1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В соответствии с определением интеграла, имеем: у(Ь) — р(а) = х (г) Ю = 4)х(г),х (г))М, то есть | ф)хЯ, х Я) Ж = Дх(Ь)) — у(х(а)], а что и требовалось доказать. й Пусть У есть область пространства К . Говорят, что в области У задано векторное поле Е, если для всякой точки х Е У определен некоторый вектор Е(х) Е К". Иначе говоря, если задано некоторое отображение Е области У в пространство Ж". Пусть я(х) = (г1(х),гз(х),...,г„(х)) есть векторное поле, заданное в области У пространства К". Векторное поле Р определяет на У дифференциальную форму: Ф(х) =Ег(х)йх1+Ез(х)+ +Е (х)йх . 397 З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 11ля произвольного вектора Ь Е К" во всякой точке х е М имеем: Ф(х,Ь) = (Р(х),Ь).
Дифференциальная форма Ф, определенная таким образом, называется формой, двойственной векторному полю Р(х) на множестве У, и обозначается символом: (Р(х), йх). Интеграл от формы (Р(х), Нх) вдоль произвольного кусочно-гладкого пути х: [а, ]— : [,6] К" лежащего в множестве У, обозначается одним из следующих выражений: 1(х) дх. (1.5) р Функция 1 непрерывна и интеграл (1.5) есть площадь криволииеииой трапеции, определеииои неравенствами: р у, у й ). <х< 0« Йх). Произведем в интеграле (1.5) замену переменной, полагая х = х(ь). Получим: 1[х(ь)] = у(ь), откуда: ь ь | У(х) ах = у(М)х'(1) а = 0[хЯ, дя(С)] р а К~ ХХример 1. Пусть и = 2.
Координаты произвольной точки з Е К далее будем обозыачать буквами х и у. Рассмотрим линейную дифференциальную форму = у м д = ах. Интеграл от этой формы вдоль параметризованной кривой имеет определенный геометриче к ч е с к и й с м ы с л. Попытаемся разъяснить его, рассмотрев сначала иекоторые простейшие ситуации. Пусть дана параметризованная кривая я: [а, 6] — Ж, в(1) = (х(с), у(1)). Предположим, что функция х является строго монотонной и имеет место неравенство у(ь) > 0 для всех 1 Е [а, 6].
Функция х отображает промежуток [а, 6] на некоторый замкнутый промежуток [р, д], где р = х(а), о = х(6) в случае, если функция х(г) есть функция возрастающая, и р = х(6), д = х(а) в случае, когда х есть убывающая функция. пусть ~ = х ~ есть функция, обратная к х. положим 1(х) = у[с(х)] и рассмотрим интеграл: 398 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж" в случае, когда х есть возрастающая функция, и Ю ь ь У(х) дх = — у(~)х'(~) ж = — О[в(~), дв(~)] в случае, когда функция х является убывающей. В з льтате пол чаем что интеграл от формы д(х) = удх вдоль данной параметризованной кривой равен умноженной на х1 площади, заметаемой отрезком, параллельным оси Ох, один конец которого есть данная точка в(ь), а другой лежит на оси Ох.
Знак <+» следует брать в том случае, если при изменении параметра Ф величина х(г) возрастает, а знак « — », если х(ь) есть убывающая функция переменной М. Общая ситуация, когда промежуток [а, 6] можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых функция х строго монотонна, сводится к уже рассмотренному. Обозначим через ~(1) проекцию точки х(й) на ось Ох. Тогда можно сказать, что интеграл | 0[в(Ф), х'(Ф)] й = у(Ф)дх(Ф) а а у(1) = т — т соа —. т х(Ф) = Ф вЂ” тзш т Циклоида, как было показано в з 9 главы 4, состоит из равных дуг, каждая из которых имеет форму арки, опирающейся концами на ось Ох. Всякой такой дуге соответствуют значения параметра Ф, лежащие в промежутке [2лти,2кт(п + 1), где зь — произвольное целое число.
ч ж ~ вммв~~ь р р у а и = О. Имеем: Ф х (1) = 1 — соа — > О т есть площадь, заметаемая отрезком в(Ф)~(1). При этом площадь берется со знаком <+» там, где функция х в о з р а с т а е т, и со знаком « — » на участках, где функция х у б ы в а е т. В качестве и уложения най ем и л о а ь ограниченную одной а р к о й ииклоидьь и осью Ох. Циклоида есть кривая на плоскости, имеющая параметризацию: 399 З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой для всех г Е (0,2яг), так что функция х является строго возрастающей в промежутке [О, 2яг].
Искомая площадь равна: 2яг 2я~ | (---и---') = |(---)' о о Произведя замену — = и, после очевидных преобразований, полуг я и я ям вин Р г / (1 — соз1) М = г ( ~ — — 2созг+ — соз2Ф( Ю = Ъкг . 1 2 Пример 2. Этот пример, как и предыдущий, относится к случаю кривых на плоскости. Для произвольной точки я Е К~ ее координаты будем далее обозначать через х и у. На плоскости К~ рассмотрим дифференциальную форму 1 а = — (хну — удх). 2 Пусть я(г) = (х(1), у(~)), Ф Е [а, б], — произвольная кусочно-гладкая параметризованная кривая на плоскости К .
