1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 65
Текст из файла (страница 65)
З 3 этой главы). Итак, построены открытые множества И~ в Ж" и Ъ' в К™+~ такие, что для всякого х б И~ существует у = «р(х) Е Ъ' такое, что г'[(х, «р(х)] = О. П о к а ж е м, что такое у единственно. Действительно, пусть у = (г,и), где 1 Е К, а и Е Н™ таково, что Р(х,г,и) = О. Имеем: ~" = (го — «?,1о+ «?) х Н.
Отсюда следует, что 1 Е ($о — «?,го+ «?), и, значит, (х,1) Е В(хо, б) х (го — «?, го+ О) С С. При 1 = 1,2,...,т выполняется равенство: Г,(х,1,и) = О. Отсюда следует, что и = Х(х,$). В частности, мы получаем, что для данных х, Ф и и имеет место равенство: Р +г(х, «, и) = Р' +1[х, г, Х(х, $)] = Ф(х, «). Так как х Е В(хо,б), а 1 Е (1о — «?,1о — «?), это позволяет заключить, что 1 = «б(х).
Окончательно получаем, что я = «б(х), а и = у[х, «б(х)] = д(х), то есть у = (1, и) = («б(х)В(х)) = «р(х). Единственность у доказана. Мы получаем, таким образом, что если утверждение теоремы верно для некоторого т, то оно остается верным, если т заменить на т, + 1. Для т = 1 теорема верна. По индукции из доказанного вытекает, что доказываемое утверждение верно для всех «г и т. Теорема доказана. ° Задачи Т.1. Прн каких значениях а > О функция у: (хм хг,..., х««) й Й" «-+ (хг + хг + + ха) гз !г 1) днфференцнруема в точке (О, О,..., 0)? 2) принадлежит классу Сг(ж"), где г > 1? ?.2. Найти второй дифференциал функции 1 1 ] ! ( г+хг+ .+ г) (где г — вещественное) в точке а Е й", а ф О.
380 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 7.3. Найти второй дифференциал функции Ф' ( г+ 2+...+хг)'~~ 7.4. Определить дифференциалы первого и второго порядка функции и — г л(г ~: (хд,хг,.-.,ха) ~-+ ~х; — х„ 14г 7.о. Функция у: У вЂ” К, У С Ж", принадлежит классу С . Выразить через дифференциалы функпии 1 дифференциал порядка г функции д(х) = (Дх)]~.
х 7.6. Определить дифференпиал функции х: х Е Ки 'Л (О) ь-» — в произволь- !ха ной точке хо ф 0 ее области определения. пу... ° = я.л ° ~: (О, ) - я, ° =,,~*г~, ~~. я' дги дги дги — + — + — = г" (г). Вычислить функцию г'(г). дхг дуг дяг 7.8. Исследовать на дифференцируемость функцию х Е Ж" ~-~ 1 + ф — е~*~ в точке х = О. 7.9. Доказать, что функция у: х ~ зш )х) — )х), х Е И", дважды дифференцируема в точке х = О. Найти агДО). 7.10. Наказать, что функция (х, у) ~-~ (х(+ (у) не является дифференцируемой в точке (О, 0) Е К~.
7.11. Найти дифференциал в точке (О, О, 0) функции аы + хд агг агз агд адг + хг агз азл азг азз + хз (хг~ хг) хз) 7.12 Наказать, что функция соз ЛЯ+ хг принадлежит классу С~" (жг). дги дги дги 7.13. Найти значение величины — + — + . ° + — для функции дхг дхг ' ' ' дхг и: (Х1~ Х2,...,Ха) ~-~ СОЗ ( в точке (О, О,..., 0). д4и 7.14. Определить значение в точке (0,0) производной функции д гдх ' 1 и: (хыхг) ~ 1 — х — х 1 2 381 Задачи згп (х! 'Т.15. Доказать, что функция т': х Е Ка'10 ~-~, т'(0) = 1, принадлежит !4 классу С" при любом т > О. 7.16. При каких значениях сг функция 1 ,Т(х,у) = (х + у )~~ згп /хг + у2 если хг+ уг ф О, Т(0,0) = 0: 1) непрерывна в точке 0 б м"? 2) дифференцируема в этой точке? Т.1Т.
Доказать, что функция (х1, хг) ~-~ ппп(х1, хг) в Й~ непрерывна. Будет ли эта функция дифферендируема: 1) в точке (1, 1); 2) в точке (1, 2)? 7.18. Функции Т: ( — 1, 1) х ( — 1, 1) — ~ Ж и д: ( — 1, 1) х ( — 1, 1) — ~ К дифференпируемы в точке (О, 0), причем все их частные производные обращаются в нуль в точке (О, 0), Т(0,0) = д(0,0) = О.
Пусть Ь(х, у) = шгп(Т(х, у),д(х, у)). Доказать, что Ь дифференцируема в точке (О, 0). 'Т.19. Даны открытое множество ТТ С ИГ', отображение Т: ТТ вЂ” ~ Кзг и точка ~У(х) — Т(хо) ~ хо б ТТ. Доказать, что если †~ при х †~ , то функция Т 1* — ха ! дифференцируема в точке хо. Чему равен дифференциал функции Т в этой точке? Т.20. Функция Т:и" К" принадлежит классу Сс,причем ~Р'*Т(х)~ < М при )а( = т и Р'*1(0) = 0 при )а( < т.
