1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Вычисление частных производных 345 Рассмотрим прямое произведение У х К", то есть множество всех пар (х, Ь) таких, что х Е У и Ь Е К~. Полиномиальной К -формой степени г на множестве У называется функция Г: У х К" — К™, такая, что при каждом х Е У функция Ь ~ Г(х,Ь) переменной Ь представляет собой однородный полипом степени г.
Степень полиномиальной формы Г обозначается символом бек Г. Если г = О, то величина Г(х, Л) не зависит от Л, Г(х, Ь) = 1(х) при каждом х Е У и любом Ь Е К". Полиномнальная К -форма нулевой степени, таким образом, определяет некоторую функцию ~: 7У вЂ” + К~. Обратно, если дана функция ~: У вЂ” К, то, полагая Г(х, Ь) = У(х) для произвольных (х, Ь) Е У х К", получаем полиномиальную форму степени О.
Будем отождествлять полученную так К™-форму нулевой степени с данной функцией )': У вЂ” К™. Совокупность всех полиномиальных К -форм степени т на множестве У будем обозначать символом РФ'(17 Кт) Если 1': У вЂ” К есть функция класса С', то ее дифференциал порядка т есть полиномиальная К™-форма степени г на множестве У. Пусть Г есть полиномиальнвя К™-форма степени и, определенная на открытом множестве У пространства К". Тогда для всякого х Е У функция Ь Г(х, Ь) есть однородный полипом степени г. Пусть Г(х, Ь) = ~~~~ Г (х)Ь (а)(г есть каноническое представление этого полинома. Квк было показано ранее (см. п.
4.1), оно определяется однозначно по Г. Тем самым на множестве У определены функции Г: У вЂ” К . Эти функции будем называть коэффиииентами полиномиальной формы Г. Будем говорить, что полиномнальная форма Г степени г принадлежит классу С~, если все ее коэффициенты являются функциями класса Сь. Символом Их, будем обозначать линейную функцию в К", определенную следующим образом. Пля всякого Ь = (Ьы Ьз,..., Ь„) б К" величина еЬ;(Ь) есты-я компонента вектора Ь, ~Ь;(Л) = Ь;.
Выражение для и е ен цала пе ного по а нк ии: У вЂ” ~ К можно, используя введенное вьппе обозначение, представить в следующей форме: 4'(х) = ~ — (х)Нх;. дУ 346 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Выражение Их;,Их; ...дх;„означает однородный полипом Р степени г, который есть произведение линейных форм йх;„Их,„..., сЬ;„ понимаемое в обычном смысле, то есть Р(Ь) = Ь;, Ь;,... Ьаа для всякого Ь = (ЬыЬг,...,Ьа) Е К Б ем также п именять м льтиин ексные обозначения. Г(х,Ь) = ~~~ Г (х)Ь = ~~ Га(х) Ь (Ь), ~айаг ~а~=т и, следовательно, Г(х) = ,'~ Га(х)дха )а(а~ (5.7) для всякого х Е У.
Равенство (5.7) будем называть каноническим представлением полиномиальной Яормы Г. Величины Г (х) в каноническом представлении полинома Г(х) определяются однозначно заданием полинома, и тем самым на множестве У определены функции х ~ Г (х) Е К™, ~а~ = т, — коэффициенты полиномиальной формы Г.
Будем говорить, что полиномиальная форма Г принадлежит классу С', если все ее коэффициенты Га есть функции класса С'. Для произвольного п-мерного мультииндекса а символ дх означает однородный полипом, определенный равенством дх (Ь) = Ь Чтобы н е с п у т а т ь, выражение дх с дифференциалом функции х ~ х, — в случае, когда функция задается некоторой формулой, — дифференциал этой функции словимся записывать, ставя после знака И выражение для функции, заключенное в фигурные скобки.
