о У дифференцируема в точке а.
При этом дФ = аде о ф . Доказательство. Пусть отображения 7' и д удовлетворяют всем условиям теоремы. Тогда для у Е Ъ' д(у) = д(Ь) + К(у — Ь) + п(у)]у — Ь], (2.6) где К = аде есть линейное отображение, о(Ь) = О и п(у) -+ О при у -+ Ь. Так как функция 7, по условию, дифференцируема в точке а Е Ь7, то у (х) = 7 (а) + Й(х — а) + С (х) [х — а[, (2.7) где 7 = ф — линейное отображение, с(а) = О и Дх) -+ О при х — ~ а. Полагая в (2.6) у = у(х), получим: Ф(х) = дух)] = д(Ь) + КЯх) — Ь] + О[~(х)] [7(х) — Ь] = = д[Да)] + К~~(х) — 7(а)! + О[Дх)][~(х) — У(а)]. (2.8) Мы воспользовались здесь тем, что, по условию, 7" (а) = Ь.
Разность 7"(х) — До) представим с помогцью равенства (2.7). В результате будем иметь: Ф(.)= = Ф(а) + К[7 (х — а)] + К[ч(х)][х — а[+ т)[У(х)]]7(х — а) + с(х)]х — о[[ = = Ф(а) + (К о Ь) (х — а) + Дх) [х — а[, где Да) = О. При х ф а будет (2.9) Дх) = К[с(х)]+О[~(х)] +с(х) . При х — ~ а будет г(х) — О и О[~(х)] — о[7(а)] = О. Множитель при О[~(х)] в правой части (2.9) не превосходит ][Ц[+]с(х) [ и, следовательно, он есть величина типа 0(1) при х — а. Отсюда следует, что Дх) — ~ О при х — ~ а.
(Здесь [Щ[ означает норму отображении Ь (см. Ц 3 главы 6); для всякого вектора й е ег" имеем: ]ЦЬ) < ][Щ]й[.) Тем самым нами установлено, что функция Ф дифференцируема в точке а. При этом НФ„= К о Ь. Теорема доказана. ° З 2. Достаточные условии лифференцируемости функции в точке Зоб А. Предположим, что функции у и д удовлетворяют всем условиям теоремы. Пусть Ф = д о 1'.
Дифференциал функции д в точке Ь = У(а) допускает представление ад=,)у,— 'д у,. ад ду, у=г Здесь значения производных берутся в точке Ь = у(а), а дуу: 2 -+ К есть линейная функция, определенная условием: для произвольного и Е К величина ду.(и) есть компонента с номером д' вектора и. Отсюда заключаем, что для любого вектора 6 Е К" имеет место равенство йФ(а;6) = дд[Ь;д((';6)] = ~ (Ь)с1у [4(а;6)].
ду т=г В соответствии со сказанным, ду [с(г(о; 6)] есть компонента с номером у вектора 4(а; 6), то есть йуу[оу(а; 6)] = оу (а; 6), и, следовательно, дф(а; 6) =,'~ — [у(о)]с(Яа; 6). дд дуу (2.10) и=г Далее, имеем: — (о) = дФ(а; е,), дФ дх; где е;, г = 1, 2,..., п, суть еекторы канонического базиса пространства ИФ Полагая в (2.10) 6 = е;, получим искомое выражение для частных производных функции Ф = д о у: — (а) = ~~ — (Ь) — ~(о). дФ дд а~у дх; ау; ах, 1=1 (2.11) 2.5.
ПРИЗНАК ПОСТОЯНСТВА ФУНК ИИ Предварительно определим некоторый подкласс в совокупности всех открытых множеств пространства К". П уведем о м л ы ля вычисления частных п оизво ных с пе- 306 Гл. 7. Ляфференцяальное исчисление функций многих переменных Путем или параметризованной кривой в пространстве Й" называется всякое непрерывное отображение С: [0,1] — й" отрезка [0,1] множества 2 в К". Будем говорить, что путь ( лежит в множестве Е С Ж", если для всех г Е [О, 1] точка С($) принадлежит Е.
Пусть даны произвольные точки р, о Е ж". Говорят, что путь с соединяет точку р с точкой д, если с(0) = р и с(1) = о. Пусть У есть открытое множество в К". Множество У называется открытой областью, или, просто, областью в пространстве К", если для любых двух точек р, а Е У существует путь в пространстве К", который соединяет точку р с точкой д и лежит в множестве У, то есть существует непрерывное отображение С: [О, 1] — ~ К" такое, что ~(0) = р, с(1) = д и с(1) Е У для всех $ Е [О, 1]. ф Предложение 2.1. Всякий шар В(а, г) в пространстве 2" является областью. Доказательство.
