1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Согласно предположению, и Е Е, то есть У(и) = Х(и) + В(и) и У(и) — Х(и) — В(и) = О. Отсюда: У(Ф) — Х(8) — В(Ф) = О и, значит, У(Ф) = Х(Ф) + В(Ь). Мы получаем, таким образом, что любое Ф Е [и, и+ 6) принадлежит множеству Е. Отсюда, очевидно, следует, что условие 3) нринципа нонтинуальной индукции в данном случае выполняется. Согласно лемме о принципе нонтинуальной индукции, из доказанного вытекает, что Е = [а, Ь], то есть У(Ф) = Х(Ф)+В(Ф) для всех Ь Е [а, Ь]. Лемма доказана. ° Следствие. Пусть П есть область в пространстве К" и Г есть дифференциальная форма первой степени в области П пространства 2", принадлежащая классу С. Предположим, что форма г' является замкнутой.
Пусть х: [а, Ь] — К" и у: «а, Ь] -~ К" суть кусочно-гладкие параметризованные кривые, лежащие в области П и такие, что х(а) = у(а) = р, х(Ъ) = у(Ь) = о. Тогда если существует гомотопия кривой х в кривую у в классе кривых, соединяюппгх точку р с точкой о и лежащих в области П, то ь ь | Р[х(Ф) Нх($)] У[у(1) Ну(Ф)] Доказательство.
Пусть выполнены все условия следствия. Согласно определению, существует непрерывное отображение з: (1,Л) + 415 З 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой я(Ф, Л) Е К" прямоугольника Р = [а, Ь] х [О, Ц в область У такое, что выполнены следующие условия: я(Ф,О) = х(1), я(Ф,1) = у(Ф) для всех 4 Е [а, Ь] и я(а, Л) = р, я(Ь, Л) = 4 для всех Л Е [О, 1]. Полагаем Н = я(Р). При каждом Л Е [0,1] имеем параметризованную кривую хл(1) = = я(1,Л). Изменяя параметр Л в пределах от Ода 1, мы т р а н с ф о рм и р у е м непрерывно кривую х(г) ив в хо(г) в кривую хд(г) = у(4), и Н есть множество, заметаемое кривыми хх при изменении 1.
Множество Н вЂ” компактно. На основании леммы 2.1, найдется 6 такое, что для всякой точки х 6 Н шар В(х, 6) содержится в множестве У. Отображение я: Р— К" — непрерывно. Так как Р есть компактное множество в пространстве Ж, то я равномерно непрерывно.
Поэтому г найдется и > 0 такое, что если ]Лг — Лз] < и, то для всех 1 Е [а, Ь] будем иметь: 6 ]я(Ф~ Лг) — я(Ф Лз)] < 1 Й~ Пусть т Е К таково, что — < и. Положим хь(4) = я ~8, — ), т 'тР й = О, 1,..., т — 1, т. Очевидно, хо(Ф) = х(8), х„,(Ф) = у(Ф). При каждом Ь = О, 1,..., т — 1, т построим кусочно-гладкий путь сь: [а,Ь] — К" такой, что 6 ]сей) — хь(г)[<— 4 для всех 1 Е [а,Ь].
Пля всякого Ь Е [а, Ь] имеем: ф,(Ф) — хь(Ф)]+ — < 6, ЗБ откуда вытекает, что В [сь(8), — ~ С В[хе(Ф),6] С У. Пусть 0 < й < т. Тогда ]се (Ф) — се+1($) ] < [сь (Ф) — хь(Ь) ] + ]хе (4) — хе+1(Ф) [+ 36 +]хь+г(4) — б+~(1) [ <— 4 361 Таким образом, для всякого значения Ф Е [а, Ь] шар В (4ь(Ф), — ) 36 содержится в множестве У и ф,(й) — (ь.~г(й)] < —.
В силу леммы 1.6, 4 Ип 416 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Й отсюда вытекает, что при каждом й = 0,1,..., Й = О 1 ... гл — 1 имеет место ра- венство: ь Г%ьЯ йЫ~)! = РЫьгЯ,йЬ~гЖ а а Это позволяет заключить, что ь ь ь | Р[х(й),(Кх(М)! = РКот,ааот = Г[~ (й),СК4 (й)! = а а ь ГЫе)*М~)! а что и требовалось доказать. ° Теорема 1.2.
Пусть Р есть дифференциальная форма первои степени, определенная в области У пространства К". Тогда если форма Р является замкнутой, а область У олносвязна, то существует функция ~ класса Сг такал, что г" (х) = ф(х) всюду в области У. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Фиксируем произвольно точку р Е У.
Зля всякой точки х Е У существует кусочно-гладкий путь х: [а, ! -+ : [ 6! -+ К" лежащий в области У и соединяющий точку р с точкой х. Полагаем: Дх) = Г[х(й), Ых(Ф)!. а Значение последнего интеграла не зависит от выбора пути х, так как область У, по условию, односвязна и, значит, любые два пути, лежащие в этой области исоединяющие точкур с точкоих, г о м о т о п н ы в области У. Тем самым в области У определена некоторая функция у. Л о к а ж е м, что эта функция и есть искомая.
Возьмем произвольно точку д Е У. Найдется 6 ) 0 такое, что В(,6) С У. Шар В[д, о) есть множество, звездное относительно точки о, и, значит, согласно определению понятия замкнутои дифференциальной формы (см. и. 1.3.1), найдется функция 7, определенная в этом шаре и такая, что Г(х) = 4(х) для всех х Е В(д, о). 'З 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой Пусть С: [а,Ь] — ж есть параметризованная кривая, лежащая в области У и соединяющая точку р с точкой д. Выберем произвольно точку х е В(о, б) и доопределим вектор-функцию б(Ф) на отрезке [а, Ь+Ц, полагая С(Ф) = д + (Ь вЂ” Ь) (х — о) для Ь Е [д, Ь+ 1]. Имеем: ь+г ь ь+г Пх) = Р[6й), йД~)] = ГИХ), й61)] + Р[ДМ), сК6й)].