Указать 6 > 0 такое, что Т(В(0, 6)) С В(0, 6). 7.21. Дано уравнение хз + рх + д = О. Пусть ро = — 3, до = — 2. Указать числа 6 > 0 и 11 > 0 такие, что при !р — ро! < 6, /д — до/ < 6 уравнение х + рх+ д = 0 имеет и притом единственное решение х1, УдовлетворяюЩее условию )х1 — 2) < 11. 7.22. Множество всех квадратных матриц порядка и будем рассматривать г как пространство и' . Элементы матрицы Х = ()х11)(,, у — 1д „,,„есть ее коорг динаты как точки пространства Ж" .
Определить дифференциал функции Х Е м~ ~-+ с1е1 Х Е К. 7.23. Пусть Р С мп есть множество всех квадратных матриц порядка и, определитель которых отличен от нуля. (Используются обозначения задачи г Т.22). Доказать, что Р есть открытое множество пространства и" . Найти г дифференциал отображения Х Е Ж" ~-~ Х 1 в произвольной точке Хо Е .Р. Доказать, что это отображение принадлежит классу Ссс(Р, К).
7.24. Пусть Х Е %", Х = 2х11'211-1 2 „. Положим а/2 Г(Х) = '~ '1 хг — а"?2 беС Х. 1=1 1=1 382 Гл. 7. дифференциальное исчисление функций многих переменных Найти первый и второй дифференциалы функции Е в точке Х = Е, где Е— единичная матрица в Н" (относительно обозначений — см.
Т.22 — Т.23). Т.25. Пусть У есть открытое множество в пространстве )и" и 1: У вЂ” ~ К— функция класса Ст+ . Зля х, у Е у положим р(х, у) = Дх) — ~~ (х — у) о 1(у) )))(<т др др Найти производные — (х, у) и — (х,у), С, г' = 1,2,...,и. дх; ' дуй Т.26. Пусть с)' есть открытое множество в К" и у: У вЂ” + К функция класса С'. Пусть точка р Е с) такова, что все производные порядка, меньшего т в точке р обращаются в нуль.
Показать, что если т нечетно и дифференциал порядка т функции у в точке р отличен от нуля, то р не является точкой экстремума у. Показать, что если т — четно и р есть точка минимума функции у, то для любого Ь б Й)) величина )СтУ(р; Ь) неотрицательна, а если р есть точка максимума 1, то )Ст,С(р; Ь) < 0 для всякого вектора Ь Е Н". Пусть точка р Е 11 такова, что все производные функции у порядка, меньшего т обращаются в нуль в точке р и т четно. Показать, что если дифференциал порядка т функции 1 в точке р представляет собой положительно определенную полиномизльную форму степени т,то есть уЬ Е К" (Ь ~ О =ь а у(р; Ь) ) О), то р есть точка локального минимума функции у, а если ЧЬ Е 14~(Ь ф 0 =ь )Сй у(р; Ь) < О), то р есть точка локального максимума функции у. Т.2Т. Найти определитель матрицы Якоби отображения (С1 С2)СЗ) С4) ' + (У1) У2 Уз У4) где У1 = С1+Сз, У2 С2 + С4) Уз — — ~С1 — Сг) +СССз — 1214, )'2 21 2 У4 1112 + С2СЗ + 1114 Т.28.
Найти определитель матрицы Якоби отображения (С1)С2)СЗ) С4) ) + (У1 У2 уз У4)) 383 Задачи где 1 3 У1 = — гд — 1112 + (11 12)13 — 2111214, 3 Уз = $112 — -$2 + 2111213+($1 — $2)14, 2 1 3 2 2 з 12 12 Уз = -11 — -12 + 1113 — 1214, 2 2 У4 = 1112 + 1213 + 1114.
7.29. Вычислить определитель матрицы Якоби отображения (т,у) Е П т-~ (тсову,тв1пу) Е й т П вЂ” полуполоса, О < у < тт, т ) О. 7.30. Найти определитель матрицы Якоби отображения (У1~У2~ . ~Уп) т т (Х1 Х2~ ° ° °,Хп)) где Х1 = совУ1; хз = вштР1 совУ2,...; хп = вшУ1 вшУ2...вштРп 1совУ„. 7.31. Вычислить определитель матрицы Якоби отображения (хы Х2, хз) (Х1 + хз + хз, хгхз + Х1хз + хзхз, хзхзхз)- Найти дифференциал обратного отображения в точке (р, д, т) Е Кз. Т.З2. Найти определитель матрицы Якоби отображения 1: (хг,хг,...,хп) т (тт1(х),ттз(х),...,ттп(х)), где тт; есть элементарная симметрическая функция степени 1: тт1(Х) = Х1 + Х2 + ' + Хтт 02(х) = Х1Х2 + Х1ХЗ + + Хп-1хп Оп(х) = Х1Х2 ° ° ° Хп. Т.ЗЗ.
Пусть П С Жтп — открытое множество. Показать, что если отобрапв 1 пв жения Т: 1т' -т Нп и д: У вЂ” т Нп (Мп рассматривается как пространство квадратных матриц порядка и) дифференцируемы в точке хо Е П, то отображение Я т х Е Т(х) о(х) также дифференцируемо в точке хо. При этом для любого Ь Е 14тп дьЯ(хо) = даТ(х) ° д(х) + Т(х) ° дад(х) (порядок множителей в каждом ив слагаемых существен!) 384 Гл.
7. Лифференциальное исчисление функций многих переменных Найти выражения для второго и третьего дифференциалов функции Я в предположении, что Т и Я дважды, соответственно, трижды, дифферендируемы в точке хо. Т.34. Пространство квадратных матриц порядка и отождествим, естественпз ным образом, с пространством К" . Пусть У С й'и — открытое множество, з Т: У -+ Ж .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