Тогда для всякого 1 Е [а, Ь], г для которого вектор-функция я дифференцируема, имеем; [ (~) ()] [х()у() у() (~)] () () 1,, 1 х(~), у(г) 7 Р а с с м о т р и м случай, когда параметризованная кривая представляет собой параметризацию отрезка прямой. Пусть а = (аыаз) и Ь = (Ьг, Ьз) — две произвольные точки на плоскости Кз. Положим: х(~) = (1 — 8)а+~Ь, где Ф Е [0,1].
Имеем х(Ф) = (х(1),у(Ф)), где х(Ф) = аг + Цбг — аг), у($) = аз+ й(дз — аз). Очевидно, я(0) = а, я(1) = Ь, и когда й пробегает отрезок [О, 1], точка я(г) описывает отрезок, соединяющий точки а и Ь (справедливость етого утверждения устанавливается в курсе аналитической геометрии). 400 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж~ Лля данной функции г(Ф) имеем: сд[г(г) (д)] = 1 ад + 1(Ьд — ад), аг + 1(Ьг — аг) 1 ад, аг 2 1 Ьд — ад, Ьг — аг 2 Ьд, Ьг Из аналитической геометрии известно, что величина 1 ад, аг 2 Ьд, Ьг равна оЯ, где Я вЂ” пло ь т е гольника с вершинами в точках О, а и Ь. При этом о = 1, если пара векторов (а,Ь) является и р а в о й, и о = — 1, если эта пара — л е в а я. Пара векторов (а, Ь) называется п р а в о й, если луч Ог(1), где г(г) = (1 — $)а+1Ь, вращается п р о т и в часовой стрелки при 1, монотонно возрастающем от 0 до 1.
Если луч Ог(д) вращается и о часовой стрелке, то пара векторов (а, Ь) считается л е в о й. В общем случае, когда г: [а, Ь] — Ж" есть произвольная кусочно- гладкая кривы на плоскости, интеграл | ь сд[х(г), дх(г)] а будем называть ориентпироваиной плоидадью, которая зачерчивается ра- диус-вектором Ог(г) точки г(г) при изменении параметра Ф от а до Ь. 1.3. Понятия точной и зАмкнутой диэфнгкн иАльной догмы 1.3.1.
Пусть У вЂ” открытое множество в пространстве К" н Р(х) — дифференциальная форма первой стпепени, определенная на множестве У. Лифференциальны форма Г(х) называется тпочиой, если существует функция 1: У -+ 2 класса С такая, что Г(х) является дифференциалом 1 в области У, Р(х) = Н~(х) для всех х Е У.
Согласно этому определению, дифференциальная форма и ~(х) ~ ~~ ~ (х)~ д=д З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 401 является т о ч н о й на множестве У, если существует функция 1: У -+ И такая, что при каждом я = 1, 2,..., и для всех х Е У Вве ем е е некото ый ой класс линейных и е ен иальных форм. Линейная дифференциальная форма Р(х), определенная на открытом множестве У пространства Й", называется замкнутой, если для всякой точки р Е У можно указать б > 0 и функцию у: В(р, Б) — К", принадлежащую классу С, такие, что шар В(р, 6) содержится в множестве У и для всех х Е В(р, 6) выполняется равенство: Г(х) = ф(х).
Иными словами, дифференциальная форма Р(х) является замкнутой, если она л о к а л ь н о удовлетворяет условию точности на множестве П в том смысле, что у всякой точки х Е У есть окрестность С С У такая, что ограничение дифференциальной формы Р(х) на множестве С является точной ди44еренкиальной 4ормой. Если форма Р(х) является замкнутой, то из определения, вообще говоря, не следует существование функции 1, определенной на всем множестве У и такой, что форма Г(х) является ее дифференциалом.
Таким образом, из замкнутости линейной дифференциальной формы, вообще говоря, н е с л е д у е т, что эта форма является точной. Пример, подтверждающий это утверждение, см. в конце п. 1.3. Установим некото ое остаточное словце точности и е ен иаль- яня*э Пусть а и Ь вЂ” две произвольные точки пространства 2". Напомним, что о т р е з к о м с концами в точках а и Ь называется совокупность всех точек х Е К", представимых в виде х = (1 — Ф)а + 1Ь, где г ~ [О, 1].
Отрезок с концами а и Ь в пространстве 2" будем обозначать символом [аЬ[. Множество А в пространстве К" называется звездным относительно точки р Е А, если для всякой точки х Е А отрезок [рх[ с концами в точках р и х содержится в множестве А. Шар В(а, г) и куб Я(а, г) суть множества, звездные относительно точки а. Открытое множество У = И" '1 (О) дает пример множества, которое не является звездным относительнор Е У, какбынибылавыбрана точка р. Лействительно, пусть р 6 У. Положим х = — р. Отрезок с концами в точках р и — р содержит точку О, которая не является элементом множества У и, следовательно, для этого отрезка не выполнено условие 402 г л. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К" определения множества, звездного относительно точки: он не содержит- ся в множестве У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