(1.1З) а а ь Так как в шаре В(д, б) выполняется равенство: Р(х) = а7(х), то, согласно предложению 1.1, имеет место равенство: ь+1 ь Точка х Е В(о, б) взята произвольно и из равенств (1.13) и (1.14) вытекает, что функции 1 и у в шаре В(д, б) отличаются на постоянное слагаемое. Это позволяет заключить, что в данном шаре функция Х дифференцируема, причем ф(х) = ьфх) = Р(х) во всех точках шара В(о, б). Так как точка д Е П была выбрана произвольно, то из доказанного следует, что функция 1 дифференцируема в области П всюду и для всех х Е П выполняется равенство: г (х) = ф(х).
Теорема доказана. ° ~2. Приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль кривой Здесь приводятся некоторые и р и л о ж е н и я понятия интеграла линейной дифференциальной формы вдоль параметризованного пути к изучению отображений на плоскости. Рассмотрение некоторых конкретных замкнутых линейных дифференциальных форм позволяет доказать теорему о неподвижной точ«е для отображения круга на плоскости. Приводится доказательство основной теоремы алгебры, то есть теоремы, которая утверждает, что всякий полипом степени п ) 1 имеет хотя бы один комплексный корень. 2.1. ПОНЯТИЕ ИНДЕКСА ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО 3АмкнутОЙ кРиВОЙ. ТеОРемА О непОЛВижных тОчкАх Пусть п = 2 и ы есть дифференциальная форма х1пхз — хз пх1 хз+ хз 418 Гп. 8.
Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Эта дифференциальная форма определена на множестве К~ '1 (О) и является замкнутой. В то же время она не является дифференциалом какой- либо функции, определенной на множестве Кз '1 (О) всюду, хах это было показано ранее (см. пример и. 1.4). Параметризованная кривы х: [а, Ь] — К" называется замкнутой, если имеет место равенство: х(а) = х(Ь). Пусть х: [а, Ь] — К" есть замкнутая параметризованная кривая в области У пространства К".
Будем говорить, что эта кривая стягиваема в точку в области У, если она г о м о т о и н а в области У параметризованной кривой у: [а, Ь] — К" такой, что у(1) = х(а) = х(Ь) для всех Ф Е [а,Ь]. Переформулируя общее определение применительно и данному случаю, мы можем сказать, что замкнутая параметризованная кривая х: [а, Ь] — ~ К", лежащая в области У, стягиваема в этой области, если существует непрерывное отображение я: [а, Ь] х [0,1] — У тахое, что г(М,О) = х(й) для всех Ь Е [а,Ь], я(а, Л) = я(Ь, Л) = х(а) = х(Ь) для всех Л Е [О, 1] и я(Х, 1) = х(а) = х(Ь) для всех й. Отображение г, хак отсюда следует, отображает в точку х(а) = х(Ь) три стороны прямоугольника Р = [а, Ь] х [О, Ц, а именно, стороны (а) х [0,1], [а,Ь] х (1) и (Ь) х [0,1].
Наглядно — замкнутая кривая х(г) стягиваема в точку, если ее можно непрерывно деформировать в одноточечное множество (р) не выходя из области У таким образом, чтобы концы кривой при этом все время совпадали с точкой р = х(а) = х(Ь). Пусть х: [а, Ь] — Кз — произвольная замкнуты кусочно-гладкая кривая на плоскости такая, что ~х(Ф) ~ > 0 для всех 1.
Пусть вещественные функции х1(г) и хз(1) суть компоненты вехтор-функции х. Тогда определено число (,) ' Г„,[х(1) дх(1)] '- /* М з(') * (')хг(') дЕ, (2,1) 2к „( ' 2к / [х1(Ь)]з + [хэви]з а а Величина Ях) называется индексом замкнутой кривой х(8). Интеграл в правой части (2.1) имеет смысл только для кусочно- гладких кривых. Оп е елим понятие и н е к с а ля оизвольной замк той па аме- т изованной и ивой х: а Ь вЂ” К~ овлетво яющей словию: х 1 > 0 ля всех Ф б а Ь не п полагая что эта и ивая — и сочно-гла квя.
419 З 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой Пусть г = пап ]х(г)~, г ) О. Положим: б = —. се[а,ь] 3 Пусть С: [а, Ь] — ~ К~ есть кусочно-гладкий путь такой, что С(а) = = х(а) = х(Ь) = ЯЪ), и для всех г Е [а,Ь] выполняется неравенство: [С(г) — х(1) ~ < б. Тогда, подставляя в равенство (2.1) компоненты вектор- функции С(Ф), получим некоторое число ЯС). Величина ЯС) не зависит от выбора параметризованной кривой С, удовлетворяющей указанным выше условиям. Действительно, пусть и: [а, Ь] — К~ есть произвольный другой путь такой, что О(а) = х(а) = х(Ь) = О(Ь) и ]0(г) — х(г)] < б для всех 1 Е [а, Ь].
Тогда для всякого ~ Е [а, Ь] имеем: ]с(Ф) — п(Ф)[ < 26. Для всякого Ф имеем: фс) — х(1)]+ 26 < 36 = г, и, значит, к р у г В(Я(Ф),26) содержится в к р у г е В(х(1),36), который лежит в области У = К~ '1 (О). Лемма 1.6 теперь позволяет заключить, что интеграл (2.1) для параметризованных кривых С($) и О(1) принимает одно и то же значение, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