Лействительно, пусть р е В(а, г) и о е В(а, г). Лля Ф й. [О, 1] положим с(1) = (1 — Ь)р + 1д. Имеем: С(0) = р и С(1) = д, так что путь С соединяет точку р с точкой в. Легко проверяется, что с(1) Е В(а, г) для всех 1 Е [О, 1]. Таким образом, для любых точек р, о шара В(а, г) существует путь, соединяющий эти точки и лежащий в данном шаре. Аналогично устанавливается, что всякий прямоугольник (амЬ1) х (аг,Ьг) х . х (а„,Ь ) в пространстве Ж" представляет собой область в К". Ф ° Теорема 2.3. Пусть У есть открытая область в пространстве К". Предположим, что функция 1: У вЂ” + Й™ имеет в каждой точке х Е У все частные производные: дУ д1 ду дхг ' дхг ' ' ' ' ' дх Тогда для того, чтобы функция У была постоянной на множестве У, дУ необходимо и достаточно, чтобы каждая из функшвй —, г' = 1, 2,..., п, хз' была тождественно равна нулю.
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь условия теоремы очевидна. З 2. Достаточные условия днфференцнруемости функции в точке 307 Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть У есть открытая область в К и функция у: У вЂ” + К имеет частные производные— н ПЪ дУ дхв для всех г = 1,2,..., п в каждой точке х Е У, причем ду (х) = 0 для всех х Е У при любом г' = 1, 2,..., и. Требуется доказать, что функция у постоянна на множестве У. Предположим сначала, что У есть и-мерный прямоугольник. Зададим произвольно точку хо Е У. Функция у удовлетворяет всем условиям леммы 2.1 с постоянной М = О. На основании этой леммы получаем, что для всякой точки х Е У ]~(х) — ~(хо)] < М,й]х-хо]=О, и, значит, у(х) = У(хо) для всех х Е У.
Р * р дбяяяян~ Фиксируем некоторую точку хо Е У. Возьмем произвольно точку х Е У. Так как У есть область, то найдется путь с: [О,Ц вЂ” К", лежащий в множестве У и соединяющий точку хо с точкой х. Положим и(й) = у[С(1)]. Возьмем произвольно точку Мо Е [О,Ц. Имеем: а = с($о) Е Г Так как множество У вЂ” открытое, то найдется 6 > 0 такое, что шар В(а, б) содержится в У. Положим т = б(~/п. В силу леммы 2.2, куб Я(а,т) содержится в шаре В(а, б), а, значит, и в множестве У. Из доказанного следует, что функция у в кубе Я(а,т) постоянна и, следовательно, У(х) = у(а) для любого х Е Я(а, г). В силу н е и р е р ы в н о с т и 4, найдется е > 0 такое, что если ~1 — Фо~ < е, $ Е [О, Ц, то ]С(8) — С(8о)] < т.
Для всякого $ Е [О, Ц такого, что ]т — $о] < е, точка Д8) Е Я(а, т), и, стало быть, и(т) = У(С(т)) = у(а). Мы получаем, таким образом, что функция и п о с т о я н н а на пересечении отрезка [О, Ц с интервалом (~о — е, 1о + е). Отсюда вытекает, что производная и'(1о) с у щ е с т в у е т и равна нулю.
Точка ~о е [О, Ц взята произвольно. Мы получаем тем самым, что и'(1) = 0 для всех Ф Е [О, Ц, и, значит, функция и в промежутке [О, Ц постоянна. В частности, мы получаем, что У(х) = и(1) = и(0) = Дхо). 308 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Точка х Е Г взята произвольно и, следовательно, 1(х) = 1(хо) для всех х Е Г. Теорема доказана. ° Условие — множество Г есть область — в теореме 2.3 существенно, как показывает следующий пример.
Пример. Пусть Г есть множество всех точек х = (хг, хз,..., х ) пространства К", у которых первая компонента х1 отлична от нуля. Обозначим через Г+ множество тех х Е Г, у которых х1 > О, и пусть Г есть совокупность всех х Е Г таких,что хг ( О. Каждое из множеств П+ и П является открытым и Г = Г+ О Г . Определим функцию 1: à — ~ И, полагая У(х) = -1, если х Е П, и 1(х) = 1, если х Е Г+. На к а ж д о м из множеств Г и Г+ данная функция у постоянна, откуда следует, что ее частные производные все тождественно равны нулю.
В то же время функция 1 не является постоянной на в с е м множестве Г. Понятие открытой области является частным случаем общего понятия сейзноео множестеа, которое мы здесь не приводим. 2.6. ТеОРемА ЭйлеРА ое одноРодной функ ии Пусть Г есть открытое множество в пространстве й".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