Например, дифференциал функции х ~ х обозначается символом: й(х ). Полиномиальные формы сЬ будем называть баэисными. Если переменная точка открытого множества У вместо х обозначается каким-либо другим символом, например, одной из букв р, х, Ф и т. д., то вместо дх; и дх мы будем писать др;, йу или, соответственно, йг,ийг ит.п. Если компоненты вектора х обозначаются не одной буквой с разными индексами, а просто разными буквами, как это обычно делается в случае, когда размерность пространства невелика, то в используемых обозначениях вместо дх; следует писать символ, обозначающий гтю компоненту вектора х. Пусть Г есть полиномиальная К -форма степени т > 0 на множестве У С Ж" Для произвольного х Е У и любого Ь й 2" имеем: 347 З 5.
Вычисление частных производных В частности, для дифференциала порядка г функции 1: У С К™ класса С каноническое представление имеет вид: Если У: У вЂ” К™ есть функция класса С", то ее дифференциал порядка г есть полиномиальная К -форма степени г на множестве У. Установим некото ые сотые п а в и л а ействий с полиномиаль- ными о мами полезные п и вычислении и е н цапов высших Далее все рассматриваемые формы предполагаются определенными на открытом множестве У пространства Ж". Пусть Г;, г' = 1,2,...,1, суть полиномиальные й -формы степени т. Их суммой называется полиномиальная форма Г, оиределеннол равенством для любых х Е У и Ь Е И". О т м е т и м, что сумма полиномиэльных форм является полиномиальной формой в том и только в том случае, если степени этих форм совпадают, а их коэффициенты принадлежат одному и тому же пространству К~.
Произведение полиномиальных форм определено только в случае, когда все формы, кроме — самое большее — одной, суть К-формы. Пусть даны: 1) полиномиальные К-формы Г;, з' = 1,2,...,1, степени которых Равны, соответственно, гы тз,..., гб 2) полиномиальная К™-форма С степени в. Произведением данных форм называется функция Г = Г1Гз... Г~С, определенная равенством: Г(х~ Ь) = Г1(х1Ь)Г2(х1Ь) ° ° ° Й(х~ Ь)С(х) Ь)1 для любых (х, Ь) Е У х К".
Нетрудно видеть, что функция Г является полиномиальной формой степени т = г1 + гз + ° + г~ + и. Для базисных полиномиапьных форм имеет место равенство: аз д ез д аз д е1+из (-"+аз (5.8) 348 Гл. Т. Дифференциапьное исчисление функций многих переменных Каноническое представление произведения поляномиальных форм можно получить, перемножая канонические представления этих форм как обычные многочлены.
При этом произведение базисных форм в канонических представлениях определяется согласно формуле (5.8). Обычные свойства операций сложения и умножения функций сохраняются и для полнномиальных форм. Основная опе ия в исчислении полиномиальных о м есть опе- ия и е е ования.
Пусть Р(х) = ~~ Р (х)ох )а(=г Здесь оР (х) означает дифференциал функции Р (х), то есть полино- миальную К -форму первой степени, определенную равенством: ИР„(х) = ~ — (х)ох,. дР дха (5.9) В соответствии с этим определением, для произвольных х Е У и Ь Е Ж" выполняется равенство: ° Лемма 5.1. Для всякой полнномиальной Я -формы Р класса С~, где Й > 1, для любых х Е У, Ь Е 1ь" и Ф Е Й такого, что х + И Е У, выполняется равенство: й ог — [Р(х + 1Ь; Ь)1 = Г(х + И; Ь). есть полиномиальнэя форма степени г > О, принадлежагцая классу Сь, где Й > 1.
Согласно определению, это означает, что все коэффициенты Р суть функции класса С", Дифференциалом формы Р называется форма оР степени г + 1, определенная равенством: з 5. Вычисление частных производных 349 Доказательство. Имеем: Р(х+М;Ь) = ~ Р„(х+Иь)Ь . )а(=т (5.10) При всяком а имеем: — (Р (х+ФЬ)] = ~~~ — (х+И)Ь, = йР„(х+М;Ь). (5.11) Н " аР. ~М дх,. Дифференцируя обе части равенства (5.10) почленно и принимая во внимание (5.11), получим: И вЂ” [Р(х+Ю;Ь)] = ~ йР (х+И;Ь)Ь =НР(х+М;Ь). ~а~=г Лемма доказана. ° И'~ 1(х) = ~Яд"Д(х). (5.12) Действительно, возьмем произвольно х Е У, Ь Е К",и пусть $ Е й таково, что х + 1Ь Е У.
Положим ~р(Ф) = у(х+ 1Ь), В силу теоремы 4.3, имеем: у1(~) = о,г(х+ФЬ;Ь). Далее, из теоремы 4.3 следует, что 3 а м е ч а н и е. Лемма 5.1, в частности, позволяет доказать, что для произвольной функции у: У вЂ” К класса С", Ь > 1, ее дифференциал порядка с+1, где с+1 < Ь, является дифференциалом полиномиальной формы д'у(х), то есть имеет место равенство: 350 Гл.
7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Согласно лемме 5.1, Ф И) = д(о' у1(х + ФЬ; Ь), и мы получаем, таким образом, что выполняется равенство: д +'У(х+ М.Ь) = д(д"Л(х+ т;Ь). Полагая 8 = О, получим, что д +'У(х; Ь) = Н(о"Д(х; Ь) для любых хЕУиЬЕЙ Тем самым равенство (5.12) д о к а з а н о. Отметим некого ые с в о й с т в а понятия и е е зла полино- мм ъй.еж 1) Пусть даны полиномиальные К -формы Р,, г = 1, 2,...,1, степени т и класса С, й ) 1. Тогда д(Рг+Рг+ .
+Р~) = дРг+НРг+ +дРь Справедливость данного утверждения непосредственно вытекает из определения дифференциала полиномиальной формы. 2) Пусть Рг, Рг,...,Р~ суть полиномиальные Ж-формы класса С~, С вЂ” полиномиальная К -форма того же класса гладкости С", Й > 1. Тогда Р = РгРг...Р~С есть полиномиальная форма класса С и имеет место равенство: НР = ЙРгРг... К С + ГАРг... Р~С + . + РгРг...
НАС+ +Р1 Рг ° ° ° Р1 дС. (5.13) Коэффициенты формы Р алгебраически выражаются через коэффициенты данных полиномиальных форм, из чего следует, что Р принадлежит классу С . Чтобы доказать равенство (5.13), воспользуемся леммой 5.1. Положим для г = 1,2,...,1 ггг(Ф) = Р;(х + П; Ь), 4(1) = С(х + М; Ь), о(~) = Р(х + Иь; Ь) = у1(~)... у~(~)ф(~). В силу леммы 5.1, имеем: йР(х; Ь) = 9'(0). Правило диф4еренцирования Яункций одной переменной позволяет заключить, что З 5. Вычисление частных производных 351 + р (0)... !о (0)Ф (0).
(5.14) Имеем: !$$$(0) = Рг(х; Ь), $!$(0) = $2(х; Ь). Согласно лемме 5.1, $р';(О) = 11Р1(х; Ь) при каждом 2' = 1, 2,...,1, и, далее, ф'(О) = $1С(х; Ь). Подставляя зти выражения для производных в (5.14), получим (5.13). Предположим, что у: У вЂ” К™, где У вЂ” открытое множество в К", есть отображение класса С', г > 1. Тогда при Ь < г, Ь > 1 для всякого х Е У и любого вектора Ь Е К" имеет место равенство: ~ь Ь! — „У(х + И) = ,'~ — ', О ~(х) Ь = й" ~(х, "Ь). (5.15) г=о — У(х+ гЬ) = '~ — (х+ гЬ)Ь;,. дУ $М дх$1 $1=1 (5.16) Дифференцируя его почленно, найдем, что — „,,У( +~Ь) = ,'~' — „,( — (*+~Ь))Ь;,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
